【全程复习方略】(福建专用)2013版高中数学-变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵训练-理-新人教A.doc

【全程复习方略】（福建专用）2013版高中数学 变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵训练 理 新人教A版选修4-2
1.已知M=求矩阵M.
2.已知A=
(1)求逆矩阵A-1;
(2)若矩阵X满足AX=求矩阵X.
3.已知且(AB)C=求矩阵A.
4.如图:平行四边形OABC
在变换T的作用下变成了
矩形OA′B′C′,求变换
T所对应的矩阵M.
5.(2011·常州模拟)已知a,b∈R,矩阵M=如果矩阵M对应的变换将直线x+2y=1变换为自身,求M的逆矩阵.
6.(2012·盐城模拟)已知矩阵
(1)计算AB;
(2)若矩阵B把直线l:x+y+2=0变为直线l′,求直线l′的方程.
7.(2011·福建高考)设矩阵M= (其中a＞0，b＞0).
(1)若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1；
(2)若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：求a，b的值.
8.求曲线2x2-2xy+1=0在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线方程,其中
9.(2012·宿迁模拟)已知矩阵A=将直线l:x+y-1=0变换成直线l′.
(1)求直线l′的方程;
(2)判断矩阵A是否可逆?若可逆,求出矩阵A的逆矩阵A-1;若不可逆,请说明理由.
10.(2012·莆田模拟)直线l1:x=-4先经过矩阵A=作用,再经过矩阵B=

作用,变为直线l2:2x-y=4,求矩阵A.

答案解析
1.【解析】令A=∴|A|=1×2-1×0=2,
∴
∴
2.【解析】(1)|A|=1×(-1)-(-2)×2=3,
∴
(2)∵AX=
∴X=
3.【解析】∵BC=
又∵(AB)C=A(BC),
∴令M=
∴|M|=(-1)×(-2)-3×1=-1≠0,
∴∴A=
4.【解题指南】从平行四边形到矩形实质经历了两次变换,一次为旋转变换,一次为切变变换,分别确定出其对应的矩阵后相乘,即得变换T对应的矩阵.
【解析】由平行四边形OABC变换成矩形OA′B′C′,可以看成先将平行四边形OABC绕着O点顺时针旋转90°,得到平行四边形OA″B″C″,然后再将平行四边形OA″B″C″作切变变换得矩形OA′B′C′.
故旋转矩阵为:
切变变换
∴切变矩阵为
∴矩阵M=
5.【解析】设在M的变换下得到
则∴
由题意,得(x+ay)+2(bx+2y)=1,
即(1+2b)x+(a+4)y=1.
∴∴
∴M=∴
6.【解析】(1)AB=
(2)任取直线l上一点P(x,y),
P经矩阵B变换后为P′(x′,y′),
则
∴∴
由于P(x,y)在直线l上,
所以代入x+y+2=0,得x′+2y′+y′+2=0,
∴x′+3y′+2=0,
∴直线l′的方程为x+3y+2=0.
【变式备选】试求曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式,其中
【解析】MN=
即在矩阵MN变换下
即曲线y=sinx在矩阵MN变换下的函数解析式为y=2sin2x.
7.【解析】(1)设矩阵M的逆矩阵
则
又M=所以
所以2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1,即故所求的逆矩阵
(2)设曲线C上任意一点P(x,y)，它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点
P′(x′,y′).
则即
又点P′(x′,y′)在曲线C′上，所以
则为曲线C的方程.
又已知曲线C的方程为x2+y2=1，故
又a＞0,b＞0，所以
8.【解析】MN=
设P(x,y)是曲线2x2-2xy+1=0上任意一点,点P在矩阵MN对应的变换下变为点
P′(x′,y′),
则有
于是
代入2x2-2xy+1=0得x′y′=1,
所以曲线2x2-2xy+1=0在MN对应的变换作用下得到的曲线方程为xy=1.
9.【解析】(1)在直线l上任取一点P(x0,y0),设它在矩阵A=对应的变换作用下变为Q(x,y),
∵
∴即
又∵点P(x0,y0)在直线l:x+y-1=0上,
∴即直线l′的方程为4x+y-7=0.
(2)∵=7≠0,∴矩阵A可逆.
设∴
∴解之得
∴
10.【解析】设C=BA=则直线l1上的点(x,y)经矩阵C变换为直线l2上的点(x′,y′),则x′=(n+4)x+(m-4)y,y′=-nx+4y,代入2x′-y′=4,得(3n+8)x+(2m-12)y=4与l1:x=-4比较系数得,m=6,n=-3,∴A=
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