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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四章 线性方程组,第,*,页,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第二章 重点,注：用矩阵初等变换可处理：,判别矩阵是否可逆并求可逆矩阵逆矩阵；,解矩阵方程；,求矩阵秩；,求矩阵原则形。,（矩阵初等变换尚有许多用处，见以后各章）,矩阵可逆判别、矩阵秩概念、矩阵初等变换。,第1页,第1页,1.逆矩阵运算规则,(,A,B,皆为方阵),三、一些结论,第2页,第2页,2.n 阶方阵A可逆充要条件,A可逆,第3页,第3页,3.关于矩阵秩关系式,第4页,第4页,第三、四章内容总结,一、理论发展脉络,秩、最大,无关组,线性相关,基、维数,向量组等,价讨论,基础解,系、维数,解结构,向量,AX=0,解空间,向量组,向量空间,AX=b,1 向量,第5页,第5页,解线性方程组,矩阵秩,求向量组,秩和最,大无关组,2 矩阵,求向量空,间基和,维数,矩阵,矩 阵 初 等 变 换,判别向量,组线性,相关性,求向量在,基下坐标,解矩阵方程,求可逆矩阵逆矩阵,第6页,第6页,2 若向量组 是向量空间V一个基，则,V可表示为,一些概念,：向量空间、基和维数、生成向量空间、子空间,向量空间,1 等价向量组所生成向量空间相同。,一些结论,结论2表明，此时V中向量可用一个统一式子表出。,内容,回顾,第7页,第7页,定义 称解空间S基为方程组 AX=0,基础解系,。,结论 2 若R(A)=r,则解空间S维数等于 nr。,（其中 n 为方程组中未知变量个数）,结论 1 齐次线性方程组 AX=0 解全体是一个向量,空间。（记为 S，称S为解空间。）,若设,是S基础解系，则任一解可表示为,称（*）式为齐次方程组,AX,=0,通解,。,第8页,第8页,B,解：应填,.,考研题,以上命题中正确是,练 习,第9页,第9页,例,(P94 例 2),求解方程组,解 对系数矩阵施行初等,行,变换变为,行最简形,同解方,程组：,通解,为：,第10页,第10页,例 设,A,B,都是,n,阶方阵,且,AB,=0,证实,R(A)+R(B)n,见P94,例3,证 将矩阵,B,按列分块,则,由,AB,=0,即,B,每一个列向量皆为方程组,AX=,0 解向量。,又若,R,(,A,)=,r,，则解空间,S,维数：维(,S,)=,nr,。,第11页,第11页,非齐次线性方程组,第12页,第12页,设有非齐,次方程组,向量,形式,矩阵形式,AX=b 其中A,mn,为系数矩阵 (6),第13页,第13页,结论 对非齐次方程组(4)来说,下面四种说法等价：,方程组（4）有解；,向量,b,能由向量组,a,1,a,2,a,n,线性表示；,向量组,a,1,a,2,a,n,与向量组,a,1,a,2,a,n,b,等价；,矩阵 A=(,a,1,a,2,a,n,)与B=(,a,1,a,2,a,n,b,)秩相等。,通常称 A为,系数矩阵,，称 B=(A，b)为,增广矩阵,。,定理 1 非齐次方程组有解充足必要条件为：它系数,矩阵A与增广矩阵B秩相等。,即 AX=b 有解 充要条件为 R(A)=R(B)。,故,知 当R(A)R(B)时，方程组无解。,利用增广矩阵,方程组(4)解鉴定条件常表述为：,第14页,第14页,非齐次方程组,解结构,。,性质 1,为相应齐次方程组AX=,O,解,。,性质 2,非齐次方程通解=相应齐次方程通解+,+非齐次方程一个特解,第15页,第15页,是相应齐次方程基础解系，,若设,则非齐次方程 AX=b,通解,可表示为,第16页,第16页,对于非齐次线性方程组,在有无穷多解时，,通解为,第17页,第17页,向量组相关性讨论,向量组秩和最大无关组讨论,求向量组秩和最大无关组、并将其余向量用此,最大无关组线性表示,。,关于矩阵秩命题讨论,解齐次、非齐次方程组；,带有参数非齐次方程组解讨论；,一些综合问题。,二、典型习题类型,第18页,第18页,1.n 阶方阵A可逆充要条件,A可逆,三、一些结论,第19页,第19页,2.关于矩阵秩关系式,第20页,第20页,答 应选 C).,例1 若向量组 线性无关,线性相关,下面中结论那一个正确:,98年考研题,由于 线性相关,而 线性无关,补充例题,第21页,第21页,答 应选 D).,注意线性无关向量组不也许由个数比它少向量组,线性表示。,例2 向量组 I:可由向量组II:,线性表示，则,考研题,补充例题,第22页,第22页,例3,证 设有一组数,98年考研题,第23页,第23页,例4,补充例题,第24页,第24页,第25页,第25页,第26页,第26页,(1),设非齐次方程组 AX=b，R(A)=n-1,其中 n 是,未知数个数，,是方程组两个不同解，则,方程组通解为,。,补充例题,(2),若线性方程组,有解,则常数 应满足条件()。,例5,第27页,第27页,(2),若线性方程组,有解,则常数 应满足条件()。,解 增广矩阵,易见，方程组有解,第28页,第28页,证 由于A组、B组皆可由C 组线性表示，故有,例6,(P87第1题),设向量组A：秩为,r,1,，向量组B：秩为 r,2,，向量组,C：秩为 r,3，,证实：,下证,当 r,1,=0,，,r,2,=0时，结论显然成立。,从而，,补充例题,第29页,第29页,于是C组中任一向量可由,在 r,1,0,，,r,2,0时，可不妨设：,是A组最大无关组,是B组最大无关组,线性表示，从而,例6,(P87第1题),设向量组A：秩为,r,1,，向量组B：秩为 r,2,，向量组,C：秩为 r,3，,证实：,第30页,第30页,答 应选,B).,例 7,考研题,评点：请注意A*与A秩之间关系(,参见P104习题7,).,第31页,第31页,考研题,例 8,解,第32页,第32页,第33页,第33页,(A),(B),(D),例 9,考研题,(C),第34页,第34页,注意:A)表示有唯一解,C)表示两两有公共解,D)表示某,方程分别与另两方程有公共解.,(A),(B),(D),(C),第35页,第35页,抽象线性空间与线性变换,其基本内容下列,第六章 总结,第36页,第36页,第37页,第37页,典型例题,一、线性空间鉴定,二、子空间鉴定,三、求向量在给定基下坐标,四、由基和过渡矩阵求另一组基,第38页,第38页,五、过渡矩阵求法,六、线性变换鉴定,七、相关线性变换证实,八、线性变换在给定基下矩阵,九、线性变换在不同基下矩阵,第39页,第39页,线性空间定义,第40页,第40页,第41页,第41页,那么，就称为（实数域 上）,向量空间,（,或,线性空间,），中元素无论其本来性质如,何，统称为（,实,）,向量,简言之，凡满足八条规律加法及乘数运算，,就称为,线性运算,；凡定义了线性运算集合，就,称为,向量空间,第42页,第42页,线性空间性质,第43页,第43页,子空间,定义,设 是一个线性空间，是 一个非空子,集，假如 对于 中所定义加法和乘数两种运算,也构成一个线性空间，则称 为 子空间,定理,线性空间 非空子集 构成子空间充足,必要条件是：对于 中线性运算封闭,第44页,第44页,定义,线性空间维数、基与坐标,第45页,第45页,定义,第46页,第46页,基变换,第47页,第47页,第48页,第48页,坐标变换,第49页,第49页,第50页,第50页,线性变换定义,第51页,第51页,变换概念是函数概念推广,第52页,第52页,第53页,第53页,第54页,第54页,线性变换性质,第55页,第55页,线性变换矩阵表示,第56页,第56页,10线性变换在给定基下矩阵,第57页,第57页,第58页,第58页,第59页,第59页,同一线性变换在不同基下矩阵是相同，,反之，相同矩阵也能够当作是同一线性变换在不,同基下矩阵,11线性变换在不同基下矩阵,第60页,第60页,