“多解题”题集.doc

2013年中考数学专题复习
多解数学问题
满足条件的多解题就是指我们在解数学题时，如果遇到的对象不确定，就要根据已知条件和题意的要求，分不同的情况作出符合题意的解答，这就是满足条件的多解题．
温馨提示：
满足条件的多解型试题不但知识覆盖面广，综合性较强，题意构思精巧，而且在解答时需要灵活运用一种重要的数学思想方法——分类讨论，今年我省的中考数学中这种题型不但在综合题中会有所涉及，而且特别规定把原来的多项选择型的第14题调整为一道“满足条件的多解”型题，进一步强调分类讨论这一思想方法的考查．这类题的思维空间较大，解题时常出现考虑不全或不严谨，导致漏解、错解，要求同学们在复习中应加强对多向思维的培养，学好分类讨论这一思想方法，熟练掌握这一题型的特征与解法．
分类讨论思想是指当数学问题中研究的对象不确定，不宜用统一方法处理时，常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准,将问题分为全而不重，广而不漏的若干类，然后逐类分别进行讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想．
分类讨论是一种重要的数学思想，又是一种重要的解题策略．

从几何角度来看在看：在等腰三角形问题中，腰和底没有明确时，在直角三角形问题中.直角边和斜边没有明确时，三角形全等、三角形相似或位似的对应关系不明确，动点在不同的位置产生不同的图形，在平行四边形问题中.边和对角线没有明确时，在拼接问题中，拼接的方式没明确时等；在代数方面：是正是负没有明确时，已知数与未知数没有明确大小时，在实际问题中，某方面的情境不明确时，数学解析中的待定系数的正、负号，函数的增减性等。抛物线的开口方向，一次函数中的k、b反比例中的K的正负号。

一、基础知识回顾
1.若a=2，=3，则ab的值为 .
2.（2012·广元）已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是_ _．
3.（2012·呼和浩特）一组数据-1,0,2,3，x，其中这组数据的极差是5，那么x的值是　　　.
4.如图，是象棋盘的一部分，一匹“马”在图示
的位置，如果“马”现在的位置可表示为（7，3），
按照象棋的规则，“马”下一步跃到的位置可表示
为 .
5.（2012·襄阳）△ABC是⊙O的内接三角形，若∠AOC＝160°，则∠ABC的度数是 .

二、经典例题分析
例1.（2011贵州安顺）已知，如图1：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ．

分析：题中不确定的对象是什么呢？显然题目给出了条件“△ODP是等腰三角形”，但未指明在△ODP中哪两条边相等，因此我们的讨论对象是：△ODP中哪两条边相等，从而可分为三类：
当OP＝OD时，则点P、D到点O的距离相等，因此只要以O为圆心，OD的长为半径画弧，交CB于一点P，过点P作PE⊥OD于E，由勾股定理可求得OE＝3，则P（3，4）；
当DO＝DP时，则点O、P到点D的距离相等，因此只要以D为圆心， DO的长为半径画弧，交CB于两点P，过点P作PE⊥OD于E，当∠ODP为锐角时，由勾股定理可求得DE＝3，OE=5－3＝2，则P（2，4）；当∠ODP为钝角时，由勾股定理可求得DE＝3，OE＝5 + 3＝8，则P（8，4）；
当PO＝PD时，则点P在OD的垂直平分线上，因此只要作OD的垂直平分线PE交CB于一点P，垂足为E，由勾股定理可求得OP＝，显然结果不等于5，不合题意，舍去；
其他解法：
方法1：OD、DP、OP轮流为底边，同时要注意以OD为底边时OP、PD是腰，但不会等于5，易产生错解，以OP为底边时又易漏掉一种情况．
方法2：∠POD、∠ODP、∠OPD轮流为顶角，这样分类同时还要考虑顶角可以是锐角、直角、钝角.本题由于腰为5的限制，故直角是不可能，∠POD为钝角不可能，∠PDO既可以是锐角，又可以为钝角．
答案：（3，4），（2，4），（8，4）．
方法感悟：
这道题告诉我们，在抓住了分类讨论的特征后，还要学会掌握分类的标准（或说方法）．而有了分类的标准，就要自始至终使用这一标准分类，同时在求满足条件的点的坐标时，画出相应的图形，使用图形分析求解也是十分必要的，还要特别注意，分类后还应注意题中约束条件，谨防出现不合要求的解或漏解现象．
例2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝3，BC＝4，过点B作射线BB1∥AC，动点D从A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发，沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动，过点 E作EF⊥AC交射线BB1于点F，G是EF的中点，连接DG，设点D运动的时间为t秒，当△DEG与△ACB相似时，求t的值．
C
D
E
C
D
E
A
B
B1
F
G
A
B
B1
F
G

分析：通过观察，可以发现图形随着点D、E的位置变化而发生变化，而点D、E间的位置关系又随着时间t的值的变化而变化，观察运动过程发现随着时间t的值的变化过程中D、E两点有几种不同的位置关系呢？（开始一段时间点D在点E的左侧，然后D、E两点重合，再后一段时间点D在点E的右侧）
因此我们要讨论影响D、E两点位置关系的时间t的取值范围，显然我们易求D、E两点重合时的时间t的值，从而可以确定这几种不同位置关系的时间t的范围．
因为当D、E两点重合时△DEG不存在，所以可以分为两类：
⑴当即点D在点E左侧时，△DEG与△ACB相似；
⑵当即点D在点E右侧时，△DEG与△ACB相似；
而△DEG与△ACB相似，其对应边无法确定，因此每类情况的相似还要进行讨论，当时△DEG∽△BCA，当时△DEG∽△ACB，从而共分四种不同情况求出时间t的值．
解：由题意，AD＝5t，CE＝3t，DG＝2，当点D、E重合时，有AD＝AC+CE，即5t=3t+3，解得；
（1）如图1，当即点D在点E左侧时，DE＝AE－AD＝3t+3－5t=3－2t，
①若，则△DEG∽△BCA， 有，得；
②若，则△DEG∽△ACB， 有，得；
（2）如图2，当即点D在点E右侧时，DE＝AD－AE＝5t－（3t+3）=2t－3，
①若，则△DEG∽△ACB，有，得；
②若，则△DEG∽△BCA，有，得
综上，当t为秒时，△DEG与△ACB相似．
方法感悟：
分类讨论的原则：
(1)分类的每一部分是相互独立的；
(2)一次分类按一个标准(不重复，不遗漏)；
(3)分类讨论应逐级进行．
三、课堂训练反馈
1.如图，在直角坐标系中，已知A（1，0）、B（－1，－2）、C（2，－2）三点坐标，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是 ．

2.若抛物线与坐标轴有两个交点,则的值为 .
四、解题方法归纳
1. 分类讨论的一般步骤：
(1)确定讨论的对象和讨论的范围；
(2)确定分类的标准并进行合理分类；
(3)逐级讨论并总结概括得出结论．分类讨论解题的关键是如何正确进行分类．
2. 分类讨论的原则：
(1)分类的每一部分是相互独立的；
(2)一次分类按一个标准(不重复，不遗漏)；
(3)分类讨论应逐级进行．
五、练习题
1.已知等腰三角形的每条边的长都是方程的根，则等腰三角形的周长是 ．
2．“五一”期间，某超市推出如下购物优惠方案：
（1）一次性购物在100元（不含100元）以内时，不享受优惠；
（2）一次性购物在100元（含100元）以上，300元（不含300元）以内时一律享受九折的优惠；
（3）一次购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠．在此期间某顾客一次性购物付款252元，那么该顾客比平时购买总价相同的商品（没有优惠的时候）优惠了 元．
3．（2012·江西）如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合．将△AEF绕其顶点Ａ旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，则∠BAE的大小可以是 .

4．如图，点A、B在线段CD上，CD=12cm，CA=1cm，BD=2cm， ⊙A、⊙B的半径分别为1cm，2cm，⊙A以每秒2cm的速度自左向右在线段AD上运动，则当点A出发后 秒后两圆相切．

5. （2012浙江丽水）如图，在直角梯形ABCD中，，，，，在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得。
A
D
E
F
C
B

（1）当点E是AB的中点时，线段DF的长度是_________;6
（2）若射线EF经过点C，则AE的长是________。2或5

6、（2012·北京）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与一次函数的图象的交点为．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设一次函数的图象与轴交于点，若是轴上一点， 且满足的面积是4，直接写出点的坐标．

7、、Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=50°，点D在边BC上，BD=2CD（如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m= 80°或120°
．
解：如图，在线段AB取一点B′，使DB=DB′，在线段AC取一点B″，使DB=DB″，
∴旋转角m=∠BDB′=180°-∠DB′B-∠B=180°-2∠B=80°，
在Rt△B″CD中，∵DB″=DB=2CD，∴∠CDB″=60°，
旋转角∠BDB″=180°-∠CDB″=120°．
故答案为：80°或120°．
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