四川省南充高中2012届高三第十六次月考-数学理试题及答案.doc

南充高中高2012级第十六次月考
数 学 试 题（理科）
命审题：2012级数学年级组
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数，且，则实数a的值等于（ ）
A．1 B． C． D．
2．不等式10成立的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件[
3．函数y＝ln(1－x)的大致图象为 ）

4．已知实数x、y满足：则z＝|x+2y－4|的最大值（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
5．如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与
△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P—DCE的外接球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数 若，则实数x的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
7．设，其中成公比为q的等比数列，成公差为1的等差数列，则q的最小值是（ ）
A. B. C. D.
8．已知双曲线的左右焦点分别为，点P在双曲线的右支上，且，则此双曲线离心率的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
9．有6名同学去参加4个运动项目，要求甲，乙两名同学不能参加同一个项目.每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案是（ ）
A．1560 B．1382 C．1310 D．1320

10．已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为（ ）
A．－4＋　　　　 B．－3＋ C．－4＋2 D．－3＋2
11．设正数数列的前n项和为bn，数列的前n项积为cn 且，则数列 中最接近2012的数是（ ）
A．2010　　　 B．1980　　　 C．2040　　　 D．1990
12．给定集合，定义： 的所有不同值的个数为集合两元素和的容量，用表表示，如， ．若集合，则的最小值是（ ）
A．　　　 B．　　 C．197　 D．195

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．
13．若的展开式中的系数为80，则a= ．
14．已知二面角为60°，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为 ．
15．已知点P是椭圆上的动点，F1，F2分别为其左、右焦点，O是坐标原点，则的取值范围是 ．
16．已知定义域为的函数满足：（1）对任意的，都有成立；（2）当，．给出如下结论：①对任意，有；②函数值域是；③存在使得；④函数在区间上单调递减的充要条件是“存在，使得”．
其中所有正确命题的序号是 ．
三、解答题（共74分）
17.（满分12分）在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且(tanA－tanB)＝1＋tanA·tanB．
（1）若a2－ab＝c2－b2，求A、B、C的大小；
（2）已知向量＝(sinA，cosA)，＝(cosB，sinB)，求｜3－2｜的取值范围．

18．南充市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构.若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A, B, C三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的．
（1）求甲、乙两人都选择A社区医院的概率；
（2）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；
（3）设4名参加保险人员选择A社区医院的人数为x，求x的分布列和数学期望．

19．（满分12分）设底面边长为的正四棱柱中，与平面 所成角为；点是棱上一点．
A
B
M
C
D
C1
D1
A1
B1
（1）求证：正四棱柱是正方体；
（2）若点在棱上滑动，求点到平面距离的最大值；
（3）在（2）的条件下，求二面角的大小．

20．（满分12分）已知数列的前n项和满足（n为正整数）.
（1）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）令，，试比较与的大小，并予证明.

21．（满分12分）设是抛物线（p>0）的内接正三角形（为坐标原点），其面积为；点M是直线：上的动点，过点M作抛物线的切线MP、MQ，P、Q为切点．
（1）求抛物线的方程；
（2）直线PQ是否过定点，若过定点求出定点坐标；若不过定点，说明理由；
（3）求MPQ面积的最小值及相应的直线PQ的方程．

22．（满分14分）设函数
（1）设曲线在点（1，）处的切线与x轴平行．
① 求的最值；
② 若数列满足（为自然对数的底数），，
求证： ．
（2）设方程的实根为．
求证：对任意，存在使成立．

南充高中高2012级第十六次月考
数学参考答案（理科）
一．选择题
AACDC DABDD BC
二．填空题
2 ： ： ： ①②④
三．解答题
17.
18.（1） ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４＇
（2）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8＇
（3）
x
0
1
2
3
4
p

Ex=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12＇
19．（1）．证明：设正四棱柱的侧棱长为，作与,连接,
，,,
是与所成的角，
，即
所以四棱柱正四棱柱是正方体；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4＇
（２）．设点到平面的距离为，平面，点、到平面的距离相等为．在四面体中，体积，

，设是中点，当也是棱中点时，，有平面，于，于，是一面直线和的公垂线段，是到直线的最短距离，的最小值是
，即点到平面的最大距离是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8＇
（３）．以 为原点，、、分别为、、轴建立平面直角坐标系，由（２）知也是棱中点，则、、、，设平面的法向量，平面的法向量由
；
。

面角的大小是．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２＇
20解：（I）令n=1，可得
当时
.
. 数列是首项为1，公差为2的等差数列.
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４＇
(II)由（I）得，所以

由①-②得
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８＇

于是确定的大小关系等价于比较的大小
由
可猜想当证明如下：
证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。
（2）假设时

所以当时猜想也成立
综合（1）（2）可知 ，对一切的正整数，都有．．．．．．．．．．．．．．．１２＇
证法2：当时

综上所述，当，当时
２１．解：（１）．因为正面积是，设边长为，
则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１＇
又设，，
，
，所以点Ａ,Ｂ关于轴对称，．．．．．．．．．．．．．．２＇
于是令可得，抛物线方程是：；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４＇
（２）．设，切点，则切线ＭＰ:ＭＱ：，相较于Ｍ,所以，可得直线ＰＱ的方程：
当时，与无关，所以直线ＰＱ过定点；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８＇
（３）. 设，，由（２）知直线PQ的方程是：，
，
，．．．．．．．．．．．．．１０＇
又点M到直线PQ的距离为，
所以．．．．12＇
即，ＭＰＱ面积有最小值．此时直线ＰＱ的方程是：．．
22解：（1）由已知，
①。当时
当时。则在（0,1）上是减函数，在上是增函数。的最小值为。无最大值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４＇
②（当且仅当时取到等号）

即且

即
则。又
即
则故不等式成立。．．．．．．．．．．．９＇
（2）设故在上递增。
又
所以方程即在上有唯一根且而不等式

不妨设

设

设集合
即存在成立。
那么不等式也成立
故对任意使得成立．．．14＇

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