蚌埠市2012年“成功杯”初中数学邀请赛试题(答案与试题分开)word版免费.doc

蚌埠市2012年“成功杯”初中数学邀请赛试题
本卷满分150分，考试时间150分钟
一、选择题：（本题共8小题，每小题6分，共计48分. 在每小题给出的A、B、C、D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母填在题后的括号内）
1.如图,在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形() ,再把剩余的部分剪拼成一个矩形.通过计算图形(阴影部分)的面积 ,验证的一个等式是……………【 】
A. B.
C. D.
第4题图
第1题图
第5题图

2.满足的整数的个数是 ………………………………【 】
A.4 B.5 C.6 D.7
3.设是方程的两个实数根，则的值为……………【 】
A.1006 B.2011 C.2012 D.2013
4．如图，AB、AC切⊙O于B、C，AO交⊙O于D，过D作⊙O切线分别交AB、AC于E、F，若OB＝6，AO＝10，则△AEF的周长是………………………………………【 】
A.10 B.12 C.14 D.16
5．如图，等腰Rt△ABC（∠ACB＝90º）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数关系的图像大致是 …………………………………………………【 】

A. B. C. D.
6.如图，，平分，，其中为垂足，若，则………………………………………【 】
A. B. C. D.
第6题图
第7题图
7.如图,在正五边形ABCDE中,对角线分别相交于点A1、 B1、 C1、 D1、 E1 .将所有全等的三角形视为一类,称为一个 “全等类”（ 如△ABC、△BCD与△CDE等都属于同一个全等类）. 则图中不同全等类的个数为………………………【 】
A.3 B.4
C.5 D.6

8.在3×5的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上.在这 15 个小方格中，可以是这枚棋子出发的小方格的个数为
A．6 B．8 C．9 D．10
二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分。请将答案直接填在题中横线上。

O
x
y
B
C
A

第9题图
9．如图，△ABC的外心坐标是__________.

第10题图
10.如 图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC =a，CA = b，且∠A - ∠B= 90° . 则 ⊙O 的半径为____________.

11.方程组的解为_______________________.
12.化简：
的值为___________.

13.已知满足，且，则函数的最小值是___________________________.

14.在直角坐标平面内，已知，点在直线上运动，当最大时，的值为_________________.

15.已知实数满足：
则的值为___________________.
三、解答题：本大题共3小题，共60分。解答应写出说明文字、演算式、证明步骤。
16.（本题满分10分）
已知是关于的一元二次方程的两个实数根，其满足.求实数的所有可能值.

17．(本题满分10分)
对任何实数,都有成立.求实数的最大值.

18.（本题满分20分）
已知，求的整数部分.

19.（本题满分20分）
如图自的外接圆弧上的任一点，作于，是上一点，作，分别在上.证明：三点共线.

蚌埠市2012年“成功杯”初中数学邀请赛试题参考答案
本卷满分150分，考试时间150分钟
一、选择题：（本题共8小题，每小题6分，共计48分. 在每小题给出的A、B、C、D的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将正确答案的字母填在题后的括号内）
1.如图,在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形() ,再把剩余的部分剪拼成一个矩形.通过计算图形(阴影部分)的面积 ,验证的一个等式是……………【 】
A. B
C. D.
第4题图
第1题图
第5题图

答案：A
2.满足的整数的个数是 ………………………………【 】
A.4 B.5 C.6 D.7
答案：C
解析：因为，
且，
因此整数可以取4,5,6,7,8,9.
3.设是方程的两个实数根，则的值为……………【 】
A.1006 B.2011 C.2012 D.2013
答案：D
解析：.
4．如图，AB、AC切⊙O于B、C，AO交⊙O于D，过D作⊙O切线分别交AB、AC于E、F，若OB＝6，AO＝10，则△AEF的周长是………………………………………【 】
A.10 B.12 C.14 D.16
答案：D
解析：△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+DE+DF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=16.
5．如图，等腰Rt△ABC（∠ACB＝90º）的直角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合为止．设CD的长为，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为，则与之间的函数关系的图像大致是 …………………………………………………【 】

A. B. C. D.
答案：A
6.如图，，平分，，其中为垂足，若，则………………………………………【 】
A. B. C. D.
答案：B
解析：延长交与.
第6题图
第7题图
7.如图,在正五边形ABCDE中,对角线分别相交于点A1、 B1、 C1、 D1、 E1 .将所有全等的三角形视为一类,称为一个 “全等类”（ 如△ABC、△BCD与△CDE等都属于同一个全等类）. 则图中不同全等类的个数为………………………【 】
A.3 B.4
C.5 D.6
答案：C
解析：图中没有三个顶点都是A1、B1、C1、D1、E1中的点的三角形.
（1）顶点全取于A、B、C、D、E的全等类有2个：△ABC全等类和△ABD 全等类；
（2）两个顶点取于A、B、C、D、E，一个顶点取于A1、B1、C1、D1、E1的全等类有 3 个：△ABA1 全等类、△ABB1 全等类和 △ACD1 全等类；
（3）一个顶点取于 A、B、C、D、E，两个顶点取于A1、B1、C1、D1、E1的全等类有 1 个：△BA1 B1 全等类;
但△ABC与 △ACD1 是同一个全等类.
所以，不同的全等类共有5个.

8.在3×5的棋盘上，一枚棋子每次可以沿水平或者垂直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动.从某些待定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不必回到原来出发的小方格上.在这 15 个小方格中，可以是这枚棋子出发的小方格的个数为
A．6 B．8 C．9 D．10
答案：B.
解析：如答题图1,将3 × 5的棋盘黑白染色. 图中有 8 个黑色小方格和 7 个白色小方格,棋子每次移动都是黑白交替的,则 7 个白格不能作为出发点.另一方面,如答题图2 的 8 个黑格中的任意一个都可以作为出发点.
答题图1
答题图2

O
x
y
B
C
A

第9题图

二、填空题：本大题共7小题，每小题6分，共42分。请将答案直接填在题中横线上。
9．如图，△ABC的外心坐标是______
答案：
10.如 图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC =a，CA = b，且∠A - ∠B= 90° . 则 ⊙O 的半径为____________.
答案：
解析：连接BO并延长，交⊙O于点D，由题意，AC、CD所对的劣弧相等，从而AC=CD.
第10题图
由勾股定理知直径.
11.方程组的解为_______________________.
答案：或．
解析：原方程组可以改写成
将这三个方程相加，可以得到（x+y+z）2=16，从而x+y+z=±4．由此可得到原方程组的解为（2，3，－1）与（－2，－3，1）．
12.化简：
的值为_________
答案：.
解析：

13.已知满足，且，则函数的最小值是___________________________.
答案：.
解析：当时，由知，从而，
原式等价于
故，所以只能，解得，
函数最小值为.
答题图3
14.在直角坐标平面内，已知，点在直线上运动，当最大时，的值为_________________.
答案：.
解析：如图，设直线与x轴的交点为M.由平面几何知识知，要使最大，则过A、B、P三点的圆必和直线相切于点P.
因为∠MPA=∠MPB，所以△MPA∽△MBP,因此.
又由切割线定理得：,故.
因为，所以
从而.

15.已知实数满足：
则的值为___________________.
答案：.
解析：已知可化为
所以是方程的两个根
于是有，即，因此
从而，即
故.

三、解答题：本大题共3小题，共60分。解答应写出说明文字、演算式、证明步骤。
16.（本题满分10分）
已知是关于的一元二次方程的两个实数根，其满足.求实数的所有可能值.
解：由条件知
所以或.……………………………………………………………………3分
又由根与系数的关系知：
，.………………………………………………5分
则
解得（舍去）或. ……………………………………………………10分

17．(本题满分10分)
对任何实数,都有成立.求实数的最大值.
解：由绝对值的几何意义知：在时有最小值2. ……………3分
而在y = 1时有最大值1. ………………………………6分
由条件知2≥× 1，则≤ 2.
所以，的最大值为2.………………………………………………………………10分

18.（本题满分20分）
已知，求的整数部分.
解：由已知得.
若，
则，与假设矛盾； …………………5分
若，
则，与假设也矛盾.…………………8分
因此，即
解得（负值舍去）…………………………………………………………10分
而

因为，所以所求整数值为36.……………………………………20分

19.（本题满分20分）
答题图4
如图，自的外接圆弧上的任一点，作于，是上一点，作，分别在上.证明：三点共线.
证明：如图，连接
因为，
所以
由∥得, ………………①
而∽，有,………②
①×②得
因此∽
故
同理：
所以，.
故三点共线.

蚌埠市2012年“成功杯”初中数学邀请赛试题 第9页（共4页）