超实数系统简介.doc

超实数系统简介及一个一致连续问题在其中的刻化
张建鸥 杨东升 （西安通信学院，西安，710106）
摘要 本文是用模型论的方法来说明非标准分析.首先是从高数中的导数定义入手，引出非标准数，对其进行简单的介绍.在这个基础上，引入超实数系统，比较其与实数系统的联系与区别，说明了确实是的一个真扩张，并且其中包含了“无限小”以及“无限大”元素.最后我们将实数中的一致连续问题在超实数系统中进行了刻化.
关键词 非标准数 超实数系统 超滤子 无限小 分类号 O14
一、引言
微积分是高等数学中最重要的部分之一.但是在学习微分中的导数时我们却碰到了问题.如，求的导数.根据函数导数的定义，应该有

在上式的最后一个极限中，只要令，就得到.然而我们注意到，在上式的第一个极限中，由于是分母，那么应该有.这就得到了矛盾.
在实际应用中，这种矛盾并不影响结果的正确性，所以未引起工程学家的重视.但是在理论方面，人们却有相当的抱怨.1960年，数理逻辑学家Abraham Robinson指出：用现代数理逻辑的概念和方法可以为“”进入微积分提供合适的框架.不过这个在实数范围内并不存在，因为大于，却又比任何正实数都小.从而Robinson提出将实数系统进行扩大，得到超实数系统.下面我们就来介绍.
二、的构造
将中的每个元素视为一个无限数列，即，则就成为一个无限列的集合.但是这样的数列却过于特殊了，因为数列的每一位均相同.我们可以将其一般化.即考虑无限数列.我们把这种一般列看作一个整体，引入下列的定义：
定义1[1]（非标准数的定义）设无限数列，记

则称为一个非标准数.我们把所有非标准数构成的集合记作.
既然给出了非标准数，那么自然就要考虑到数的运算及数的大小（序）问题，然而我们却碰到了如下几个方面的问题：
（i）实数是全序的.即每一对实数都有大小关系.当我们将看作是由每一位都相同的实数构成的无限列集合时，那么仍然是全序集.而对于一般列，当我们从数列的每一位来看时，情况就会变的比较复杂.例如，.这时的第一位小于的第二位，而的第二位大于的第一位，往后各位都相等，那么与究竟谁大谁小？
（ii）从运算来看：是完备域.那么考虑由每位都相同的实数构成的无限列的运算时，按位进行时也一定是完备域.但一般数列按位进行运算时，在乘法中会出现零因子.比如，，.与按位相乘后为.如果一般数列的这种运算构成域，则与中必有一个为零，但哪一个为零呢？还是与都为零？
进一步我们还想问，一般数列自然包含了实数，但这种一般列是否仍然构成数域，是否可以包含无限大、无限小，它与实数的关系是什么？
由上述的例子可以看出，矛盾就在于如何将数列的每一位与整体数列统一起来.由每一位都相同的实数构成的无限列在这一点上毫无疑问.即按位考虑问题（序或运算）时，每一位都与整体数列是统一的，因为每一位的性质可以代表整个数列的性质.但是对于一般列，该如何统一呢？这就需要对无限列的下标号集引入“滤子”的概念.直观上来说，就是在按位考虑的同时，兼顾整体.
定义2[1]（滤子的概念）设是一个非空集合，，满足：
（i）；
（ii）若则；
（iii）若则.
那么称为一个滤子.
我们对无限列的下标号集引入滤子，这个时候的就是自然数集的一个子集族.
这时，我们说两个无限列
，
是指存在一个集合，使得对于任意的，有.那么立刻可以保证序的传递性.比如一般列

，
若，则存在使得在上有即对于任意的有同时存在使得在上有，即对于任意的有则令，就得到在上有.但仍然存在下面的问题：
问题：在如上定义的序关系下，是否为全序集？
这个问题就是说，如果引入了滤子，那么中的任意两个元素是否可以比较大小？答案是否定的.例如，我们定义为这样的集族：

那么偶数集和奇数集都不属于.现在若，，则与无法比较大小.
为了保证是全序集，就需要在滤子的基础上做一定的修改，即引入超滤子的概念.
定义3[1]（超滤子的概念）设是自然数集的一个滤子，若还满足：
（iv）的任意一个子集或者的余集是 中的元素
则称是的一个超滤子.
这样定义在超滤子上的序关系就可以使成为全序集.
对于以上引入的这些概念我们需要指出：（1）超滤子是存在的，而且不唯一；（2）超滤子决定新的超实数，但它不改变实数；（3）对于新的超实数，我们可以通过超滤子来研究它们.以上的三点在文献[1]中均有详细的证明及说明，我们在这里就不细说了.
为了保证是的真扩张，我们还需要引入自由超滤子，即要求中的元素均为无限集.关于自由超滤子我们这里不进行讨论，其具体定义及性质见参考文献[1].
接下来介绍一些相关定义.
定义4[1] 中的元素被称为无穷小，若对所有正实数都成立.
定义5[1] 中的元素被称为是有限的，若对某个正实数成立.
定义6[1] 中的两个元素和被称为是无限接近的，指是无穷小，记作.
定理1[1] 对任意的有限元素，存在实数集中一个唯一的实数使得.
定义7[1] 设是一个有限元素，则与无限接近的实数，称为的标准部分.
定义8[1] 设是中的变量，是常量，则“项”指下列表达式：
（i）变量是项；（ii）常量是项；（iii）设是项，是元实函数，则
是项.
定义9[1] 等式是指表达式；不等式是指下列表达式：.这里的与均为项.公式是指两个项之间的等式或不等式.公式系统指有限的公式集合.
定义10[1] 设是包含个变量的公式系统.的解指一个元常数列
使得，当把中的每个变量相应地换成时，中的每个项都有定义且的每个公式均为真.
三、的公理系统
（A1）是一完备序域.
（A2）是一个序域且是的真扩张.
（A3）（自然扩张）上的每一元实函数在中都存在其相应的元超实函数，称为的自然扩张.中的四则运算均为中四则运算的自然扩张.
（A4）若两个公式系统有相同的实数解，则它们有相同的超实数解.
由于（A3）和（A4）相对不好理解，我们来举例说明.
例1 设是上的二元实函数：.则其自然扩张

这里是上的加法，即上加法的自然扩张.
例2 有这样两个公式系统：
，
那么可以看出，这两个公式系统有相同的实数解，所以它们有相同的超实数解.
下面看集合扩张的定义.
定义11[1]（集合的扩张）设是实数集合，即，的自然扩张是的一个子集，使得每一个将作为其实数解的公式系统都将作为其超实数解.
由的构造已经得到，存在非零的无限小超实数.实际上，根据超实数的公理系统，也能够证明是存在非零的无限小超实数的！
四、中的一个一致连续问题在中的刻化
以上我们介绍了超实数系统，下面我们来看一个问题：
设是半开半闭区间上的连续函数，那么对于的自然扩张及的自然扩张，是否存在，使得当且时，有？
一般来说，这个问题的答案是否定的.如，在上连续，但不一致连续，即对于任意，存在，存在，使得且.
下面我们考虑这样的两个公式系统：
，
.
的实数解是的一个偏解，那么在超实数系统中，的超实数解是的一个超实数偏解.现在取为正无限大，则就是一个正无限小，即且，但是与的差却是无限大！所以不存在使得当且时，有.
注意：普通的实数系统中是不存在无限大的，但是在超实数系统中，我们是把无限大当作元素来看.然而无限大并不是唯一的，也就是说，作为元素，超实数系统中有很多个无限大.而两个无限大元素之差可能是无限大.比如，在上个问题中，是一个正无穷小，不妨记；取，则为无限大！
对于上述的问题，自然想问，何时问题的结论成立？我们给出下面的定理：
定理2 设在上连续，是它的自然扩张.那么，存在使得当且时，有成立的充分必要条件是在上一致连续.
证明： 用反证法.假设在上不是一致连续.即存在，对任意
，存在，使得
且
考虑公式系统：
，
.
取为正无限大，则,但是.
因为在上一致连续，所以对于任意的，存在，对任意
，使得当时，有.
考虑公式系统：
，
.
则的超实数解都是的超实数解.取为正无限大，则为正无限小，这说明存在使得当且时，有.
进一步可以证明使上述定理成立的必定是有限数，即下述定理：
定理3 使定理2成立的只能是有限数.
证明：用反证法.假设是无限的，即对任意，存在，，
即在上无界.但有限区间上的连续函数若无界，其一定不一致连续.所以只能是有限数.
参考文献
[1] H.Jerome Keisler, Foundations Of Infinitesimal Calculus, Prindle Weber &
Schmidt, Incorporated, 1976，P1-16.
[2] 同济大学应用数学系编，高等数学（第五版），高等教育出版社，2007年3月, P75-86.

the Introduction to Hyper Real Systemand the Description about a Uniform Continuity Problem in it
Zhang JianOu Yang Dongsheng
( Xi’an Communication Institution , Xi’an, 710106 )

Abstract The non-standard analysis is illustrated by the modeling theory. At first, we introduce non-standard number though the definition of derivative. Then the hyper real number systemis given and we point that is a proper extension of real number system. At last, the uniform continuity is given in the.
Key words the non-standard number, the hyper real number system,
hyper filter, infinitesimal

姓名：张建鸥
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