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矩阵论文 2024/12/25
矩阵分解在数值计算中的应用

【摘要】矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或者乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵的分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，它是应用于解最优化问题、特征值问题、最小二乘方问题的主要数学工具．在广义逆矩阵问题和统计学方面都有重要应用。
关键词 ： 矩阵分解 对角化 逆矩阵 范数 条件数
引言
矩阵概念和线性代数学科的引进和发展是源于研究线性方程组系数而产生的行列式的发展.莱布尼兹,微积分学的两个奠基者之一,在1693年使用了行列式,克莱姆于1750年提出了用行列式求解线性方程组的公式(即今天著名的克莱姆法则).相对比地,行列式的隐含使用最早出现在18世纪晚期拉格郎日关于双线性型的著作里.拉格郎日希望刻画多变量函数的极大值与极小值.他的方法今天以拉格郎日乘数法闻名.为此,他首先要求第一个偏导数为0,再需要关于第二个偏导数的矩阵成立一个条件.这个条件今天称之为正定或负定,尽管拉格郎日没有明显地使用矩阵.
在1800年左右,高斯发现了高斯消去法,他用此方法解决了天体计算和后来大地测量(关于测量或确定地球形状或定位地球表面一个点的应用数学分支,称之为大地测量学)计算中的最小平方问题.尽管高斯的名字相伴随从线性方程组逐次逍去变量的这项技术,但从发现的早在几个世纪前的中文手稿中解释了如何用"高斯的"消去法解带有三个未知量的三个方程构成的线性方程组.多年来,高斯消去法被认为是大地测量学,而非数学,发展的一部分.首次印刷出来的高斯—约当消去法是在W. 约当写的关于大地测量学的手册里.许多人错误地认为著名数学家C.约当是"高斯—约当"消去法中的约当. 为了矩阵代数的丰富发展,人们既需要适当的概念,还需要适当的矩阵乘法.这两种需要在同一时间和同一地点交汇了.在1814年于英格兰,JJ.西勒维斯特首先引进了术语"Matrix",作为一列数的名称,这是胚胎的拉丁词.矩阵代数于1855年由亚瑟 凯莱的工作得到了发展.凯莱研究了线性变换的合成,导致定义了矩阵乘法,使得合成变换ST的系数矩阵是S的矩阵与T的矩阵的乘积.他继续研究这些合成包括矩阵逆的代数.著名的凯莱—哈密尔顿定理断言,一个方阵是它的特征多项式的根.这个定理于1858年在凯莱的"关于矩阵理论备忘录"的著作里给出.代表矩阵的单个字母A的使用对于矩阵代数的发展是关键的.早期的公式det(AB)=det(A)det(B)提供了矩阵代数与行列式的联系.凯莱写下了"有许多事情说明关于矩阵的理论,似乎对我而言,比行列式理论重要". 数学家们也试图发展向量代数,但没有任意维数的两个向量积的自然定义.涉及到非交换向量积(亦即VW×不一定等于WV×)的第一个向量代数由赫尔曼 格拉斯曼在他的书"维数理论"(1844)提出来的.格拉斯曼的书也引进了一个列矩阵与一个行矩阵的乘积,导致了今天所谓的单纯的或秩1的矩阵.在19世纪晚期,美国数学物理学家W.吉布斯发表了关于向量分析的著名论文.在那篇论文里,吉布斯把一般的矩阵,他称之为并向量(dyadics),表示为单纯矩阵(吉布斯称为并向量(dyads))的和.后来物理学家P.A.M.迪拉克引进了术语"行-列"(bra-ket)来表示我们现在称之为行向量乘以列向量的纯量积,术语"列-行(ket-bra)"表示一列向量乘以行向量的积,从而导致如同上面的我们现在称做的单纯矩阵.我们现在把列矩阵和向量视为同一的习惯是由物理学家们在20世纪引进的.
矩阵理论在数值计算、线性规划、数据分析、科学试验、信号传输等重大领域有着极其广泛的应用。随着科技日新月异地进步，人类社会开始步入信息化、数字化时代，矩阵在生产实践中的应用越来越广泛，矩阵理论的研究也就越来越重要。
矩阵分解在工程中的应用主要是在解线性方程组中,而这主要就是关系到储存和计算时间的问题上面,如何实现最小的储存和最少的计算时间是在工程计算中的头等问题。在这方年就牵涉到很多对矩阵进行怎样的分解，这篇文章介绍；了基本的关于三角分解相关的内容以及关于界的稳定性的考虑。最后就是介绍了斜量法运用，并对其进行了些许改进。
1. 矩阵的三角分解
数值求解线性方程族的方法中有一个主要是直接法，假设计算中没有舍入误差，经过有限次算术运算能够给出问题的精确解的数值方法。其中高斯消去法就是利用矩阵的分解实现的。矩阵的一种有效而且应用广泛的分解法就是三角分解法，将一个矩阵分解为一个酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积。考虑一般的线性方程组，设其中的系数矩阵是可逆的，
（1-1）
设矩阵的第一列中至少有一个是非零元素（否则就是奇异矩阵）不妨设为若一般的记初等矩阵
（1-2）
根据矩阵理论的知识我们知道矩阵左乘矩阵，作用就是对换的第和第行，右乘的作用是对换第和第列。因此通过取，则矩阵中的。用第一行与其他行的线性组合可以将第一列对角线以下部分全部变为0。这一过程写成矩阵形式即
（1-3）
其中
（1-4）
这里，注意到
（1-5）
并且该矩阵仍然是可逆矩阵。所以中至少有一个不为0，设。
同理取，令如此逐步消元可得到
（1-6）
若再假设，取对换行，即可得该矩阵的形状为
（1-7）
在（1-6）中，这里，如果记则
（1-8）
很显然对任意的看，都有
，
所以他们都是非奇异的矩阵，而且他们的逆矩阵分别是
（1-9）
（1-10）
经过步消元法的得到矩阵
（1-11）
是一个上三角矩阵。如果记
（1-12）
则显然线性方程组
（113）
与原方程组同解的。通过以上变换实质上就是矩阵的分解假设消去过程中不实施矩阵行的交换，这时
（1-14）
由（1-11）经过消去过程后，矩阵就是一个上三角矩阵记则
（1-15）
而由（1-10）可知每个都是一个下三角矩阵。容易验证
（1-16）
是一个下三角矩阵，如果记则可验证（1-16）的矩阵为
（1-17）
最后得到
（1-18）

其中是一个下三角矩阵，是一个上三角矩阵这样线性方程组就等价于依次求解方程组
（1-19）
这样就可以得到原方程组的解。
2.线性方程组的解的稳定性判定
线性方程组解的稳定性。对于线性方程组
， （1-20）
如果解关于问题（即矩阵和向量）的微小变化（即舍入误差）不敏感，则（1-5）就是一个“好”问题，反之就是“坏”的或病态的问题。而对求解上述方程组的一个算法，如果关于问题的“微小”变化（即误差的传播在一个可以接受的范围内），则算法成为稳定的算法（即好的），反之就是一个不稳定的算法。有了范数的工具，就可以讨论线性方程组的“好坏”以及求解线性方程组的优劣问题。定义1 设是可逆矩阵，称是矩阵相对矩阵范数的条件数。考虑到
（1-21）
即由于右端的扰动引起解的变化，比较它与原有问题
（1-22）
解的差异。由（1-6）和（1-7）两式相减可以得到
（1-23）
记为上的向量范数及与它相容的矩阵范数，由（1-7）和（1-8）可得
（1-24）
（1-25）
综合上述两式，有
（1-26）
显然可以知道右端的扰动可能引起解扰动的上界。显然越小右端的变化就越小。对于第二种情况
（1-27）
（1-28）
故有
（1-29）
这也就是说
（1-30）
事实上进一步分析可以知道
（1-31）
可见由于问题扰动引起的解得扰动的是同一个因子。故称为条件数。记为cond（当条件大就是病态矩阵，反之就是良态的。因此了解条件数是必要的。他可以帮助判断所得的数值解的可信度与合理性。
3.结束语
矩阵理论这门课程在工程中的应用是多方面的，在这里只选取了在求解线性方程组的的应用进行了简要的介绍。矩阵计算问题看似简单，但要获得好的数值结果并不容易。近年来随着电磁学的发展，计算电磁学的兴起，矩阵理论在计算感应场和远区场方面有了进一步的深入并随之出现的各种新的算法比如：快速多极子方法，多层快速多极子法，共轭梯度与快速傅立叶法。上面提到的快速算法，计算时间仍会很长。为了减少迭代步数，就必须改善阻抗矩阵的条件数，于是有些学者将预条件技术进来。常用的预条件技术有不完全LU预条件，稀疏近似逆预条件以及基于物理特性的预条件等。预条件技术能或多或少减少迭代步数，但对于大目标来说，CPU时间依旧很大。

4.参考文献
【1】白峰杉 数值计算分析引论[M] 高等教育出版社
【2】黄廷祝,成孝予[M] 线性代数与空间解析几何 高等教育出版社
【3】黄廷祝,钟守铭,李正良 矩阵理论[M] 高等教育出版社
【4】蒋尔雄 矩阵计算[M] 高等教育出版社

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