选修2-2_导数及其应用单元检测.doc

导数及其应用一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知函数yf(x)的图象如图，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB) Bf(xA)0，函数f(x)x3ax在1，)上是单调减函数，则a的最大值为()A1 B2 C3 D48若函数f(x)asin xcos x在x处有最值，那么a等于()A. B C. D9已知 f(x)dx3，则f(x)6dx等于()A9 B12 C15 D1810设aR，若函数yeax3x，xR有大于零的极值点，则()Aa3 Ba Da0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x (x(0,0.048)，则存款利率为多少时，银行可获得最大利益()A0.012 B0.024 C0.032 D0.036二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13若f(x)x2bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是_14设函数f(x)ax33x1 (xR)，若对于x1，1，都有f(x)0，则实数a的值为_15.如图，内接于抛物线y1x2的矩形ABCD，其中A、B在抛物线上运动，C、D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是_16已知函数f(x)x3ax2bxc，x2,2表示过原点的曲线，且在x1处的切线的倾斜角均为，有以下命题：f(x)的解析式为f(x)x34x，x2,2 f(x)的极值点有且只有一个f(x)的最大值与最小值之和等于零 其中正确命题的序号为_三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)若函数f(x)x3ax2(a1)x1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，)上为增函数，试求实数a的取值范围18(12分)已知函数f(x)x3ax2bxc在x与x1时都取得极值(1)求a，b的值与函数f(x)的单调区间；(2)若对x1,2，不等式f(x)ln 21且x0时，exx22ax1.22(12分)已知函数f(x)x2ln x.(1)求函数f(x)在1，e上的最大值和最小值；(2)求证：当x(1，)时，函数f(x)的图象在g(x)x3x2的下方答案1Bf(xA)和f(xB)分别表示函数图象在点A、B处的切线斜率，故f(xA)0，a0， 0eax1，01， a0，又x1，f(x)的单调增区间为(，1)，(1，)12B由题意知，存款量g(x)kx (k0)，银行应支付的利息h(x)xg(x)kx2，x(0,0.048)设银行可获得收益为y，则y0.048kxkx2.于是y0.048k2kx，令y0，解得x0.024，依题意知y在x0.024处取得最大值故当存款利率为0.024时，银行可获得最大利益13(，1解析f(x)x，又f(x)在(1，)上是减函数，即f(x)0在(1，)上恒成立，又x20，故x22xb0在(1，)上恒成立，即x22xb0在(1，)上恒成立又函数yx22xb的对称轴为x1，故要满足条件只需(1)22(1)b0，即b1.144解析若x0，则不论a取何值，f(x)0，显然成立；当x0，即x(0,1时，f(x)ax33x10 可转化为a，设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4；当x0，f(x)是递增的，x时，f(x)0，ax1. 又x1(7，)，a7，同时成立，5a7.经检验a5或a7都符合题意， 所求a的取值范围为5a7.18解(1)f(x)x3ax2bxc， f(x)3x22axb，由fab0， f(1)32ab0得a，b2.f(x)3x2x2(3x2)(x1)，令f(x)0，得x1， 令f(x)0，得x1.所以函数f(x)的递增区间是和(1，)，递减区间是.(2)f(x)x3x22xc，x1,2，由(1)知，当x时，fc为极大值，而f(2)2c，则f(2)2c为最大值，要使f(x)f(2)2c，得c2.19.解如图所示，设BC为海岸线，A为渔艇停泊处，C为海岸渔站，D为海岸上一点AB9，AC3， BC15.设由A到C所需时间为t，CD的长为x， 则tx (0x15)，t令t0，解得x3，x27(舍)在x3附近，t由负到正，因此在x3处取得极小值又t(0)，t(15)，t(3)，比较可知t(3)最小在距渔站3 km处登岸可使抵达渔站的时间最短20解设每次订购电脑的台数为x，则开始库存量为x台，经过一个周期的正常均匀销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为x台，所以每年的保管费用为x4 00010%元，而每年的订货电脑的其它费用为1 600元，这样每年的总费用为1 600x4 00010%元令y1 600x4 00010%， y5 0001 6004 00010%.令y0，解得x200(台)也就是当x200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元21(1)解由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)2(1ln 2a)故f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)，f(x)在xln 2处取得极小值，极小值为f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)证明设g(x)exx22ax1，xR， 于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知当aln 21时，g(x)取最小值为g(ln 2)2(1ln 2a)0.于是对任意xR，都有g(x)0，所以g(x)在R内单调递增于是当aln 21时，对任意x(0，)，都有g(x)g(0)而g(0)0，从而对任意x(0，)，都有g(x)0，即exx22ax10，故exx22ax1.22(1)解f(x)x2ln x，f(x)2x.x1时，f(x)0，f(x)在1，e上是增函数，f(x)的最小值是f(1)1，最大值是f(e)1e2.(2)证明令F(x)f(x)g(x)x2x3ln x，F(x)x2x2.x1，F(x)0，F(x)在(1，)上是减函数，F(x)F(1)0.f(x)g(x)当x(1，)时，函数f(x)的图象在g(x)x3x2的下方7