实变函数论课后答案第一章2.doc

实变函数论课后答案第一章2（p20-21）
第一章第二节
1. 证明平面上坐标为有理数的点构成一可数集合。
证明：将全体有理数排成一列 ，则平面上的有理点
，其中为可列集，故作为可数个的并为可数集。（第20页定理5）。
2. 以直线上的互不相交的开区间为元素的任意集合至多只有可数多个元素.
证明：设
这里为某指标集。
则我们可在任意这一开区间中选定一个有理数，与之对应，从而给出一个对应，

由于互不相交，当显然，故上述对应是的.
故与有理数集的一个子集对等，所以的势最多与的势相同，不会超过的势，
故要么为有限，要么为可数集.
3. 所有系数为有理数的多项式组成一可数集合.
证明：我们称系数为有理的多项式为有理多项式
任取非负整数，全体阶有理多项式的集合的势是.
事实上， 阶有理数
与之对应，这一对应显然是的，即
，这是因为由第一题：已知是可数集，利用归纳法，设是可数集，，
待证是可数集，
.
将中的点排成一列，将中的点排成一列，
则，其中显然为可数集，故
也是可数集，这表明阶有理多项式全体是一可数集，而全体有理多项式作为可数集的并也是可数集.
4. 如果是上的单调函数，则的不连续点最多有可数多个.
证明：我们在数学分析中知道上的单调函数的不连续点，只能是跳跃间断点，其任取上的单调函数，设其可能的间断点为 为某指标集，在，令则故，有一上的开区间与之对应.
不妨设，设使，，
有，故，
所以..
故的间断点的集合与上的一族互不相交的开区间对应，而后者的势为，故的间断点至多为可数多个.

5.设是一无穷集合，证明必有，使，且可数.
证明：若为可数集，则不妨设，令，则
，且.
显然仍为可数集，故此时结论成立.
若为无穷集，且不是可数集，则由P19定理1，中包含一个可数子集，令，则由于是无穷集，且不是可数集，是无穷集.
由P21定理7和为可数集知： 证毕
6. 若为一可数集合，则的所有有限子集构成的集合也是可数集.

证明：由第一，第三题的证明已知（为有理数集）.由于是可数集，故个由全体中的一个元素组成的集合，是可数集.
由全体中的两个元素组成的集合，是可数集
若，
记中的个元素组成的子集全体，则
故是可数集.
显然的所有有限子集构成的集合可表示为，为可数集，故作为可数个可数集的并也是可数集.
注意：的全体子集构成的集合不是可数集.

7. 若是有非蜕化的（即左，右端点不相等的）开区间组成的不可数无穷集合，则有，使中无穷多个区间的长度大于.
证明：设为一指标集，，
记的长度为.
若本题的结论不成立，则，只有有限个，使
，由于中的区间都是非蜕化的，，

由于是有限集，故作为可数个可数集的并，也是可数集，这与是不可数无穷集矛盾.
故，使中有无穷多个区间的长度大于.
事实上，中有不可数无穷多个区间的长度大于.

8. 如果空间中的长方形，中的
都是有理数，则称为有理长方形，证明全体有理长方形构成一可数集合.
证明：由前面题3，6中已知是可数集（为有理数组成的集合）
设，任取，记之为.
与之对应，由于两有理长方形相等
，故上述对应是单射，
故与这一可数集的一个子集 对应.
反过来，与显然对应，故与对应
所以与的一个子集对等.
由Berrstein定理 对等
所以是可数集.