第十届华杯赛决赛4.doc

第十届华杯赛决赛试题
一、填空（每题10分，共80分）
1．下表中每一列为同一年在不同历法中的年号，请完成下表：
公元历
2005
1985
1910
希伯莱历

5746

伊斯兰历

1332
印度历
1927

2．计算：
　① 18.3×0.25+5.3÷0.4-7.13 = (　);　　②= (　)。

3.计算机中最小的存储单位称为“位”，每个“位”有两种状态：0和1。一个字节由8个“位”组成，记为B。常用KB，MB等记存储空间的大小，其中1KB=1024B， 1MB=1024KB。现将240MB的教育软件从网上下载，已经下载了70%。如果当前的下载速度为每秒72KB，则下载完毕还需要（　）分钟。（精确到分钟）
4．a，b和c都是二位的自然数，a，b的个位分别是7与5，c的十位是1。如果它们满足等式ab+c=2005，则a+b+c=(　)。

5.一个正方体的每个顶点都有三条棱以其为端点，沿这三条棱的三个中点，从这个正方体切下一个角，这样一共切下八个角，则余下部分的体积（图1中的阴影部分）和正方体体积的比是（　）。

6．某种长方体形的集装箱，它的长宽高的比是4∶3∶2，如果用甲等油漆喷涂它的表面，每平方米的费用是0.9元，如果改用乙等油漆，每平方米的费用降低为0.4元，一个集装箱可以节省6.5元，则集装箱总的表面积是（　）平方米，体积是（　）立方米。

7．一列自然数0，1，2，3，…，2005，…，2004，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024。现在将这列自然数排成以下数表：
0
3
8
15
…
1
2
7
14
…
4
5
6
13
…
9
10
11
12
…
…
…
…
…
…
规定横排为行，竖排为列，则2005在数表中位于第（　）行和第（　）列。
8．图2中，ABCD是长方形，E，F分别是AB，DA的中点，G是BF和DE的交点，四边形BCDG的面积是40平方厘米，那么ABCD的面积是（　）平方厘米。

图2
二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分，共40分）
9．图3是由风筝形和镖形两种不同的砖铺设而成。请仔细观察这个美丽的图案，并且回答风筝形砖的四个内角各是多少度？

10．有2、3、4、5、6、7、8、9、10和11共10个自然数，
　①从这10个数中选出7个数，使这7个数中的任何3个数都不会两两互质；
　②说明从这10个数中最多可以选出多少个数，这些数两两互质。

11．一个直角三角形的三条边的长度是3、4、5，如果分别以各边为轴旋转一周，得到三个立体。求这三个立体中最大的体积和最小的体积的比。

12．A码头在B码头的上游，“2005号”遥控舰模从A码头出发，在两个码头之间往返航行。已知舰模在静水中的速度是每分钟200米，水流的速度是每分钟40米。出发20分钟后，舰模位于A码头下游960米处，并向B码头行驶。求A码头和B码头之间的距离。

三、解答下列各题，要求写出详细过程（每题15分，共30分）
13．已知等式其中A，B是非零自然数，求A+B的最大值。

14．两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这两条直线的“夹角”（见图4）。如果在平面上画L条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°之一，问：
（1）L的最大值是多少？
（2）当L取最大值时，问所有的“夹角”的和是多少？

解答：
一、填空（每题10分，共80分）
第1小题：
公元历
2005
1985
1910
希伯莱历
5766
5746
5671
伊斯兰历
1427
1407
1332
印度历
1927
1907
1832
第2-8小题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
见上表
10.695;1
17
102

13；3
20；45
60
【评分参考】第1小题，错1空，扣1.5分；第2-8小题中若有两空，每空5分。
二、解答下列各题，要求写出简要过程（每题10分，共40分）
9．解：

如图案所示，，5个风筝形拼成一个正10边形，所以，
=（10-2）×180÷10=8×18=144度， 5=360（度），=72（度）。
风筝形是个四边形，内角和是360度，并且（证明省略），所以，=（360-144-72）÷2=72（度）。
答：在风筝形中，有一个是钝角，是144度，其它三个角都是72度。
【说明】在正式出版试题解答时将给出本题，5个风筝形拼成的图形是一个正10边形的严格的证明。
【评分参考】角度正确，6分；理由正确，4分。
10．解答：①这7个数是2，3，4，6，8，9，10；
②将这10个自然数分为三组：偶数2，4，6，8，10为第一组；3，9为第二组；5，7，11为第三组。显然，第一和第二组每组至多只能选出1个数，第三组的3个自然数两两互质，最多能选3个。例如：2、3、5、7、11就两两互质。所以从2、3、4、5、6、7、8、9、10和11最多可以选出5个数，这5个自然数两两互质。
【评分参考】①正确，给4分；②答案5正确，给4分，理由陈述正确，给2分。
11．解：①以长为3的直角边分为轴旋转得到的是一个圆锥，体积；
②以长为4的直角边为轴旋转得到的立体也是圆锥，体积；
③以长为5的斜边为轴旋转得到的立体是由两个圆锥底面上下叠合在一起组成的纺锥体。设两个圆锥的高为,则有,设底面的半径是h，它是直角三角形斜边上的高，由直角三角形面积公式：，
④再由圆锥的体积公式计算纺锥体的体积应当是：

⑤既然∶。
答：最大的体积和最小的体积的比是。
【评分参考】每步2分。
12．解：①舰模从A码头顺流而下960米，航行时间=分，20-4=16（分）。
因此，舰模出发后第16分钟又回到A码头。
②既然舰模出发后第16分钟又回到A码头，所以，在这16分钟中，舰模顺流行驶的路程与逆流行驶的路程相同。设在16分钟中，舰模顺流航行的时间为t,逆流航行的时间16-t，顺流航行的速度是200+40=240米/分，逆流航行的速度是200-40=160米/分，应当有：240×t=160×(16-t),t=6.4(分)。
③因此，出发20分钟后舰模的总的航程是：6.4×240+(16-6.4)×160+960=4032 (米)
④设两个码头的距离是L米，则有，4032=2ml+960, m是整数，
　由于，L>960。所以，1≤，即m=1,L=1536米。
答：两个码头的距离是1536米。
【评分参考】①能计算出舰模出发后第16分钟又回到A码头，2分；②计算出顺流航行的时间，4分；③计算出舰模总的航程，2分；④计算出两个码头的距离，2分。
三、解答下列各题，要求写出详细过程（每题15分，共30分）
13．解：设A=ka, B=kb, (a,b)=1, 即有，
因为（a,b）=1,所以有（a+b,b）=1和（a,a+b）=1,只能有a+b整除k。设k=m×(a+b)，
则有
因为
上式意味着m,a,b必须是15的约数。考虑到交换a和b的取值，不改变A+B的值。所以m,a,b可能的取值和A+B的值是：
m
1
1
3
5
15
a
3
1
1
1
1
b
5
15
5
3
1
A+B
64
256
108
80
60
答：A+B的最大值是256。
【评分参考】答案正确，6分，推理正确，即能列出A+B的5种取值，给9分。
14．解答：
◆固定平面上一条直线,其它直线与此条固定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算,只能是15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、165°十一种角度之一，所以，平面上最多有12条直线。否则，必有两条直线平行。

◆如右下图，将所有直线做平行移动，使它们交于同一个点，这样的平行移动显然不改变两条直线的“夹角”。无妨设其中一条直线水平，从水平直线开始，逆时针将12条直线分别记为第一条、第二条、……和第十二条直线。
（1）第二条至第十二条直线与第一条直线的“夹角”和是：
　15+30+45+60+75+90+75+60+45+30+15=540 （度）；
（2）第三条至第十二条直线与第二条直线相交的“夹角”和是：
　15+30+45+60+75+90+75+60+45+30=（540-15）（度）；
（3）第四条至第十二条直线与第三条直线相交的“夹角”和是：
　15+30+45+60+75+90+75+60+45=（540-15-30）（度）；
　……；
（10）第十一条和第十二条直线与第十条直线相交的“夹角”和是（30+15）（度），
（11）第十二条直线与第十一条直线相交的“夹角”和是：15（度）；
◆将（2）和（11）、（3）和（10）、（4）和（9）、（5）和（8）、（6）和（7）配对，得到所有的“夹角”之和是6×540=3240 （度）。
【评分参考】第1问答案正确，给5分；第2问中，能完成②，给8分；能求出“夹角的总和，即完成③，给2分
8