(进阶练习)一元一次方程解“行程问题”.doc

《一元一次方程解“行程问题”》进阶练习

A1: (相遇)

【题文】甲、乙两站相距365km，一列慢车从甲地开往乙地，每小时行驶65km。慢车行驶1h后，另有一列快车从乙站开往甲站，每小时行驶85km，快车行驶几小时后与慢车相遇？

【分析】慢车的行驶路程分为两个阶段：先行驶1h后再与快车相向而行。设快车行驶了xh与慢车相遇，则慢车行驶的全部路程为（65+65x）km，快车行驶的路程为85km。
等量关系：慢车行驶的路程+快车行驶的路程＝甲、乙两站间的距离

【详解】解：设快车行驶了xh后与慢车相遇。则
65+65x+85x=365
150x=300
x=2
答：快车行驶2h后与慢车相遇。

【点拨】这里以“各部分之和等于总量”为相等关系。

A2: (相遇)

【题文】甲、乙两人分别从相距50m的A、B两处同时外出散步，相向而行，甲每秒行3m，乙每秒行2m。甲带一只狗和他同时出发，假如狗以每秒10m的速度向乙奔去，遇到乙即回头向甲奔去，遇到甲又回头向乙奔去，直到甲、乙二人相遇时狗才停住，问这只狗共跑了多少米？

【分析】已知狗的速度，要求狗奔跑的路程，只需求狗奔跑的时间，而狗奔跑的时间和两人相遇所用的时间相等。

【详解】解：设甲、乙两人走了x秒相遇，根据题意得
3x+2x=50
5x=50
x=10
∴狗共跑了10╳10=100(m)
答：这只狗共跑了100m。

【点拨】 解此类问题，应充分挖掘和利用题目中的等量关系，将复杂的实际问题抽象成数学问题。

B: (相距)

【题文】甲、乙两站相距480km，一列慢车从甲站开出，每小时行驶90km，一列快车从乙站开出，每小时行驶140km。
(1)慢车先开出1h,快车再开，两车相向而行，问快车开出多少小时后两车相遇？
(2)两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距600km?
(3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600km?

【分析】此题关键是要理解相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。(1)等量关系是：慢车走的路程+快车走的路程＝480km.(2)等量关系是：两车所走的路程+480km=600km.(3)等量关系是：快车所走路程－慢车所走路程+480km=600km.

【详解】解：(1)设快车开出xh后两车相遇，由题意得
140x+90（x+1）=480
23
16
230x=390
23
16
x=1
答：快车开出1 h后两车相遇。
(2)设xh后两车相距600km.由题意得
（140+90）x+480=600
23
12
230x=120
23
12
x=
答：相背而行 h后，两车相距600km.
(3)设xh后两车相距600km，由题意得
（140-90）x+480=600
50x=120
x=2.4
答：2.4h后两车相距600km。

【点拨】读题要细心，找准题中行进方向给的是同向而行还是背向而行，是相遇还是相距。

C1: (追及)

【题文】学生们到校外进行军事野营训练。他们以5km/h的速度行进。18min后，学校发现他们忘了拿一些物品，一位老师骑自行车将这些物品给学生们送去。这位老师的速度为14km/h，那么他用多长时间才能追上学生们？

【分析】相等的关系是：学生行走的路程＝老师行走的路程。

10
3
60
18
【详解】解：设老师用xh才能追上学生们。
10
3
18min= h= h
5╳ +5x=14x2
3

9x=6
1

6
1
x=
答：老师用 h才能追上学生们。

【拓展】在实际问题中，同一个量可以用不同的形式表示，因而可以用两个不同的式子来表示同一个量（至多有一个未知数x），由这两个式子相等可列出方程。

C2: (追及)

【题文】甲、乙两人都从A地去B地，甲步行，每小时行走5km，先走1.5h；乙骑自行车，乙出发50min后，两人同时到达目的地，乙每小时骑多少千米？

【剖析】在审题时一定要特别注意单位是否统一，若不统一必须先统一单位。

60
50
60
50
【详解】解：设乙每小时骑xkm，根据题意得
5╳1. 5+5╳ = x
x=14
答：乙每小时骑14km。

【警示】易错

D1: (环形)

【题文】甲、乙两人在环形跑道上练习跑步。已知跑道一圈长400m，甲每秒钟跑6m，乙每秒钟跑8m。如果甲、乙两人在跑道上相距8m，同时反向出发，那么经过几秒两人首次相遇？

【分析】本题相等的关系是：甲的行程+乙的行程+8=跑道一圈的长度。

【详解】解：设经过x秒两人首次相遇。
6x+8x+8=400
14x=392
x=28
答：经过28秒两人首次相遇。

【点拨】环形追及问题中等量关系（同时同地出发）：
(1) 同向追及问题：第一次相遇快者路程-第一次相遇慢者路程=环形跑道一圈总长度；
(2) 反向相遇问题：第一次相遇快者路程+第一次相遇慢者路程=环形跑道一圈总长度。

D2: (环形)

【题文】甲、乙两人在300m的环形跑道上练习长跑。甲每秒钟跑6m，乙每秒钟跑7m。
(1) 如果甲、乙两人同时同地背向跑，乙先跑2s，那么再经过多少秒两人相遇？
(2) 如果甲、乙两人同时同地同向跑，那么乙跑几圈后能首次追上甲？
(3) 如果甲、乙两人同时同向跑，乙在甲前面6m，那么经过多少秒后两人第二次相遇？

【分析】本题考查行程问题中一元一次方程的应用。（1）是相遇问题，等量关系是甲跑的路程+乙跑的路程=300m。（2）是追及问题，乙的速度大于甲的速度，在环形跑道上追上甲，说明乙比甲多跑了几圈。（3）虽然问的是何时两人第二次相遇，但实际上也是追及问题，解法与（2）题有相似之处，可以依照（2）题思路来分析。

【详解】解：（1）设再经过x秒甲、乙两人相遇。依题意得
7╳2+7x+6x=300
13x=286
x=22
答：再经过22秒甲、乙两人相遇。
（2）设经过y秒，乙能首次追上甲。依题意得
（7-6）y=300
7
300
y=300
7
300
因为乙跑一圈需 秒，
所以乙跑了300÷ =7（圈）
答：乙跑7圈后首次追上甲。
（3）设经过t秒两人第二次相遇。依题意得
7t=6t+（300×2-6）
t=594
答：经过594秒两人第二次相遇。

【点拨】解答此类问题时，一定要明确题意，分清谁追谁，相距多远，才能正确列出方程。