第四章 学案17.doc

学案17 平抛运动

一、概念规律题组
1．关于平抛运动的说法正确的是(　　)
A．平抛运动是匀变速曲线运动
B．平抛物体在t时刻速度的方向与t时间内位移的方向相同
C．平抛物体在空中运动的时间随初速度增大而增大
D．若平抛物体运动的时间足够长，则速度方向将会竖直向下
2．关于物体的平抛运动，下列说法正确的是(　　)
A．由于物体受力的大小和方向不变，因此平抛运动是匀变速运动
B．由于物体速度的方向不断变化，因此平抛运动不是匀变速运动
C．物体的运动时间只由抛出时的初速度决定，与高度无关
D．平抛运动的水平距离由抛出时的初速度决定，与高度无关
3．一个物体以初速度v0水平抛出，经过时间t其竖直方向速度大小与v0大小相等，那么t为(　　)
A. B. C. D.
4．初速度为v0的平抛物体，某时刻物体的水平分位移与竖直分位移大小相等，下列说法错误的是(　　)
A．该时刻物体的水平分速度与竖直分速度相等
B．该时刻物体的速率等于v0
C．物体运动的时间为
D．该时刻物体位移大小等于
二、思想方法题组
5．以下对平抛运动的认识，说法不正确的是(　　)
A．在同一位置水平抛出的物体，初速度越大者着地前在空中运动的时间越长
B．以同一初速度抛出的物体，抛出点越高者落地速度越大
C．在任意两个连续相等时间内，竖直方向位移之差恒相等
D．在任意两个相等的时间内，速度的变化量恒相等
6．从倾角为α的斜面上同一点，以大小不等的初速度v1和v2(v1>v2)沿水平方向抛出两个小球，两个小球落到斜面上的瞬时速度方向与斜面的夹角分别为β1和β2，则(　　)
A．β1>β2 B．β1<β2 C．β1＝β2 D．无法确定

一、平抛运动物体的运动
1．求以下三种情况下平抛运动的时间(如图1所示)

图1
ta＝　　tb＝　　tc＝
总结：(1)平抛运动的时间取决于
(a)：物体下落的高度

(b)：初速度v0及斜面倾角

(c)：抛点到竖直墙的距离及v0
(2)(a)中的水平位移x＝v0·，取决于v0和下落高度h.
2．速度的变化规律
(1)任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0.
(2)任意相等时间间隔Δt内的速度变化量方向竖直向下，大小Δv＝Δvy＝gΔt.
3．位移变化规律
(1)任意相等时间间隔Δt内的水平位移不变，即Δx＝v0Δt.
(2)连续相等的时间间隔Δt内，竖直方向上的位移差不变，即Δy＝gΔt2.
4．平抛运动的两个重要推论
推论Ⅰ：做平抛(或类平抛)运动的物体在任一时刻任一位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.

图2
证明：如图2所示，由平抛运动规律得：tan α＝＝
tan θ＝＝＝
所以tan α＝2tan θ
推论Ⅱ：做平抛(或类平抛)运动的物体，任意时刻的瞬时速度方向的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
证明：如图2所示，设平抛物体的初速度为v0，从原点O运动到A点的时间为t，A点坐标为(x，y)，B点坐标为(x′，0)．则
x＝v0t，y＝gt2，vy＝gt，
又tan α＝＝，解得x′＝.
即末状态速度方向的反向延长线与x轴的交点必为此时水平位移的中点．

图3
【例1】 (全国高考Ⅰ)如图3所示，一物体自倾角为θ的固定斜面顶端沿水平方向抛出后落在斜面上．物体与斜面接触时速度与水平方向的夹角φ满足(　　)
A．tan φ＝sin θ B．tan φ＝cos θ
C．tan φ＝tan θ D．tan φ＝2tan θ
[规范思维]

图4
[针对训练1]　(2010·北京理综·22)如图4，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经3.0 s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力．(取sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80；g取10 m/s2)求：
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小；

图5
【例2】 (2010·全国Ⅰ·18)一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图5中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为(　　)
A．tan θ B．2tan θ C. D.
[规范思维]

图6
[针对训练2]　(2010·天津河西期末)如图6所示，以v0＝10 m/s的速度水平抛出的小球，飞行一段时间垂直地撞在倾角θ＝30°的斜面上，按g＝10 m/s2考虑，以下结论中不正确的是(　　)
A．物体飞行时间是 s
B．物体撞击斜面时的速度大小为20 m/s
C．物体飞行的时间是2 s
D．物体下降的距离是10m

图7
【例3】 (2008.江苏单科.13)抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台的P1点(如图7中实线所示)，求P1点距O点的距离x1.
(2)若球在O点正上方以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2点(如图中虚线所示)，求v2的大小．
(3)若球在O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3处，求发球点距O点的高度h3.

[规范思维]

二、类平抛运动物体的运动
1．类平抛运动的受力特点
物体所受合力为恒力，且与初速度的方向垂直．
2．类平抛运动的运动特点
在初速度v0方向做匀速直线运动，在合外力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝.
3．类平抛运动的求解方法
(1)常规分解法将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合力的方向)的匀加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
(2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向上列方程求解．

图8
【例4】 在光滑的水平面内，一质量m＝1 kg的质点以速度v0＝10 m/s沿x轴正方向运动，经过原点后受一沿竖直向上(沿y轴正向)的恒力F＝15 N作用，直线OA与x轴成α＝37˚，如图8所示曲线为质点的轨迹图(g取10 m/s2，sin 37˚＝0.6，cos 37˚＝08)．求：
(1)如果质点的运动轨迹与直线OA相交于P点，质点从O点到P点所经历的时间以及P点的坐标；
(2)质点经过P点的速度大小．

[规范思维]

【基础演练】
1．如图9所示，将两个质量相等的小钢球从斜面的同一高度处由静止同时释放，滑道2与光滑水平板吻接，则将观察到的现象是A、B两个小球在水平面上相遇，改变释放点的高度和上面滑道对地的高度，重复实验，A、B两球仍会在水平面上相遇，这说明(　　)

图9
A．平抛运动在水平方向的运动是匀速直线运动
B．平抛运动在竖直方向的运动是自由落体运动
C．A球在下落过程中机械能守恒
D．A、B球的速度任意时刻都相同
2．在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地．若不计空气阻力，则(　　)
A．垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定
B．垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定
C．垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定
D．垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定
3．(广东高考题.11)某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面上以25 m/s的速度沿水平方向反弹．落地点到墙面的距离在10 m至15 m之间．忽略空气阻力，取g＝10 m/s2.球在墙面上反弹点的高度范围是(　　)
A．0.8 m至1.8 m B．0.8 m至1.6 m
C．1.0 m至1.6 m D．1.0 m至1.8 m
4．(2011·广东广州月考)飞机在水平地面上空的某一高度水平匀速飞行，每隔相等时间投放一个物体．如果以第一个物体a的落地点为坐标原点、飞机飞行方向为横坐标的正方向，在竖直平面内建立直角坐标系．如下图所示是第5个物体e离开飞机时，抛出的5个物体(a、b、c、d、e)在空间位置的示意图，其中不可能的是(　　)

图10
5．甲、乙两球位于同一竖直线上的不同位置，甲比乙高h，如图10所示，将甲、乙两球分别以v1、v2的速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，下列条件中可以使乙球击中甲球的是(　　)
A．同时抛出，且v1v2
C．甲比乙早抛出，且v1>v2
D．甲比乙早抛出，且v1平距离是2.5 m
C．滑雪者在空中运动的时间为0.5 s
D．滑雪者着地时的速度大小为5m/s

图12
7．如图12所示，在斜面顶端a处以速度va水平抛出一小球，经过时间ta恰好落在斜面底端P处；今在P点正上方与a等高的b处以速度vb水平抛出另一小球，经过时间tb恰好落在斜面的中点处．若不计空气阻力，下列关系式正确的是(　　)
A．va＝vb B．va＝vb
C．ta＝tb D．ta＝2tb
【能力提升】
8．(2011·北京西城区抽样)随着人们生活水平的提高，高尔夫球将逐渐成为普通人的休闲娱乐．如图13所示，某人从高出水平地面h的坡上水平击出一个质量为m的高尔夫球．由于恒定的水平风力的作用，高尔夫球竖直地落入距击球点水平距离为L的A穴．则下列判断中错误的是(　　)

图13
A．球被击出后做平抛运动
B．该球从被击出到落入A穴所用的时间为
C．球被击出时的初速度大小为L
D．球被击出后受到的水平风力的大小为mgL/h

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案

图14
9．如图14所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在临近平台的一倾角为α＝53°的光滑斜面顶端，并刚好沿光滑斜面下滑，已知斜面顶端与平台的高度差h＝0.8 m，g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，则：
(1)小球水平抛出的初速度v0是多大？
(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x是多少？
(3)若斜面顶端高H＝20.8 m，则小球离开平台后经多长时间t到达斜面底端？

10．如图15所示，

图15
在距地面80 m高的水平面上做匀加速直线运动的飞机上每隔1 s依次放下a、b、c三物体，抛出点a、b与b、c间距分别为45 m和55 m，分别落在水平地面上的A、B、C处．求：
(1)飞机飞行的加速度；
(2)刚放下b物体时飞机的速度大小；

(3)b、c两物体落地点BC间的距离．

学案17　平抛运动
【课前双基回扣】
1．A
2．AD　[平抛运动是a＝g的匀变速曲线运动，t＝与h、g有关．]
3．A　[v0＝vy＝gt，t＝]
4．A　[x＝v0t y＝gt2 由x＝y得t＝ vy＝gt＝2v0
vt＝＝v0，s＝x＝ 故B、C、D结果正确．]
5．BCD
6．C

[如右图所示，设落点分别为A、B，则位移分别为OA、OB，这两个位移同方向，因此位移角均为φ，vA与vB的速度角分别为图中的θ1和θ2，由tan θ1＝2tan φ和tan θ2＝2tan φ可得θ1＝θ2，因此vA与vB这两个速度方向平行，所以β1＝β2.]
思维提升
1．平抛运动的条件是①只受重力作用；②初速度不为0，且方向水平．
2．平抛运动的性质是匀变速曲线运动．
3．平抛运动的研究方法是运动的分解，即平抛运动是水平方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的合运动．
4．平抛运动中速度偏角θ与位移偏角α之间的关系是tan θ＝2tan α，要记住这一重要推论．
【核心考点突破】
例1 D　[本题考查平抛运动的有关知识，本题为中等难度题目．由平抛运动知识可得：对速度分解有tan φ＝＝，对位移分解有tan θ＝＝＝，所以有：tan φ＝2tan θ.]
[规范思维]　本题考查平抛运动的基本处理方法，也考查了斜面的制约关系．平抛物体落在斜面上，就确定了水平位移和竖直位移的几何关系，即tan θ＝(此式可称为斜面的制约方程)．此外利用推论解题很便捷．本题的结果实际上是平抛运动的一个重要推论tan φ＝2tan θ.
例2 D　[设小球的初速度为v0，飞行时间为t.由速度三角形可得＝tan θ.故有＝＝，答案为D.]
[规范思维]　本题中，斜面制约的是速度方向．物体垂直落在斜面上，就确定了速度方向．
例3 (1)v1　(2) 　(3)h
解析　(1)设发球时飞行时间为t1，根据平抛运动规律

h1＝gt①
x1＝v1t1②
联立以上两式，解得x1＝v1·③
(2)设发球高度为h2，飞行时间为t2，根据平抛运动规律
h2＝gt④
x2＝v2t2⑤
乒乓球反弹前后水平分速度不变，最大高度不变
故h2＝h⑥
2x2＝L⑦
联立④⑤⑥⑦式，得v2＝ ⑧
(3)如下图所示，发球高度为h3，飞行时间为t3，根据平抛运动得h3＝gt⑨

x3＝v3t3⑩
且3x3＝2L⑪
设球从恰好越过球网到最高点的时间为t，水平距离为x，有
h3－h＝gt2⑫
x＝v3t⑬
由几何关系知x3＋x＝L⑭
联立⑨～⑭式，解得h3＝h
[规范思维]　本题以乒乓球发球为背景，考查学生读题、审题及挖掘信息的能力、建模能力．问题设置有台阶、有铺垫，难度逐渐增加：第(1)问已知平抛的竖直高度和初速度求水平位移，难度较小；第(2)问认识到发球的对称性才可解答；第(3)问不仅能从对称性分析，还要恰当列式，熟练推导．
例4 (1)3 s　(30 m,22.5 m)　(2)5 m/s
解析　(1)质点在水平方向上不受外力作用做匀速直线运动，竖直方向上受恒力F和重力mg作用做匀加速直线运动．由牛顿第二定律得a＝＝ m/s2＝5 m/s2
设质点从O点到P点经历的时间为t，P点坐标为(xP，yP)，则xP＝v0t，yP＝at2
又tan α＝ 联立解得：t＝3 s，xP＝30 m，yP＝22.5 m
(2)质点经过P点时沿y方向的速度 vy＝at＝15 m/s
故P点的速度大小vP＝＝5 m/s
[规范思维]　类平抛运动是指物体受恒力作用且恒力方向与初速度方向垂直的运动，其运动规律与平抛运动的规律相同，处理方法与平抛运动问题的处理方法亦相同，但需注意的是不一定按竖直方向和水平方向进行分解，而是按初速度方向和合外力方向来分解．
[针对训练]
1．(1)75 m　(2)20 m/s
解析 (1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有Lsin 37°＝gt2
A点与O点的距离L＝＝75 m
(2)设运动员离开O点时的速度大小为v0，运动员在水平方向做匀速直线运动，
即Lcos 37°＝v0t 解得v0＝＝20 m/s
2．AB　[考查平抛运动．竖直方向的速度vy＝＝10 m/s，运动时间t＝＝ s＝ s，A正确，C错误；合速度大小v＝＝20 m/s，B正确；物体下落的竖直距离y＝gt2＝15 m，D错误．]
【课时效果检测】
1．A　2.D　3.A
4．ACD　[本题考查平抛运动的特点．物体被抛出时的水平速度相同，如果第一个物体a刚好落地，那么其它几个物体在竖直方向应该排成一排，所以A对；如果先投出的物体已经落地，相邻物体的水平距离应该相等，没有落地的在竖直方向仍排成一排，所以B错误，C、D正确．]
5．ABC　[要使乙球击中甲球，则由竖直方向分运动的空间关系h1>h2及竖直方向分运动规律h＝gt2可确定时间关系t1>t2，即甲球要早抛出；由水平方向分运动的空间关系x1＝x2及时间关系，根据x＝vt可确定速度关系v1物体运动时间由竖直方向的高度决定t＝ ，a物体下落的高度是b的2倍，有ta＝tb，C错误，D正确；水平方向的距离由高度和初速度决定x＝v0，由题意得a的水平位移是b的2倍，可知va＝vb，A错误，B正确．]
8．BC　[由于受到恒定的水平风力的作用，球被击出后在水平方向做匀减速运动，A错误；由h＝gt2得球从被击出到落入A穴所用的时间t＝ ，B正确；由题述高尔夫球竖直地落入A穴可知球水平末速度为零，小球在水平方向做匀减速运动，由L＝v0t/2得球被击出时的初速度大小为v0＝L ，C正确；由v0＝at得球的水平方向加速度大小a＝gL/h，球被击出后受到的水平风力的大小为F＝ma＝mgL/h，D错误．]
9．(1)3 m/s　(2)1.2 m　(3)2.4 s
解析　(1)由题意可知，小球落到斜面上并沿斜面下滑，说明此时小球速度方向与斜面平行，否则小球会弹起，
所以vy＝v0tan 53°，v＝2gh，
则vy＝4 m/s，v0＝3 m/s.
(2)由vy＝gt1得t1＝0.4 s，x＝v0t1＝3×0.4 m＝1.2 m
(3)小球沿斜面做匀加速直线运动的加速度a＝gsin 53°，初速度v＝5 m/s.则
＝vt2＋at，解得t2＝2 s(或t2＝－ s不合题意舍去)，所以t＝t1＋t2＝2.4 s.
10．(1)10 m/s2　(2)50 m/s　(3)95 m
解析　(1)飞机在水平方向上由a经b到c做匀加速直线运动且tab＝tbc＝T＝1 s，由Δx＝aT2得，a＝＝＝10 m/s2.
(2)因位置b对应a到c过程的中间时刻，故有vb＝＝50 m/s.
(3)设物体从被抛出到落地所用时间为t，由h＝gt2得：t＝ ＝4 s，BC间距离为：xBC＝xbc＋vct－vbt，
又vc－vb＝aT，得：xBC＝xbc＋aTt＝95 m.
易错点评
1．平抛运动中，在任意相等时间内的速度变化量都相等，且方向竖直向下，即Δv＝gΔt.
2．平抛运动的物体在空中的飞行时间仅决定于下落的高度，与初速度的大小无关，即t＝.
3．平抛运动与斜面结合的问题，常常用斜面倾角的正切与平抛物体水平位移、竖直位移之间的关系来处理．
4．类平抛运动的处理方法与平抛运动完全一样，只是加速度不再是g，而应先根据牛顿第二定律求出加速度a，然后用平抛运动的处理方法来解决．