四旋转体侧面积补充市公开课金奖市赛课一等奖课件.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,四、旋转体侧面积,(补充),三、已知平行截面面积函数,立体体积,第二节,一、平面图形面积,二、平面曲线弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定积分在几何学上应用,第,六,章,第1页,第1页,一、平面图形面积,1.直角坐标情形,设曲线,与直线,及,x,轴所围曲,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,边梯形面积为,A,右下图所表示图形面积为,第2页,第2页,例1.,计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形面积.,解:,由,得交点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第3页,第3页,例2.,计算抛物线,与直线,面积.,解:,由,得交点,所围图形,为简便计算,选取,y,作积分变量,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第4页,第4页,例3.,求椭圆,解:,利用对称性,所围图形面积.,有,利用椭圆参数方程,应用定积分换元法得,当,a,=,b,时得圆面积公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第5页,第5页,普通地,当曲边梯形曲边由参数方程,给出时,按,顺时针方向,要求起点和终点参数值,则曲边梯形面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第6页,第6页,例4.,求由摆线,一拱与,x,轴所围平面图形面积.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第7页,第7页,2.极坐标情形,求由曲线,及,围成曲边扇形面积.,在区间,上任取小区间,则相应当小区间上曲边扇形面积近似值为,所求曲边扇形面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第8页,第8页,相应,从 0 变,例5.,计算阿基米德螺线,解:,点击图片任意处,播放开始或暂停,机动 目录 上页 下页 返回 结束,到 2,所围图形面积.,第9页,第9页,例6.,计算心形线,所围图形,面积.,解:,(利用对称性),心形线 目录 上页 下页 返回 结束,第10页,第10页,心形线,(外摆线一个),即,点击图中任意点,动画开始或暂停,尖点:,面积:,弧长:,参数几何意义,第11页,第11页,例7.,计算心形线,与圆,所围图形面积.,解:,利用对称性,所求面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第12页,第12页,例8.,求双纽线,所围图形面积.,解:,利用对称性,则所求面积为,思考:,用定积分表示该双纽线与圆,所围公共部分面积.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,第13页,第13页,二、平面曲线弧长,定义:,若在弧,AB,上任意作内接折线,当折线段最大,边长,0 时,折线长度趋向于一个拟定极限,此极限为曲线弧,AB,弧长,即,并称此曲线弧为可求长.,定理:,任意光滑曲线弧都是可求长.,(证实略),机动 目录 上页 下页 返回 结束,则称,第14页,第14页,(1)曲线弧由直角坐标方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,(P168),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第15页,第15页,(2)曲线弧由参数方程给出:,弧长元素(弧微分):,因此所求弧长,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第16页,第16页,(3)曲线弧由极坐标方程给出:,因此所求弧长,则得,弧长元素(弧微分):,(自己验证),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第17页,第17页,例9.,两根电线杆之间电线,由于其本身重量,成悬链线.,求这一段弧长.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,下垂,悬链线方程为,第18页,第18页,例10.,求连续曲线段,解:,弧长.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第19页,第19页,例11计算摆线,一拱,弧长.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第20页,第20页,例12.,求阿基米德螺线,相应于 0,2,一段弧长.,解:,(P349 公式39),小结 目录 上页 下页 返回 结束,第21页,第21页,三,、已知平行截面面积函数立体体积,设所给立体垂直于,x,轴截面面积为,A,(,x,),则相应于小区间,体积元素为,因此所求立体体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上连续,第22页,第22页,尤其,当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕,y,轴旋转一周围成立体体积时,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第23页,第23页,例13.,计算由椭圆,所围图形绕,x,轴旋转而,转而成椭球体体积.,解:办法1,利用直角坐标方程,则,(利用对称性),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第24页,第24页,办法2,利用椭圆参数方程,则,尤其当,b,=,a,时,就得半径为,a,球体体积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第25页,第25页,例14.,计算摆线,一拱与,y,0,所围成图形分别绕,x,轴,y,轴旋转而成立体体积.,解:,绕,x,轴旋转而成体积为,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第26页,第26页,绕,y,轴旋转而成体积为,注意上下限!,注,注 目录 上页 下页 返回 结束,第27页,第27页,分部积分注,(利用“偶倍奇零”),第28页,第28页,柱壳体积,阐明:,柱面面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第29页,第29页,偶函数,奇,函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第30页,第30页,例15.,设,在,x,0 时为连续非负函数,且,形绕直线,x,t,旋转一周所成旋转体体积,证实:,证:,利用柱壳法,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,第31页,第31页,例16.,一平面通过半径为,R,圆柱体底圆中心,并,与底面交成,角,解:,如图所表示取坐标系,则圆方程为,垂直于,x,轴 截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体体积.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第32页,第32页,思考:,可否选择,y,作积分变量?,此时截面面积函数是什么?,如何用定积分表示体积?,提醒:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第33页,第33页,垂直,x,轴截面是椭圆,例17.,计算由曲面,所围立体(椭球体),解:,它面积为,因此椭球体体积为,尤其当,a,=,b,=,c,时就是球体体积.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,体积.,第34页,第34页,例18.,求曲线,与,x,轴围成封闭图形,绕直线,y,3 旋转得旋转体体积.,(94 考研),解:,利用对称性,故旋转体体积为,在第一象限,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第35页,第35页,四、旋转体侧面积,(补充),设平面光滑曲线,求,积分后得旋转体侧面积,它绕,x,轴旋转一周所得到旋转曲面侧面积.,取侧面积元素:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第36页,第36页,侧面积元素,线性主部.,若光滑曲线由参数方程,给出,则它绕,x,轴旋转一周所得旋转体,不是薄片侧面积,S,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,侧面积为,第37页,第37页,例19.,计算圆,x,轴旋转一周所得球台侧面积,S,.,解:,对曲线弧,应用公式得,当球台高,h,2,R,时,得球表面积公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第38页,第38页,例20.,求由星形线,一周所得旋转体表面积,S,.,解:,利用对称性,绕,x,轴旋转,星形线 目录 上页 下页 返回 结束,第39页,第39页,星形线,星形线是内摆线一个.,点击图片任意处,播放开始或暂停,大圆半径,R,a,小圆半径,参数几何意义,(当小圆在圆内沿圆周滚动,时,小圆上定点轨迹为是内摆线),第40页,第40页,内容小结,1.平面图形面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,2.平面曲线弧长,曲线方程,参数方程方程,极坐标方程,弧微分:,直角坐标方程,上下限按顺时针方向拟定,直角坐标方程,注意:,求弧长时积分上下限必须,上大下小,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第41页,第41页,3.已知平行截面面面积函数立体体积,旋转体体积,绕,x,轴4.旋转体侧面积,侧面积元素为,(注意在不同坐标系下 ds 表示式),绕,y,轴:,(柱壳法),机动 目录 上页 下页 返回 结束,第42页,第42页,思考与练习,1.用定积分表示图中阴影部分面积,A,及边界长,s,.,提醒:,交点为,弧线段部分,直线段部分,机动 目录 上页 下页 返回 结束,以,x,为积分变量,则要分,两段积分,故以,y,为积分变量.,第43页,第43页,2.试用定积分求圆,绕,x,轴,上,半圆为,下,求体积:,提醒:,办法1,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,旋转而成环体体积,V,及表面积,S,.,第44页,第44页,办法2,用柱壳法,阐明:,上式可变形为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上,半圆为,下,此式反应了环体微元另一个取法(如图所表示).,第45页,第45页,求侧面积:,利用对称性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上式也可写成,上,半圆为,下,它也反应了环面微元另一个取法.,第46页,第46页,作业,P279 2(1),(3);3;4;5(2),(3);,8(2);9;10;,22;,25;27;30,第三节 目录 上页 下页 返回 结束,面积及弧长部分,：,体积及表面积部分：,P279 13;14;15(1),(4);17;18,补充题:,设有曲线,过原点作其切线,求,由此曲线、切线及,x,轴围成平面图形绕,x,轴旋转一,周所得到旋转体表面积.,第47页,第47页,备用题,解：,1.,求曲线,所围图形面积.,显然,面积为,同理其它.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,又,故在区域,第48页,第48页,分析曲线特点,2.,解:,与,x,轴所围面积,由图形对称性,也合于所求.,为何值才干使,与,x,轴围成面积等,机动 目录 上页 下页 返回 结束,故,第49页,第49页,3.,求曲线,图形公共部分面积.,解,：,与,所围成,得,所围区域面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,第50页,第50页,设平面图形,A,由,与,所拟定,求,图形,A,绕直线,x,2 旋转一周所得旋转体体积.,提醒：,选,x,为积分变量.,旋转体体积为,4.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,若选,y,为积分变量,则,第51页,第51页,