单元复习杨宾.pptx

单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/12/25,#,单击此处编辑母版标题样式,全等三角形,复习,基本概念,1,、叙述什么是命题？什么是真命题？什么是假命题？,2,、命题的题设和结论？改写命题,3,、命题的逆命题,4,、定理的逆定理,1,、可以判断出它是,正确,的还是,错误,的句子叫做,命题,，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题。,2,、在数学中，许多命题是由,题设（或已知条件,）、,结论,两部分组成的。题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项,3,、要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个例子，说明该命题不成立，即只要举出一个符合该命题题设而不符合该命题结论的例子就可以了，在数学中，这种方法称为“举反例”,4,、数学中有些命题的正确性是人们在长期,实践中总结出来的,，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做,公理,不用证明，也无法用推理进行证明,5,、数学中有些命题可以,从公理出发用逻辑推理的方法证明它们是正确的,，并且可以进一步作为推断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做,定理,6,、,边角边公理：,如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等简写成“边角边”或简记为（,S.A.S,.）,7,、,角边角公理：,如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等那么这两个三角形全等简记为“角边角”或简记为,(A.S.A,.,),。,8,、,角角边定理：,如果两个三角形的两个角及其中一角的对边对应相等，那么这两个三角形全等简写成：“角角边”或简记为,(A.A.S,.,),。,9,、,边边边公理：,如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等简写为“边边边”，或简记为（,S.S.S,.）。,10,、斜边直角边：,斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等,.,简写成“斜边、直角边”或“,H,.,L,.,”.,注意：边边角不能判定三角形全等，如：,边,边,角,(S,.,S,.,A,.,),三角形不一定全等,边,1,边,1,边,2,边,2,角角,另一种情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角,（简称,S,.,S,.,A,.）,不一定全等,在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称为,尺规作图,.,最基本,最常用的尺规作图,通常称,基本作图,.,其中,直尺是,没有,刻度的,;,一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的,.,2,、作一个角等于已知角,3,、平分已知角,作图原理是,4,、经过一已知点作已知直线的垂线,5,、画已知线段的垂直平分线,作图原理是,1,、作一条线段等于已知线段,五种基本作图,三角形全等,线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等和两点确定一条直线,一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做,互逆命题,如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题,每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题但是原命题正确，它的逆命题未必正确例如真命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，此命题就是假命题,如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理,原命题：题设,+,结论,互逆命题,逆命题：题设,+,结论,逆定理,：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成,“,等角对等边,”,）,性质定理,：,等腰三角形的底角相等（简称：等边对等角）,等腰三角形,角平分线定理及逆定理,角平分线性质定理,：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等,角平分线性质定理的逆定理：,到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上,线段的垂直平分线定理及逆定理,性质定理,：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等,逆定理：,到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上,注意：,判断就是命题,.,命题可能正确,也可能错误,.,命题一般用陈述句叙述，疑问句、祈使句、感叹句等不是命题。,所有命题都有逆命题，原命题正确，它的逆命题不一定正确；所有定理都是真命题，它的逆命题不一定是真命题。,所有定理不一定都有逆定理，只有定理的逆命题是真命题才有逆定理。,命题,构成：,1),在数学中，许多命题都是由（）,（或条件）,和（）两部分组成,.,（）是已知事项，（）是由已知事项推出的事项,2),命题常写成,“,如果,那么,”,的形式,.,其中，用,“,如果,”,开始的部分是题设，用,“,那么,”,开始的部分是结论,题设,结论,题设,结论,例,1,把命题“在一个三角形中，等角对等边”改写成“如果,那么,”,的形式，并分别指出命题的题设与结论,例题,解 这个命题可以写成：“,如果在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等,.”,这里的,题设是“在一个三角形中有两个角相等,”，结论是“,这两个角所对的边也相等,”,.,请你试试看,命题的改写,把下列命题改写成“如果,那么,”,的形式,1,、,正方形,的两条对角线相等,如果一个四边形是正方形，那么这个正方形的两条对角线相等,2,、,四个角相等的菱形,是正方形,如果菱形的四个角相等，那么这个菱形是正方形,3,、,全等的两个三角形,，三条对应边相等,如果两个三角形全等，那么这两个三角形的对应边相等,请你试试看,命题与逆命题，定理与逆定理,写出下列命题的逆命题并判定真假,1,、正方形的两条对角线相等,两条对角线相等的四边形是正方形（）,2,、两直线平行，同位角相等,同位角相等，两直线平行,（）,3,、,全等的两个三角形,，三条对应边相等,三条对应边相等的两个三角形全等（）,假命题,真命题,真命题,练习,1,：指出下列命题的题设和结论，并说出它们的逆命题。,1,、如果一个三角形是直角三角形，那么它的,两个锐角互余,.,一个三角形是直角三角形,.,结论：,逆命题：,题设：,它的两个锐角互余,.,如果一个三角形的两个锐角互余，,那么这个三角形是直角三角形,.,2,、等边三角形的每个角都等于,60,题设：一个三角形是等边三角形,.,结论：它的每个角都等于,60,逆命题：如果一个三角形的每个角都等于,60,，,那么这个三角形是等边三角形,.,3,、全等三角形的对应角相等,.,题设：两个三角形是全等三角形,.,结论：它们的对应角相等,.,逆命题：如果两个三角形的对应角相等，,那么这两个三角形全等,.,4,、到一个角的两边距离相等的点，在这个角的 平分线上,.,题设：一个点到一个角的两边距离相等,.,结论：它在这个角的平分线上,.,逆命题：角平分线上一点到角两边的距离相等,.,5,、线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个 端点的距离相等,.,题设：一个点在一条线段的垂直平分线上,.,结论：它到这条线段的两个端点的距离相等,.,逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,.,6,、,直角三角形中，如果一个锐角等于,30,，那么它所对的直角边等于斜边的一半,题设：,直角三角形中，一个锐角等于,30,结论：,30,角所对的直角边等于斜边的一半,逆命题：,直角三角形中，如果一个锐角所对的直角边等于斜边的一半，那么这个角等于,30,7,、直角三角形中，,两直角边的平方和等于斜边的平方,题设：,直角三角形中,结论：,两直角边的平方和等于斜边的平方,逆命题：,三角形两边的平方和等于另一边的平方，这个三角形是直角三角形,基本作图,在几何里,把限定用直尺和圆规来画图,称为,尺规作图,.,最基本,最常用的尺规作图,通常称,基本作图,.,其中,直尺是没有刻度的,;,一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的,.,以前学过的,”,作一条线段等于已知线段,”,就是一种基本作图,.,下面介绍几种基本作图,:,已知：,线段,AB,求作线段,A B,，,使,A B,AB,A,B,作法与示范：,(1),作射线,A,C,；,A,C,(2),以点,A,为圆心，,以,AB,的长为半径,画弧，,交射线,A,C,于点,B,，,B,A,A,B,就是所求作的线段。,示 范,作 法,已知：,AOB,。,B,O,A,求作：,A,O,B,使,A,O,B,=,AOB,。,O,A,(2),以点,O,为圆心，,任意长为半径,交,O,A,于点,C,，,(3),以点,O,为圆心，,画弧，,C,D,同样,(,OC,),长为半径,画弧，,C,(4),以点,C,为圆心，,CD,长为半径,画弧，,D,(5),过点,D,作射线,O,B,.,B,A,O,B,A,OB,就是所求的角,.,作 法 示 范,(1),作射线,O,A,;,交,O,B,于点,D,;,交,O,A,于点,C,;,交前面的弧于点,D,，,（,2,）作一个角等于已知角,思考：探究与合作,你会做一条线段等于所给线段的和或差吗？,a,b,A,C,D,a,E,b,线段,AE,就是求做线段,a+b,你能作出,b-a,吗？试试看,3,、平分已知角,角平分线,已知：,AOB,。,求作：射线,OC,，使,AOC=,BOC,。,作法：,1,、以点,O,为圆心，任意长为半径画弧分别交,OA,、,OB,于点,D,、,E,。,2,、分别以,D,、,E,为圆心、大于,DE,的一半的长为半径画弧，在,AOB,内两弧交于点,C,。,3,、作射线,OC,。,OC,就是所求的射线,。,A,O,B,C,D,E,作角平分线的原理是：三角形全等,步骤：,1,、分别以点,A,、,B,为圆心，以大于,AB,一半的长为半径画弧，两弧的交于点,C,、,D,。,2,、连结,CD,。,则,CD,是线段,AB,的,垂直平分线,A,B,C,D,已知：线段,AB,。,求作：作直线,CD,交,AB,于,O,，使,CDAB,且,AO=BO.,4,、画已知线段的垂直平分线,线段的垂直平分线作图原理是：线段的垂直平分线的点到线段两端的距离相等和两点确定一条直线,作法,：,(1),以点,C,为圆心，任一线段的长为半径画弧，交直线,l,于点,A,、,B,；,(2),以点,A,、,B,为圆心,以大于,CB,长为半径在直线一侧画弧，两弧交于点,D,；,(3),经过点,C、D,作直线,CD,直线,CD,即为所求,.如图，点C在直线l上，试过点C画出直线l的垂线,5.,过定点作已知直线的垂线,D,C,A,B,l,作法,：,(1),以点,C,为圆心，以适当长为半径画弧，交直线,l,于点,A,、,B,；,(2),分别以点,A.B,为圆心，以,CB,长为半径在直线另一侧画弧，两弧于点,D,(3),经过点,C、D,作直线,CD,直线,CD,即为所求,.如图，如果点C不在直线l上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线l的垂线？,A,B,D你能画出红球在第一次反弹后的运动路线吗,？,用一用,数学小知识,打台球时,，,球的,反射角,总是等于,入射角,.,入射角,反射角,O,1,、,已知：,AOB,。,利用尺规作：,A,O,B,使,A,O,B,=,2,AOB,.,B,O,A,独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹。,作法一,:,C,A,B,A,O,B,为所求,.,B,O,A,法二,:,C,D,C,E,B,O,A,A,O,B,为所求,.,已知 ，求作,ABC,，,使,ABC,尺规作图：,b,a,独立思考、合作交流；口述作法、保留作图痕迹。,A,B,C,作一点,P,，使点,P,到,AOB,的距离相等，到点,E,、,F,的距离也相等F,E,知识回顾,对应边相等,AB=DE BC=EF CA=FD,对应角,A=D B=E C=F,A,B,C,D,E,F,1,、什么叫全等三角形？,能够完全重合的两个三角形叫,全等三角形,。,2,、全等三角形有什么性质？,想一想：,两个三角形全等，通常需要,3,个条件，其中至少要有,1,组,对应相等。分为：,2,、,三角形全等的判定条件,边,两边一角,两角一边,三条边,三个角,两个三角形全等的条件是：应该具备,三组,对应的元素（边或角）；,如果只有,一组或者两组,对应的元素（边或角），这两个三角形,不一定,全等,知识点,三角形全等的证题思路：,问题：如果要证明两个三角形全等，题中只给出两个条件，现在又不允许添加条件，你有办法证明两个三角形全等吗？,例：如图,AB=AC,，,AD=AE,你能指出图中哪些三角形全等？,A,B,E,D,C,缺什么条件，题中能找到吗？,公共角,A,A,B,C,D,例：如图,AB=AC,，,BD=CD,你能指出图中哪些三角形全等？,公共边,AD,例,:,已知，如图，,，求证：,有一同学证法如下：,证：连结,AB,在,ABC,和,ABD,中,BC=BD,C=D,AB=AB,ABCABD (S,.,A,.,S,.,),AC=AD,你认为这位同学的证法对吗？如果错误，,错在哪里，应怎样证明？,答：证法错误。,S,.,A,.,S,.定理应用错误。,（,1,）如图，ACB=90,，,AC=CB,，,BECE,，,ADCE,于,D,，,AD=2.5cm,DE=1.7cm,。求：,BE,的长。,练习：,解：,BCE=ACB-ACD=90-ACD,DAC ADC-ACD=90-ACD,BCE=DAC,又 ,AC=CB,ADC=CEB,CEBADC (A.A.S,.,),AD=CE=2.5cm,BE=CD=CE-DE=2.5-1.7=0.8cm,（,2,）如图,在,ABC,中,ACB=90,AO,是角平分线,点,D,在,AC,的延长线上,DE,过点,O,且,DEAB,垂足为,E.,(1),请你找出图中一对相等的线段,并说明它们相等的理由,;,解：,ACB=90BCAC,AO,平分,BAC,又,DEAB BCAC,OE=OC,（,角平分线上的点到角两边的距离相等,（,2,）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来，,并说明理由,A,C,D,O,B,E,练习：,3,、,如图，,B=C=90,度，,M,是,BC,的中点，,DM,平分,ADC,，求证：,AM,平分,DAB,A,D,C,B,M,E,证明：过点,M,作,MEAD,C=90,度,ME=MC,（角平分线性质定理）,又 ,B=90,度,MC=MB,（,M,是,BC,的中点）,ME=MB,（等量代换）,AM,平分,DAB,（角平分线性质定理,的逆定理）,1805,年，拿破仑率领大军与德军在莱茵河畔激战，德俄联军在河的北岸设防，而法军则在南岸集结，中间隔一条很宽的莱茵河，法军要使炮弹准确落到对方阵地，就必须知道河有多宽，当时双方剑拔弩张，坐船测量河宽是根本不可能的。,拿破仑为解决这个难题在南岸观望，一时束手无策忽然，他发现河水与北岸的边线，在视野里恰好擦着自己的帽舌边缘，于是他眉头一皱计上心来，他先一步一步向后退去，一直退到莱茵河与南岸的边线正好擦着他的帽舌时，便立定，叫人把这个地方到莱茵河南岸水边的距离测一下他知道，量得的距离一定等于河的宽度，于是他命令部下根据量得的距离确定射击目标，向北岸的德俄联军发起炮击，果然炮弹像长了眼睛，每发都击中了目标士兵们不仅仅是佩服拿破仑的知识，更重要的是拿破仑运用数学知识的能力,拿破仑测莱茵河河宽,试一试,已知：,A,、,B,两点之间被一个池塘隔开，无法直接测量,A,、,B,间的距离，请给出一个适合可行的方案，画出设计图，说明依据。,E,C,D,C,D,C,D,试一试,你准行,已知：,AB=AC,，,EB=EC,，,AE,的延长线交,BC,于,D,，,试说明：,BD=CD,A,B,D,C,E,解,：,在,ABE,和,ACE,中,AB=AC,，,EB=EC,，,AE=AE,ABEACE(S,.,S,.,S,.,),BAE,CAE,在,ABD,和,ACD,中,AB=AC BAE=CAE AD=AD,ABD ACD (S,.,A,.,S,.,),BD=CD,做一做,1,、如图，要识别,ABCADE,，除公共角,A,外，把还需要的两个条件及其根据写在横线上。,A,B,C,E,D,（,1,）,，,（）,（,2,）,，,（）,（,3,）,，,（）,（,4,）,，,（）,（,5,）,，,（）,（,6,）,，,（）,（,7,）,，,（）,S,.,A,.,S,.,AB=AD,AE=AC,AE=AC,1=,2,B=,C,AB=AD,A,.,S,.,A,.,1,2,AB=AD,A,.,A,.,S,.,B=,C,AE=AC,A,.,A,.,S,.,1=,2,A,.,S,.,A,.,1=,2,ED=CB,A,.,A,.,S,.,B=,C,ED=CB,A,.A,.,S,.,2,、如图，,D,为,BC,中点，,DFAC,，且,DE=DF,，,B,与,C,相等吗？为什么？,A,D,C,B,F,E,E,F,D,B,A,C,无法证明,B,与,C,3,、,如图，,AB=AC,，,BD,、,CE,是,ABC,的角平分线，,ABDBCE,吗？为什么？,B,A,C,D,E,无法证明,ABDBCE,4,、如图，,AB=AD,，,AC=AE,，,EAB=CAD,，,ABC,与,ADE,全等吗？,B,A,C,D,E,证明：,EAB,CAD,（已知）,EAB,EA,C,CAD,EAC,即,EAD,CAB,在,ABC,和,ADE,中,ABCADE,（,S,.,A,.,S,.）,课后作业,完成本课时对应习题,