《有理数》及《代数式》知识要点.doc

《有理数》知识要点

知识要点一：负数的引入（正数和负数用来表示具有相反意义的量）

例1：（1）如果把零上温度规定为正，则零下8℃可以记作_____，零上5℃可以记作_____，零摄氏度可以记作________。
（2）如果收入1000元记作＋1000元，那么 －1000元表示_____________
（3）如果向东走8米记作＋8米，那么向西走10米记作______，原地不动记作_______.
（4）知识竞赛中，如果加5分用＋5表示，那么扣3分应该怎样表示呢？___________
（5）如果亏损200元记为 －200元，那么盈利300元应记作什么呢？
（6）一个球超出标准质量10克，记为＋10克，那么 －5克表示_____________________

例2：在一次体育课上，老师让同学练习踢毽子，以踢7个为标准，超过的个数用正数表示，不足的个数用负数表示，其中8名同学的成绩分别为 －1， 0， 3， 4，－2， 0， 1， 2.
（1）这8名同学的实际成绩分别是多少？
（2）这8名同学中有几个人达标？（即踢7个或7个以上）

★注意：带有负号的数就是负数吗？
例3：a一定是正数吗？ － a一定是负数吗？

知识要点二：有理数的分类
_______

_________ _______ ________
有
_________ 理 ________
_________ 数
_______ ________
_________

★注意：①自然数：0，1，2，3，… ②偶数：2，4，2，3，…
③ p不是有理数
④通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，a＞0表明a是正数；a＜0表明a是负数；a0表明a是非负数；a0表明a是非正数。
例4：判断题
（1）有理数包括正有理数和负有理数。 （ ）
（2）有限小数和无限小数统称为有理数。 （ ）
（3）一个数不是正数就是负数。 （ ）
例5：最小的正整数是______，最大的负整数是_______，最小的自然数是________.
例6：把下列各数填在相应的集合中。
－6.9，－18， ，3.1416，0，2008，，＋4.95％，0.28，2000.
（1）正整数集合：{ …}；（2）负整数集合：{ …}；
（3）正分数集合：{ …}；（4）负分数集合：{ …}；
（5）整数集合： { …}；（6）分数集合： { …}；
（7）非负数集合：{ …}；（8）非负整数集合：{ …}；
（9）负数集合： { …}；（10）有理数集合：{ …}；

例7：找规律填数。
（1），( ) (2) 填第k个数：……（ ）

知识点三：数轴（三要素：_______、_________、________）
数轴上的点所表示的数，越往______越大，即______边的数大于______边的数。
例8：在数轴上，与表示数1的点距离2个单位长度的点有几个？所表示的数分别是什么？

例9：如下图所示，在数轴上有四个点A，B，C，D.

（1）A，C两点间的距离是多少？
（2）B，D两点间的距离是多少？
（3）将A点向右移动5个单位长度后，所表示的数是多少？

例10：如下图所示，数轴上的点A，B分别表示数－3和2，点C到A，B两点的距离相等，求点C所表示的数。

知识点四：相反数(表示方法：_________________________________)
1.相反数的性质：①互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边，一个在原点的右边，且离原点的距离相等，也就是说它们关于原点对称。
②如果数a和数b互为相反数，则a＋b=0（和为零）； （商为－1）；
③互为相反数的两个数绝对值相等。即︱a ︳=︱b ︳；
④︱a ︳=︱b ︳等价于a=b或者a= －b（a与b互为相反数）
2.双重或双重以上符号化简：看负号的个数，奇数个负号结果为___________偶数个负号结果为___________。
例11：求下列各数的相反数。
（1）－2 （2）3a （3） （4）－（－8）

例12：的相反数是_________；的相反数是_____；的相反数是_______；
例13：已知a，b，c，d都是不为0的有理数，且a，b互为相反数，c，d互为相反数。
求的值。

例14：化简下列各数的符号
① ② ③ ④

知识点五：绝对值

(1) 绝对值可表示为：

(2) |a|是重要的非负数，即|a|≥0
(3) ； ；
例15：如果两个数和的绝对值相等，则下列说法正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、不能确定
例16：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数是( )
A、互为相反数 B、相等 C、积为0 D、互为相反数或相等
例17：已知ab>0，试求的值。

例18：若|x|= －x，则x是_________数；
例19：若│χ＋3∣＋∣y—2∣=0，则 = ；
例20：如果两个数和的绝对值相等，则下列说法正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、不能确定

知识点六：有理数的大小比较
1.数学中规定：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从_____到_____的顺序，即________边的数小于_______边的数。
2.正数_____于0，0_____于负数，正数_____于负数。两个负数，绝对值_____的反而_____。
知识点七：有理数的加法
例21：计算下列各式
①（– 3）–（– 4）＋7 ②

③＋

★用加法的运算律进行简便运算的基本思路是①先把互为相反数的数相加；②把同分母的分数先相加；③符号相同的数先相加；④把相加得整数的数先相加。
例22：计算下列各式
① ②

知识点八：有理数的减法
例23：计算：

例24：月球表面的温度中午是，半夜是，中午比半夜高多少度？

例25：已知是6的相反数，比的相反数小5，求比大多少？

知识点九：有理数的乘法
★多个有理数相乘时，积的符号确定规律：多个有理数相乘，若有一个因数为0，则积为0；几个都不为0的因数相乘，积的符号由负因数的个数来决定，当负因数的个数为奇数时，积为负；当负因数的个数为偶数时，积为正。 （与多重符号化简类似）
例26：计算下列各式：
① ②

③ ④

知识点十：有理数的除法
★a和b互为倒数，则ab=1；求一个数的倒数就是把原分子分母的位置颠倒过来。
例27：倒数是其本身的数有_________；
例28：计算下列各式：
① ② ③

知识点十一：有理数的乘方
（1）正数的任何次方都是正数，负数的偶数次方是正数，负数的奇数次方是负数，0的任何非0次幂都是0，1的任何非0次幂都是1，－1偶数次幂是1、－1奇数次幂是 －1；
（2）“” 所表示的意义是n个a相乘，不是n乘以a；
（3）。因为表示个相乘，而表示个的相反数；
（4）任何数的偶次幂都得非负数，即 。
例29：①的意义是___________;②的意义是__________;③的意义是________.
例30：计算：

例31：若互为相反数，是自然数，则（ ）
A、和互为相反数 B、和互为相反数
C、和互为相反数 D、和互为相反数
★所有的奇数可以表示为或；所有的偶数可以表示为。

知识点十二：有理数的混合运算
★有理数混合运算的关键时把握好运算顺序，即先乘方、再乘除、最后加减；有括号的先算括号；若是同级运算，应按照从左到右的顺序进行。
例32：计算下列各式
① ②

例33：已知的绝对值为3、且满足的一元一次方程，则的值为多少？

知识点十三：科学计数法
例34：用科学记数法表示下列各数
①1893400000 ② －800032000

③ －0.000003578012 ④120万人民币

⑤108亿元；

《代数式》知识要点
知识点一：用字母表示数
★书写要求：
①字母与字母相乘时，应注意_________________________；如a×c×b=______.
②数字与字母相乘时，应注意_________________________；如a×4=______.
③数字与数字相乘时，应注意_________________________；
④带分数与字母相乘时，应注意_________________________；如=_______.
⑤两数相除，应写成___________的形式；如a÷2=_____ b÷3=______.
例1：下列个代数式中 ① ② ③人 ④2·5 ⑤
书写规范的有_________________________（只填序号）；
例2：某商品利润是a元，利润率是20%，此商品进价是______________。

知识点二：列代数式
代数式的概念：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
★①运算符号指的是加、减、乘、除、乘方、绝对值，大中小括号以及以后要学到的开方符号，但不包括大于、小于号、等号等表示数量关系的关系符号；
②单个的数字和字母也是代数式。
几个重要的代数式：①a与b的平方差____________；②a与b的差的平方___________；③被5除商为m余数位n___________；④偶数(用n表示)______；⑤奇数(用n表示)________；⑥三个连续整数(用n表示)__________________；
例3：下列的式子中那些是代数式 ① ② ③
④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 57
是代数式的有_________________________（只填序号）；
例4：说出下列代数式的意义
①2m+n的意义是_______________________________________；
②2(m+n)的意义是_________________
③的意义是________________________________________；
④的意义是______________________________________；
⑤ x2 – y2的意义是_______________________________________。
例5：用代数式表示。
①比x大20%的数；
②比a的平方的2倍大1的数；
③m与n的差的倒数（m与n不相等）；
④x，y的平方和与它们的平方差的积；

例6：（用代数式表示）某工厂第一年的产量为a万元，第二年的产量增加了x%，那么第二年产量为万元，第三年又比第二年增加了，则第三年的产值为________万元。

知识点三：单项式
概念：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。
★注意：①单项式里面只含有乘法运算。
②单独的一个数或字母也叫做单项式。单独的一个数作为单项式时，其系数就是它本身，次数为0；单独的一个字母作为单项式时，其系数就是1，次数为它本身的次数；
例7：下列代数式中， ① ②1 ③ ④ ⑤ ⑥⑦ ⑧ 是单项式的有 （只填序号）；
例8：若单项式与单项式相等，则 ， ；

知识点四：多项式
概念：几个单项式的代数和叫做多项式，其中每个单项式都叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高项的次数叫做该多项式的次数；如果一个多项式有项，且次数为，则我们称该多项式为次项式。
例9：多项式①是由哪些项组成 ______ ，次数 ；
②是由哪些项组成 _ ______，次数 。
例10：若是关于、的四次四项式，则 ；
例11：①若是关于、的四次三项式，则 ；
②若是关于、的多项式，且不含一次项，则 ；
例12：若多项式与多项式相等，则 ， ；

知识点五：合并同类项
满足同类项的两个条件：①__________________；②___________________。
(注意：与系数无关) （所有的常数项都是同类项）
合并同类项法则：（1）系数相加，所得结果作为系数；（2）字母和字母的指数不变。
例13：指出多项式里的同类项，它们分别是 ；
例14：若与是同类项，则 _______, ________；
例15：当______时， 与是同类项；
例16：若单项式与的和仍是单项式，则 ；

知识点六：代数式的值（分直接代入和间接代入）
例17：当时，求多项式的值；

例18：已知，求代数式的值；

知识点七：去括号（_____变_____不变）
例19：将下列各式的括号去掉
① ②

③ ④

⑤

例20：化简

知识点八：探索规律
例21：（1）已知， ，
， 则1+2+3+4+5=____________=______，
探索1+2+3+…+n=___________。

（2）已知9×0十1＝1，9×1+2=11， 9×2+3＝21， 9×3+4=31，9× 4+5=4l猜想：第年n个等式应为 。

（3）9—l=8， 16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，……这些等式反映出自然数间的
某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来： 。

例22：如图，是用火柴棍摆出的一系列三角形图案，
按这种方式摆下去，当每边上摆20(即n=20)时，需
要的火柴棍总数为 根。

例23：用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律．拼成若干个图案：

(1)第4个图案中有白色地面砖 块；
(2)第n个图案中有白色地面砖 块。

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