2011届高考数学权威预测：17圆锥曲线定义、性质及方程(2).doc

第十七讲 圆锥曲线的定义、性质和方程(二)
【例5】已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量与是共线向量。
（1）求椭圆的离心率e；
（2）设Q是椭圆上任意一点， F1、F2分别是左、右焦点，求∠F1QF2的取值范围；
解：（1）∵，∴。
∵是共线向量，∴，∴b=c,故。
（2）设

当且仅当时，cosθ=0，∴θ。

【例6】设P是双曲线右支上任一点.
（1）过点P分别作两渐近线的垂线，垂足分别为E，F，求的值；
（2）过点P的直线与两渐近线分别交于A、B两点，且的面积.

解：（I）设
∵两渐近线方程为
由点到直线的距离公式得

（II）设两渐近线的夹角为，

【例7】如图，已知梯形ABCD中|AB|=2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．求双曲线的离心率．
解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CD⊥y轴．
因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称．
依题意，记A(－c，0)，C(，h)，B(c，0)，其中c为双曲线的半焦距，c=|AB|，h是梯形的高．
由定比分点坐标公式，得点E的坐标为
， ．
设双曲线的方程为，则离心率．
由点C、E在双曲线上，得
①
②
②

由①式得代入②式得所以，离心率

【例8】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A,B两点（A,B不是左右顶点），且以AB为直径的图过椭圆C的右顶点．求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：（I）由题意设椭圆的标准方程为，
由已知得：，，，，
　椭圆的标准方程为　
（Ⅱ）设，，
联立 得，

又，
因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，
，即， ，
，　
解得：，，且均满足，
当时，的方程为，直线过定点，与已知矛盾；
当时，的方程为，直线过定点　
所以，直线过定点，定点坐标为　
★★★自我提升
1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是(C )
（A）2 （B）6 （C）4 （D）12
2．如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（ C ）
A． 　　 B．　　　　　 C． 　　 D．
3．抛物线y=4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是( B)
( A ) ( B ) ( C ) ( D ) 0
4．双曲线的虚轴长为4，离心率，F1、F2分别是它的左，右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|为（A）.
A、 B、 C、 D、8
5．已知椭圆中心在原点，一个焦点为F（－2，0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．
6．过椭圆左焦点F，倾斜角为60°的直线交椭圆于A、B两点，若|FA|=2|FB|，则椭圆的离心率为( B )
(A) (B) (C) (D)
7．椭圆+=1的离心率e=，则m=___________m=8或2。
8． F1、F2是椭圆（a>b>0）的两焦点，过F1的弦AB与F2组成等腰直角三角形ABF2，其中∠BAF2=900，则椭圆的离心率是________
9．已知椭圆E的离心率为e，左、右焦点为F1、F2，抛物线C以F2为焦点，F1为其顶点，若P为两曲线的公共点，且e|PF2|=|PF1|，则e＝__________。
10．如图，已知三点A(－7, 0)，B(7,0)，C(2,－12).

① 若椭圆过A、B两点，且C为其一焦点，
求另一焦点P的轨迹方程；
② 若双曲线的两支分别过A、B两点，且C为其一
焦点，求另一焦点Q的轨迹方程。
解析：①由椭圆定义知，|AP|＋|AC|＝|BP|＋|BC|，
即
故P的轨迹为A（－7，0）、B（7，0）为焦点实轴长为2的双曲线的一支，
其方程为；
② 经讨论知，无论A在双曲线的哪一支上,
总有|QA|＋|QB|＝|AC|＋|BC|＝28＞|AB|＝14
故点Q的轨迹为以A（－7，0）、B（7，0）为焦点长轴长为28的椭圆，
其方程为。
11．如图，A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F1、F2．当AC垂直于x轴 时，恰好|AF1|:|AF2=3:1
（I）求该椭圆的离心率；

x
y
A
B
C
O
F1
F2
（II）设，，试判断l1+l2是否为定值？若是，则求出该定值；若不是，请说明理由．
解：（I）当C垂直于x轴时，
，由，
得，
在Rt△中，
解得 =．
（II）由=，则，．
焦点坐标为，则椭圆方程为，
化简有．
设，，
①若直线AC的斜率存在，则直线AC方程为
代入椭圆方程有．
由韦达定理得：，∴
所以，同理可得
故l1+l2=．
②若直线轴，，，
∴l1+l2＝6．
综上所述：l1+l2是定值6．
12．已知椭圆（a＞b＞0）上两点A、B，直线上有两点C、D，且ABCD是正方形。此正方形外接圆为x2+y2-2y-8=0，求椭圆方程和直线的方程。
解：圆方程x2+y2-2y-8=0即x2+(y-1)2=9的圆心O＇（0，1），半径r=3。
设正方形的边长为p，则，∴，又O＇是正方形ABCD的中心，∴O＇到直线y=x+k的距离应等于正方形边长p的一半即，由点到直线的距离公式可知k=-2或k=4。

（1）设AB：y=x-2 由 y=x-2
CD：y=x+4 x2+y2-2y-8=0
得A（3，1）B（0，-2），又点A、B在椭圆上，∴a2=12，b2=4，椭圆的方程为。
（2）设AB：y=x+4，同理可得两交点的坐标分别为（0，4），（-3，1）代入椭圆方程得
，此时b2＞a2（舍去）。
综上所述，直线方程为y=x+4，椭圆方程为。

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