自然数平方和公式推导.doc

我们把S(n)拆成数字排成的直角三角形：

1
2 2
3 3 3
4 4 4 4
……
n n …… n

这个三角形第一行数字的和为12，第二行数字和为22，……第n行数字和为n2，因此S(n)可以看作这个三角形里所有数字的和

接下来我们注意到三角形列上的数字，左起第一列是1,2,3,……,n，第二列是2,3,4,……n
这些列的数字和可以用等差数列的前n项和来算出，但是它们共性不明显，无法加以利用

如果求的数字和是1,2,3,……,n，1,2,3,……,n-1这样的，便可以像求1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数字呢

注意上面那个直角三角三角形空缺的部分，将它补全成一个正方形的话，是这样的：

1 1 1 …… 1
2 2 2 …… 2
3 3 3 …… 3
4 4 4 …… 4
……
n n n …… n

这个正方形所有的数字和为n*(1+n)*n/2=n3/2+n2/2

而我们补上的数字是哪些呢？

1 1 1 …… 1 (n-1)个的1
2 2 …… 2 (n-2)个的2
3 …… 3 (n-3)个的3
………
n-1

又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和T(n)，再用刚才算的正方形数字和减去它，便能得到要求的S(n)，即S(n)=n3/2+n2/2-T(n)。而这个三角形的每一列数字和很好算，第一列是1，第二列是1+2，第三列是1+2+3，……，最后一列（第n-1列）是1+2+3+……+n-1，根据等差数列前n项和公式，这个三角形第n列的数字和是(1+n)*n/2=n2/2+n/2，所以T(n)相当于(12/2+1/2)+(22/2+2/2)+(32/2+3/2)……+[(n-1)2/2+(n-1)/2]
将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得
T(n)=[12+22+32+……+(n-1)2]/2+(1+2+3+……+n-1)/2
=S(n-1)/2+(n-1)*n/4
=S(n-1)/2+n2/4-n/4
也就是说，S(n)=n3/2+n2/2-T(n)
=n3/2+n2/2-S(n-1)-n2/4+n/4
=n3/2+n2/4+n/4-S(n-1)/2 ……①
因为S(n)=12+22+32+……+n2，S(n-1)=12+22+32+……+(n-1)2
可以看出，S(n)=S(n-1)+n2，即S(n-1)=S(n)-n2，代入①式，得到
S(n)=n3/2+n2/4+n/4-S(n)/2+n2/2
3S(n)/2=n3/2+3n2/4+n/4
3S(n)=n3+3n2/2+n/2
S(n)=n3/3+3n2/6+n/6
上面这个式子就是我们熟悉的S(n)=n(n+1)(2n+1)/6
另外一种经典的方法

设：S=12+22+32+…+n2
另设：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2，此步设题是解题的关键，一般人不会这么去设想。有了此步设题，第一：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2中的12+22+32+…+n2=S，(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以展开为(n2+2n+12)+( n2+2×2n+22) +( n2+2×3n+32)+…+( n2+2×nn+n2)=n3+2n(1+2+3+…+n)+ 12+22+32+…+n2，即
S1=2S+n3+2n(1+2+3+…+n)………………………………………………..(1)
第二：S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：
S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：
22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2)
12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2
= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2
=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n
=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n
=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)
由(2)+ (3)得：S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)
由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n
即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n
= n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]
= n(2n2+3n+1)
= n(n+1)(2n+1)
S= n(n+1)(2n+1)/ 6
亦即：S=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)
以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。
由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n为最后一位自然数。
由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1为最后一位自然数。
由自然数平方和公式推导自然数立方和公式
设S=13+23+33+…+n3……………………………………………………….(1)
有S=n3+(n-1)3+(n-2)3+…+13……………………………………………...(2)
由(1)+ (2)得：2S=n3+13+(n-1)3+23+(n-2)3+33+…+n3+13
=(n+1)(n2-n+1)
+
(n+1)[(n-1)2-2(n-1)+22)
+
(n+1)[(n-2)2-3(n-2)+32)
+
.
.
.
+
(n+1)(12-n(nn+1)(n-n+1+ n2)
即2S=( n+1)[2(12+22+32+…+n2)-n-2(n-1) -3(n-2)-…-n (n-n+1)] ………………...(3)
由12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)/ 6代入(2)得：
2S=(n+1)[2n(n+ 1)(2n+1)/6-n-2n-3n-…nn+2×1+3×2+…+n(n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n(1+2+3+…n)+(1+1)×1+(2+1)×2+…+(n-1+1)(n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2 (1+n)/2+12+1+22+2+…+n-1)2+ (n-1)]
=(n+1)[2n(n+1)(2n+1)/6-n2(1+n)/2+12+22+…+(n-1)2+1 +2+…+ (n-1)] ……...(4)
由12+22+…+(n-1)2= n(n+1)(2n+1)/6-n 2，1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2代入(4)得：
2S=(n+1)[3n(n+1)(2n+1)/6-n2+n(n-1)/2
=n2(n+1)2/2
即S=13+23+33+…+n3= n2(n+1)2/4
结论：自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数。
自然数偶数立方和公式推导
设S=23+43+63+…+(2n)3
有S=23(13+23+33+…+n3)=8n2(n+1)2/4=2n2(n+1) 2
结论：自然数偶数的立方和公式为2n2(n+1)2，其中2n为最后一位自然偶数。
自然数奇数立方和公式推导
设S=13+23+33+…+(2n) 3由自然数的立方和公式为n2(n+1)2/4，其中n为自然数代入左边有n2(2n+1)2=23+43+63+…+ (2n)3+13+33+53…+ (2n-1)3=2n2(n+1)2+13+33+53…+(2n-1)3
移项得：13+33+53…+(2n-1)3 =n2(2n+1)2-2n2(n+1)2=n2(2n2-1)
结论：自然数奇数的立方和公式为n2(2n2-1)，其中2n-1为最后一位自然奇数，即n的取值。