二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系.doc

本科生毕业论文
目 录
摘要……………………………………………………………………………………………1
关键词…………………………………………………………………………………………1
Abstract………………………………………………………………………………………1
Key words……………………………………………………………………………………1
引言……………………………………………………………………………………………1
1二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义……………………………………………1
2二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系………………………………………2
2.1二元函数连续与偏导数存在之间的关系………………………………………………2
2.2二元函数连续与可微之间的关系………………………………………………………3
2.3二元函数可微与偏导数存在之间的关系………………………………………………3
2.4二元函数可微与偏导数连续之间的关系………………………………………………4
二元函数连续、偏导数、可微的关系图………………………………………………………6
参考文献………………………………………………………………………………………7
致谢……………………………………………………………………………………………8

二元函数的连续、偏导数、可微之间的关系
摘要 一元函数可微与可导等价，可导必连续.但二元函数并非如此，以下文章给出了二元函数连续、偏导数、可微之间的关系，并给出了简单的证明，且用实例说明了它们之间的无关性和在一定条件下所具有的共性.
关键词 二元函数 连续 偏导数 可微
The Relationship among Continuation, Partial Derivatives and Differentiability in Binary Function
Abstract Unary function differentiable with derivative equivalent, will be continuously differentiable. But the dual function is not the case, the following article gives a continuous function of two variables, partial derivatives, can be said the relationship between them, and gives a simple show, and illustrated with examples related between them and under certain conditions have in common..
Key words binary function continuation partial derivatives differentiability

引言 二元函数的偏导数存在、函数连续、可微是二元函数微分学的三个重要概念.对于学习数学分析的人来说，必须弄清三者之间的关系，才能学好、掌握与之相关的理论知识.本文详细讨论这三者之间的关系.
1 二元函数连续、偏导数、可微三个概念的定义
定义1 设为定义在点集上的二元函数，（或者是的聚点，或者是的孤立点），对于任给的正数，总存在相应的正数，只要，就有，则称关于集合在点连续.
定义2 设函数，若且在的某一邻域内有定义，则当极限存在时，则称这个极限为函数在点关于的偏导数，记作.
定义3 设函数在点某邻域内有定义，对于中的点，若函数在点处的全增量可表示为，其中、是仅与点有关的常数，是较高阶的无穷小量，则称函数在点处可微.
2 二元函数连续、偏导数、可微三个概念之间的关系
2.1 二元函数连续与偏导数存在之间的关系
例 在偏导数存在但不连续.
证明 因为 ，
同理可知 . 所以 在偏导数存在.
因为 极限不存在，所以 在不连续.
例 在点连续，但不存在偏导数.
证明 因为 ，
所以 在点连续，
因为 ,该极限不存在，
同理 也不存在.
所以 在点连续，但不存在偏导数.
此二例说明: 二元函数连续与偏导数存在不等价，偏导数存在不一定连续，连续不一定偏导数存在.这与一元函数不同.一元函数中，可导一定连续，连续不一定可导.
2.2 二元函数连续与可微之间的关系
定理 若在点可微，则在点一定连续.
证明 在点可微，
(1)
所以 当时，有，即 在该点连续.
例 证明在点连续，
但在点不可微.
证明 令，则.
因为 ,
所以在点连续.
按偏导数定义,
同理 .
若在点可微，则

应是较高阶的无穷小量.
因为 该极限不存在,所以在点不可微.
此例说明: 二元函数在某点连续，不一定可微，但可微一定连续.这与一元函数有相同的结论.
2.3 二元函数可微与偏导数存在之间的关系
定理 若二元函数在其定义域内一点处可微，则在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且(1)式中的.
证明 因为 在点可微，则
.
若令上式中 ,则,
所以 .
即.类似可证.
例 设,则在点偏导数存在，但在该点不可微.
解 事实上（1），
,
故 在点偏导数存在.
（2）因为 ，
此时若令，则，
此极限显然不存在，所以不存在，
所以 在点不可微.
此例说明: 二元函数中，偏导数存在不一定可微；可微则偏导数存在.这与一元函数中，可微与可导等价有区别.
2.4 函数可微与偏导数连续之间的关系
定理 若二元函数的偏导数在点的某邻域内存在，且与在点处连续，则函数在点处可微.
证明 我们把全增量

在第一个括号里，它是函数关于的偏增量;在第二个括号里，则是函数关于的偏增量.
对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值定理，
得 （2）
由于与在点处连续，
因此有 ， （3）
, （4）
其中 当时，有.
将（3） ，（4）代入（2式，
则得.
所以 函数在点处可微.
例在处可微，但与均在处不连续.
解 因为,
所以 在处连续.
,
同理 .
当时，极限不存在,
故在点不连续. 同理可证在处不连续.
,
所以在处可微.
此例说明 二元函数偏导数连续并不是可微的必要条件.由此可知定理3是可微的充分条件.由此引出定理4，降低函数可微的条件.
定理 若在内存在，且在连续，在存在，证明：在可微.
证明

由已知 存在，且在连续,
有
,
因为 ，
所以 ，
又因 ，所以 在点可微.
注 此定理中与互换，结论仍然成立.
二元函数连续、偏导数、可微的关系如图
二元函数连续 二元函数偏导数存在

二元函数可微

二元函数偏导数连续
参考文献
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[9]《大学数学名师导学丛书》编写组，数学分析名师导学[M].北京：中国水利水电出版社，2004：147-148
致谢
感谢老师对本论文从选题、构思、资料收集到最后定稿的各个环节给予的指引和教导，使我对分段函数的分析性质有了更深刻的认识，并最终得以完成毕业论文，对此我表示衷心的感谢，老师严谨的治学态度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度、积极进取的科研精神以及诲人不倦的师者风范是我毕生的学习楷模.
通过这一阶段的努力，我的毕业论文已接近尾声，作为一个本科生的毕业论文，由于经验的匮乏，难免有许多考虑不周全的地方，如果没有老师的亲切关怀和悉心指导，完成本次毕业论文将变得十分困难.老师平日工作繁多，但在这篇论文的写作过程中，老师不辞辛劳，多次就论文中许多核心的问题做深入细致的探讨并给我提出切实可行的指导性建议，才最终得以完成本次毕业论文.老师的这种一丝不苟的负责精神，使我深受感动.在此，请允许我向尊敬的老师表示真挚的谢意.
最后，还要感谢我的辅导员在这四年来对我的帮助与鼓励，以及院系的所有领导对我的栽培与支持.并向在百忙中抽出时间对本论文进行评审，并提出宝贵意见的各位老师表示衷心的感谢，致以最崇高的敬意.

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