高等数学微积分61定积分的概念与性质.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,1,6.1,定积分的概念与性质,一、曲边梯形的面积,二、定积分的定义,三、定积分的几何意义,四、定积分的基本性质,在本节中我们将从一些实际问题的计算里提炼出一类关于“和式极限”计算的数学问题,从而引申出定积分的概念,并探讨它的性质、几何意义。,2,引例：曲边梯形的面积,曲边梯形的概念,:,由连续曲线,y,=,f,(,x,),与直线,x,=,a,x,=,b,以及,x,轴围成的平面图形叫,曲边梯形,。,如何计算曲边梯形的面积？,(,不规则图形的面积,),y,x,O,a,b,y,=,f,(,x,),初等数学中对规则图形,(,直线边,),面积的计算：,(,来源于矩形面积的定义,),矩形,S=a,b,三角形,S=,a,b/2,梯形,S=(a+b)h/2,3,无限细分、无限求和,处理该类问题的基本思路：无限细分,(,化曲为直,),、无限求和！,x,y,O,a,b,y=f,(,x,),4,曲边梯形的面积计算,分割,设函数在区间,a,b,上连续,y,=,f,(,x,),0,分割：,任意插入,n,-1,个分点：,个小区间,其长度,如上图，过各分点作,x,轴的垂线，,将曲边梯形分成,n,个小曲边梯形其面积为,把,分成,5,曲边梯形的面积计算,近似、求和,取近似：,在每个小区间上任,取一点,以,为高，,以,为底，,作,n,个小矩形，其面积分,别为,则,求和：,6,思考：,为什么可以用小矩形的面积近似计算小曲边梯形面积，而不直接用一个矩形的面积近似计算整个曲边梯形面积？,近似计算的前提：是,x,i,要充分的小！,7,曲边梯形的面积计算,极限,取极限：,n,=4,n,=8,可见：,时,曲边梯形的面积,即,8,引例：变速直线运动的位移,设某物体作变速直线运动,已知速度,v,=,v,(,t,),是时间间隔,T,1,T,2,上的连续函数,且,v,(,t,),0,求物体在这段时间内所,经过,的,位移,s,？,O,.,.,T,O,t,1,t,i,t,i,-1,t,n,-1,S,始点,终点,t,2,.,.,.,.,.,9,变速直线运动位移的计算,分割,:,时间段,T,1,T,2,上任取分点,t,i,(,i,=1,2,n,-1);,把,T,1,T,2,分成,n,小段,t,i-1,t,i,(,i,=1,2,n,),每小段时间长度,t,i,=,t,i,-,t,i-1,;,相应地,位移也分成,n,段,s,i,取近似,:,s,i,v,(,i,),t,i,(,i,=1,2,n,),O,.,.,求和,:,取极限,:,所求位移为,(,其中,),10,解决此类求和问题的数学模式,四个基本步骤：,(1),分割,;(2),取近似,;(3),求和,;(4),取极限,曲边梯形的面积,变速直线运动的路程,还有其它许多实际问题,(,如“变力做功”等,),的解决都将归结于这种特殊类型的和式极限。人们把这类极限称为定积分,进行专门研究。,11,定积分的定义,定义：设,f,(,x,),在,a,b,上有定义,在,a,b,内任意插入,n-1,个点,:,a,=,x,0,x,1,x,2,x,n,-1,x,n,=,b,，它们把区间,a,b,分成了,n,个小区间,:,x,i,-1,x,i,(,i,=1,2,n,),其长度依次为,x,i,=,x,i,-,x,i-,1,(,i,=1,2,n,);,在各小区间上任取一点,i,(,x,i,-1,i,x,i,),作乘积,f,(,i,),x,i,；并作和式,如果不论对区间,a,b,如何分法,也不论在小区间x,i,-1,x,i,上分点,i,的取法,只要当,0,和式,S,n,总有极限,S,存在,即,则称极限,S,为,f,(,x,),在,a,b,上的,定积分,。,12,定积分的记号,我们将函数,f,(,x,),在,a,b,上的定积分记为：,被积函数,积分变量,积分限,(,下限）,-,积分符号,其中,-,被积函数,-,被积表达式,-,积分变量,-,积分区间,-,积分下限,-,积分上限,注,:,f,(,x,),在,a,b,上定积分存在,亦称,f,(,x,),在,a,b,上可积。,13,关于定积分定义的说明,定积分是一种特殊的和式,(,黎曼和,),的极限,其结果是一个数值。,(,比较：不定积分结果一组函数,),该和式极限存在,(,即函数,f,(,x,),可积,),是指不论对区间,a,b,如何分割,也不论在每个小区间上分点,i,怎样取法,该极限都要唯一地存在。,定积分只与被积函数、积分上、下限有关，而与积分变量的记号无关，即,无界函数不可积,;,若,f,(,x,),在,a,b,上有界,且只有有限个间断点,则,f,(,x,),在,a,b,上必可积。,规定：,14,例题与讲解,例：利用定义计算定积分,解：在,0,1,上,y,=,x,2,连续,故可积,(,任意分割都收敛,),。,15,定积分的几何意义,定积分几何意义,曲边梯形面积,(,笼统说法,),具体有：,若在区间,a,b,上,f,(,x,),0则,若在区间,a,b,上,f,(,x,),0,则,一般地，,f,(,x,),在区间,a,b,上可积,则定积分等于由曲线,y,=,f,(,x,),与直线,x,=,a,x,=,b,y,=0,所围成曲边梯形面积的,代数和,(,x,轴下方图形面积用负数表示,),。如：,16,定积分的性质,性质：,分析：被积函数是什么？该定积分的几何意义？,17,定积分的性质,(13),性质,1,(,和、差的运算性质,),性质,2,(,数乘的运算性质,),性质,3,(,区间可加性,),若,a,b,c,为任意常数,则,前提条件：,f,(,x,),、,g,(,x,),可积,18,定积分的性质,(4),性质,4,(,比较性质,),在区间,a,b,上,若,f,(,x,),g,(,x,),则,例：比较定积分,与,的大小,.,解：因为在,上，,所以,故由定积分比较性质有,19,定积分的性质,(56),性质,5,设,f,(x),在,a,b,上连续,f,(,x,),0,且,f,(,x,),不恒为零,则有,性质,6,(,估值定理,),若对任意,x,a,b,恒有,A,f,(,x,),B,则有,解：,20,定积分的性质,(7),性质,7,(,简单积分中值定理,),f,(,x,),在,a,b,上连续,则至少存在一点,a,b,使得,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,必有,a,b,使,即,概念：,f(x),在区间,a,b,上的平均值,21,积分中值公式的几何解释,在区间,a,b,上至少存在一点,使得以区间,a,b,为底边,以曲线,y,=,f,(,x,),为曲边的曲边梯形面积等于高为,f,(,),的同底矩形面积。,例：设,f,(,x,),可导,且,解,由积分中值定理知有,使,22,练习,1:,利用定积分定义计算,y=x,3,，直线,x=0,直线,x=1,及,x,轴所围成的图形的面积,S,