1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,一、二次型的标准形,定义,5.4,如果二次型,经过可逆线性变换 ，化为二次型 ，并且,则,(5.4),称为二次型 的,标准形,。,介绍几种化二次型为标准形的方法。,1,用配方法化二次型为标准形,例,1,用配方法化二次型,为标准形，并写出对应的可逆线性变换。,解,先将含有 的各项归并在一起，并配成完全平方项：,再对后三项中含有 的项配方，则,令,(5.5),则原二次型的标准形为,由,(5.4),可得由变量 到变量 的线性变换为,线性变换的矩阵,由于 ，这是一个可逆线性变换。,例,2,用配方法化二次型,为标准形
2、并写出对应的线性变换。,解,二次型中没有完全平方项，可先做线性变换,即,其中线性变换的矩阵,原二次型为,令,即,此线性变换可记为 其中线性变换的矩阵,由此得二次型的标准形,从变量 到变量 的线性变换,其中,即,对应的线性变换为,例,3,用配方法将二次型,化为标准形。,分析,如果由已知二次型直接作线性变换,可得二次形的标准形为,但是，上面线性变换的矩阵,而 ，即此线性变换是退化的，上述解法也是错误的。,解,由已知条件，二次型可用配方法标准化,正确的解法应利用可逆线性变换化二次型为标准形。,令,即,可得二次型的标准形为,对应线性变换的矩阵,一般的，任何一个二次型都可以通过配方法化为标准形。,定理
3、5.2,任何一个二次型通过可逆线性变换一定可以化为,标准形。,2,用正交变换法化二次型为标准形,定理,5.3,任一,n,元二次型都可以通过正交变换变换为标准形。,例,4,用正交变换法将二次型,化为标准形，并求所作的正交变换。,解,二次型,f,的矩阵,A,的特征方程,所以,A,的特征值为,即存在正交矩阵,Q,，使得 ，其中,所以二次型的标准形为,对于特征值 ，解齐次线性方程组,由,得 的同解方程组,于是得到对应于 ，的特征向量,类似可得对应于特征值 的线性无关的特征向量,利用施密特正交化方法，将 正交化：令,将 单位化，有,则,Q,为正交矩阵，所作正交变换为,例,5,用正交变换法将下列二次型化
4、为标准形，并求所作,的正交变换：,解,二次形的矩阵,A,的特征方程,由此可得,A,的特征值,于是通过正交变换,二次型,f,可化为标准形,对于 解方程组,得到对应的线性无关的特征向量,利用施密特方法将 正交化：,令,对于 解方程组,得对应的特征向量,将 单位化：,再将 单位化，得,令矩阵,Q,为正交矩阵，且所作正交变换为,二,、,二次型的标准形,定义,5.5,如果二次型,(,其中,),通过,可逆线性变换可以化为,(5.11),则,(5.11),称为该二次型的规范形。,定理,5.4,(,惯性定理,),任一二次型 都可以通过可逆线性变换转化为,规范形，且规范形是唯一的。,在二次型 的规范形中，系数为正的平方项个,数,p,称为 的,正惯性指数,；,系数为负的平方项个数,r-p,称为 的,负惯性,指数,；,它们的差,p-,(,r-p,),=,2,p-r,称为 的,符号差,。,推论,任一实对称矩阵,A,合同于对角矩阵,其中,1,和,-1,的总数等于,A,的秩,r,(,A,),，,1,的个数由,A,唯一确定，,它正是,A,的正惯性指数,p,.,例,7,在本节例,2,中，二次型,通过可逆线性变换,X=CZ,化为标准形,其中矩阵,在本节例,4,中，利用正交变换,X=QY,得到该二次型的,标准型为,做可逆线性变换,记,则通过线性变换,f,可化为规范形,由变量 到变量 的可逆线性变换,
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