2014届湖北省七市(州)高三4月联合考试理科数学试题及答案.doc

2014年湖北省七市(州)高三年级联合考试
数学试题(理工类)

第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集U=R，集合A={x|lgx≤0)，B=，则A∪B=
A．ø
2．下列说法错误的是
A．命题“若x2-5x+6=0，则x=2”的逆否命题是“若x≠2，则x2-5x+6≠0”
B．已知命题p和q，若p∨q为假命题，则命题p与q中必一真一假
C．若x，y∈R，则“x=y”是的充要条件
D．若命题p：∈R，则
3．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度相同)，用回归直线近似的刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是
A．线性相关关系较强，b的值为1．25
B．线性相关关系较强，b的值为O．83
C．线性相关关系较强，b的值为-0．87
D．线性相关关系太弱，无研究价值

4．某个几何体的三视图如图所示(其中正视图中的圆弧是半径为2的半圆)，则该几何体的表面积为
A．92+24 B．82+24 C．92+14 D．82+14
5．阅读如图所示的程序框图，则输出结果s的值为

6．已知函数f（x)与g（x)的图像在R上不间断，由下表知方程f（x)=g（x)有实数解的区间是
x
-1
O
1
2
3
f（x)
-0.677
3.011
5.432
5.980
7.651
g（x)
-0.530
3.451
4.890
5.241
6.892
A．(-1，0) B．(0，1) C．(1，2) D．(2，3)
7．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组，设与的夹角为θ，则tanθ的最大值为

8．设两条直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0，已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是

9．如果对定义在R上的函数f（x)，对任意x1≠x2，都有x1f（x1)+x2f（x2)>x1f（x2)+x2f（x1)则称函数f（x)为“H函数”．给出下列函数：
①y=-x3+x+1；②y=3x-2(sinx-cosx)；．
其中函数式“H函数”的个数是：
A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知双曲线的两个焦点为F1、F2，其中一条渐近线方程为P为双曲线上一点，且满足|OP|<5(其中O为坐标原点)，若|PF1|、|F1F2|、|PF2|
成等比数列，则双曲线C的方程为

第Ⅱ卷(非选择题，共100分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，考生共需作答5题，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，横棱两可均不得分．
(一)必考题：(11-14题)
11．若i为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z表示复数z，则复数的共轭复数是 ．
12．设，则a4= ．
13．物体A以速度v=3t2+1(t的单位：s，v的单位：m／s)在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以v=10t(t的单位：s，v的单位：m／s)的速度与A同向运动，则两物体相遇时物体A运动的距离为 m．
14．将长度为l，（l≥4，l∈N*的线段分成n（n≥3）段，每段长度均为正整数，并要求这n段中的任意三段都不能构成三角形．例如，当l=4时，只可以分为长度分别为1，1，2的三段，此时n的最大值为3；当l=7时，可以分为长度分别为1，2，4的三段或长度分别为1，1，1，3的四段，此时n的最大值为4．则：
（1）当l=12时，n的最大值为 ；
（2）当l=100时，n的最大值为 ．
(二)选考题：请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号的方框用2B铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．
15．(几何证明选讲)如图，已知PA是⊙O的切线，A是切点，直线PO交⊙O于B，C两点，D是OC的中点，连接AD并延长交⊙O于点E，若PA=2；∠APB=30°，则AE= ．

16．(坐标系与参数方程)在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点、x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知点M的极坐标为，曲线C的参数方程为(α为参数)，则点M到曲线C上的点的距离的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)已知向量，设函数
(1)求函数f（x)的单调递增区间：
(2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足求f（C）的值．

18．(本小题满分12分)已知数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，其中a1=b1=1，a2≠b2，且b2为a1、a2的等差中项，a2为b2、b3的等差中项．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记，求数列{cn}的前n项和Sn．
三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分12分）己知向量设函数
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足求f（C）的值．

19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，AD∥BC，且PA=AD=2，AB=BC=1，E为PD的中点．
(Ⅰ)设PD与平面PAC所成的角为α，二面角P-CD-A的大小为β，求证：tanα=cosβ.
(Ⅱ)在线段AB上是否存在一点F(与A，B两点不重合)，使得AE∥平面PCF?若存在，求AF的长；若不存在，请说明理由．

20．（本小题满分12分）小明家订了一份报纸，寒假期间他收集了每天报纸送达时间的数据，并绘制成频率分布直方图，如图所示．
（Ⅰ）根据图中的数据信息，求出众数x0；
（Ⅱ）小明的父亲上班离家的时间y在上午7：00至7：30之间，而送报人每天在x0时刻前后半小时内把报纸送达（每个时间点送达的可能性相等）
①求小明的父亲在上班离家前能收到报纸（称为事件A）的概率；
②求小明的父亲周一至周五在上班离家前能收到报纸的天数X的数学期望．

21．（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（-4，0），过点R（3，0）作与X轴不重合的直线l交椭圆于P、Q两点，连结AP、AQ分别交直线于M、N两点，试问直线MR、NR的斜率之积是否为定值，若为定值，请求出；若不为定值，请说明理由．

22．（本小题满分14分已知函数
(Ⅰ)设F(x)=f(x)+g(x)，求函数F(x)的图像在x=1处的切线方程：
(Ⅱ)求证：对任意的x∈(0，+∞)恒成立；
(Ⅲ)若a，b，c∈R+，且求证：

参考答案
说明
1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。
2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数的一半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。
3．解答题中右端所标注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题分数。
A卷：
1~5：ACBAD 6~10 ：BCDBA
B卷
1~5：DBBCA 6~10 ：BCDCA
11、 12、240 13、130 14、（1）；（2）（注：第一问2分，第二问3分）
15、 16、
17、解：(1)
4分
令 6分
所以所求增区间为 7分
(2)由，， 8分
，即 10分
又∵， 11分
12分
18．解：(1)设公比及公差分别为q，d
由得：或， 3分
又由，故 4分
从而 6分
(2) 8分
9分
令 ①
②
由②—①得 11分
∴ 12分

19．解法一：(1)证明： 又
1分
又平面，,面 2分
∴ 3分
, 5分
6分
(2)取的中点，连交于,由与相似得，, 7分
在上取点,使,则, 8分
在上取点使由于平行且等于,
故有平行且等于， 9分
四边形为平行四边形，所以, 10分
而, 故有∥平面, 11分
所以在线段上存在一点使得∥平面，的长为. 12分

解法二：（1）同解法一；
(2)如图，以为原点，所在直线分别为轴，建立直角坐标系，则

为的中点,则 7分
假设存在符合条件的点，
则共面，
故存在实数，使得 9分
即，故有即 11分
即存在符合条件的点，的长为. 12分

20．(1)解： 2分
(2)解：①设报纸送达时间为 3分
则小明父亲上班前能取到报纸等价于
6分
如图可知，所求概率为 8分
②服从二项分布，故（天） 12分
21．(1)解:由题意： 2分
3分
故椭圆C的方程为 4分
(2)解：设，若直线与纵轴垂直，
则中有一点与重合，与题意不符
故可设直线. 5分
将其与椭圆方程联立，消去得：
6分
7分
由三点共线可知，，， 8分
同理可得 9分
10分
而 11分
所以
故直线、的斜率为定值. 13分
22．(1)解：，，则 ，∴图像在处的切线方程为即 3分
(2)解：令， 4分
则
∵与同号 ∴ ∴
∴ ∴在单调递增 6分
又，∴当时，；当时，
∴在单调递减，在单调递增 ∴
∴ 即对任意的恒成立 8分
(3)解：由（2）知 9分
则
11分
由柯西不等式得
∴ 13分
同理
三个不等式相加即得证。 14分
·14·