周期性问题A答案.doc

数 学 奥 林 匹 克 模 拟 试 卷(答案）

第[1]道题答案：
二
因为74=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了
31+30+31+1=93(天)
因为93¸7=13…2，所以这年6月1日是星期二.

第[2]道题答案：
日.
依题意知，这十年中1992年、1996年都是闰年，因此，这十年之中共有
36510+2=3652（天）
因为（3652+1）7=521…6，所以再过十年的12月5日是星期日.
[注]上述两题(题1—题2)都是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答.在计算天数时,要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年.

第[3]道题答案：
39
从图中可以看出,三角形按“二黑二白一黑一白”的规律重复排列，也就是这一排列的周期为6，并且每一周期有3个白色三角形.
因为806=13…2，而第十四期中前两个三角形都是黑色的，所以共有白色三角形133=39（个）.

第[4]道题答案：
白
依题意知,电灯的安装排列如下:
白,红,黄,绿,白,红,黄,绿,白,……这一排列是按“白，红，黄，绿”交替循环出现的，也就是这一排列的周期为4.
由734=18…1,可知第73盏灯是白灯.

第[5]道题答案：
13时.
分针旋转一周为1小时,旋转1991周为1991小时.一天24小时,199124=82…23，1991小时共82天又23小时.现在是14时正,经过82天仍然是14时正,再过23小时,正好是13时.
[注]在圆面上,沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一根短针,就组成了我们天天见到的钟面.钟面虽然是那么的简单平常,但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题,周期现象就是其中的一个重要方面.

第[6]道题答案：
3
仔细观察题中数表.
1 2 3 4 5 (奇数排)
第一组
9 8 7 6 (偶数排)
10 11 12 13 14 (奇数排)
第二组
18 17 16 15 (偶数排)
19 20 21 22 23 (奇数排)
第三组
27 26 25 24 (偶数排)

可发现规律如下:
(1)连续自然数按每组9个数,且奇数排自左往右五个数,偶数排自右往左四个数的规律循环排列；
(2)观察第二组,第三组,发现奇数排的数如果用9除有如下规律:第1列用9除余数为1,第2列用9除余数为2,…，第5列用9除余数为5.
(3)109=1…1，10在1+1组，第1列
199=2…1，19在2+1组，第1列
因为19929=221…3，所以1992应排列在（221+1）=222组中奇数排第3列数的位置上.

第[7]道题答案：
7
=0.57142857……
它的循环周期是6，具体地六个数依次是
5，7，1，4，2，8

1106=18…2
因为余2，第110个数字是上面列出的六个数中的第2个，就是7.

第[8]道题答案：
.
.
.
.
35
因为0.1992517的循环周期是7,0.34567的循环周期为5,又5和7的最小公倍数是35,所以两个循环小数在小数点后第35位,首次同时出现在该位上的数字都是7.

第[9]道题答案：
853,570,568,8255.
不难看出,这串数每7个数即1,9,9,1,4,1,4为一个循环,即周期为7,且每个周期中有3个1,2个9,2个4.因为19917=284…3，所以这串数中有284个周期，加上第285个周期中的前三个数1，9，9.其中1的个数是:3284+1=853(个),9的个数是2284+2=570(个),4的个数是2284=568(个).这些数字的总和为
1853+9570+4568=8255.

第[10]道题答案：
9
先找出积的末位数的变化规律:
71末位数为7,72末位数为9,73末位数为3, 74末位数1；75=74+1末位数为7,76=74+2末位数为9，77=74+3末位数为3，78=末位数为1……
由此可见，积的末位依次为7，9，3，1，7，9，3，1……，以4为周期循环出现.
因为504=12…2，即750=，所以750与72末位数相同，也就是积的末位数是9.

第[11]道题答案
依照题述规则多写几个数字:
1989286884286884……
可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6.因为(1989-4)6=330…5，所以所求数字是8.

第[12]道题答案：
1991个1990相乘所得的积末两位是0,我们只需考察1990个1991相乘的积末两位数即可.1个1991末两位数是91,2个1991相乘的积末两位数是81,3个1991相乘的积末两位数是71,4个至10个1991相乘的积的末两位数分别是61,51,41,31, 21,11,01,11个1991相乘积的末两位数字是91，……，由此可见，每10个1991相乘的末两位数字重复出现，即周期为10.因为199010=199,所以1990个1991相乘积的末两位数是01,即所求结果是01.

第[13]道题答案：
n是1991个2的连乘积,可记为n=21991,首先从2的较低次幂入手寻找规律,列表如下:

n
n的十位数字
n的个位数字
n
n的十位数字
n的个位数字
21
0
2
212
9
6
22
0
4
213
9
2
23
0
8
214
8
4
24
1
6
215
6
8
25
3
2
216
3
6
26
6
4
217
7

2
27
2
8
218
4
4
28
5
6
219
8
8
29
1
2
220
7
6
210
2
4
221
5
2
211
4
8
222
0
4

观察上表,容易发现自22开始每隔20个2的连乘积,末两位数字就重复出现,周期为20.因为199020=99…10，所以21991与211的末两位数字相同，由上表知211的十位数字是4，个位数字是8.所以,n的末两位数字是48.

第[14]道题答案：
因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色.
6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会出现循环,每一周的长度是30厘米,如下图所示.
.
.
.
.
.
.
6
12
18
24
30
5
10
15
20
25
95
96
100
.
90

由图示可知长1厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第1周期中,6-5=1,55-64=1.剩余10厘米中有一段.所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段.综合算式为:
2[(100-10)30]+1
=23+1
=7(段)
[注]解决这一问题的关键是根据整除性把自右向左每隔5厘米的染色,转化为自左向右的染色,便于利用最小公倍数发现周期现象,化难为易.