1、第八届华杯赛决赛一试试题及解答
1．计算：
2．李经理的司机每天早上7点30分到家接他去公司上班，有一天李经理7点从家出发步行去公司，路上遇到按时来接他的车，乘车去公司，结果早到5分钟。问李经理什么时间遇上汽车?汽车速度是步行速度的几倍?
3.如右图，p—ABC是一个四面体，各棱互不相等。现用红、黄两种颜色将四面染色，规则如下：
1)首先将p，A，B，C染成红、黄二色之一；
2)在一个面的三角形中，若两个或三个顶点同色，则将这个面染成这种颜色。
问有多少种不同的染法?(两个染好了的四面体，四个对应面的颜色相同，则认为是同—种染法，不计四个顶点的颜色是否相同)
4．如下图，
2、CDEF是正方形，ABCD是等腰梯形，它的上底AD=23厘米，下底BC=35厘米。求三角形ADE的面积。
5.求l—2001的所有自然数中，有多少个整数x使与被7除余数相同?
6．12个小朋友每人一件编号为1，2，3…12的行李包，各自用号牌取行李。行李按编号顺序排成一列，小朋友随意排成一列，但只有当未取走行李中编号最小的行李才能被取走，否则取行李的小朋友要排到队尾去(取到行李的小朋友不再排队)，而验—个号需要一分钟，四点开始验号牌，3号行李在4：33被取走，8号行李在4：40被取走。问拿1，2，3和8号牌的小朋友最初的排队次序各是第几名?
1．.
2．李经理在7点27分30秒遇上
3、汽车；汽车速度是步行速度的11倍.（华杯赛网上所给相遇时间的答案7.25是错误的）
3．共有8种不同染法.
4．三角形的ADE的面积是69.
5．共有574个数.
6．拿1、2、3号和8号小朋友最初的排队顺序是第12，第11，第10和第7.
1．解：原式＝＝＝.
2．解：如图，设A为公司，B为李经理家，C为相遇点．李经理早到5分钟，是由于汽车少跑了两段BC的路程，所以汽车跑一段BC用2.5分钟，汽车由A到C的时间为7点30分－2.5分＝7点27.5分，即7点27分30秒．这也是李经理与汽车相遇的时间，因此，李经理由B到C用了27.5分钟，从而，汽车的速度是步行速度的27.5÷2.5
4、＝11（倍）．
3．如果有三个顶点染成同一种颜色，则不管第四点染成何色，这时四个面同色，故此时有同红或同黄两种染法.此外，只有两个红点两个黄点一种可能，此时必为两红面、两黄面，设底面为红，另一红面可能为三个不同侧面之一，即有三种可能；同理，底面为黄面，也有三种可能.所以共有2＋3×2＝8种染法.
4．解：作EH⊥AD，交AD的延长线于H，作DG⊥BC，交BC于G，
∵∠EDH＋∠HDC＝90°，∠CDG＋∠HDC＝90°
∴∠EDH＝∠CDG
又ED＝DC
∴△EDH≌△DCG，∴EH＝CG＝（BC－AD）＝6（厘米）
所以，△ADE的面积为：×AD×EH＝×23×
5、6＝69（平方厘米）
5．解：首先看÷7的余数、÷7的余数与x的关系：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
÷7的余数
2
4
1
2
4
1
2
4
1
2
4
1
2
4
1
2
4
1
2
4
1
÷7的余数
1
4
2
2
4
1
0
1
4
2
2
4
1
0
1
4
2
2
4
1
0
可见，÷7的余数3个一循环，÷7的余数7个一循环，所以，3和7的最小公倍数为21，2
6、001÷21＝95…6，每21个数中，余数相同的有6个，前6个中余数相同的有4个，所以，共有95×6＋4＝574（个）.
为什么会出现余数的循环呢？下面我们来证明（1）÷7与÷7同余，（2）÷7与÷7同余.
（1）÷7＝×8÷7＝×（7＋1）÷7＝＋÷7，从而÷7与÷7同余.
（2）÷7＝÷7＝÷7＋2＋7，从而÷7与÷7同余.
6．解：3号取走行李时共验了33个行李，此前取走了1号和2号，即1、2、3号的位置和为33，只有10＋11＋12＝33，且1号排在第12位，2号排在第11位，3号排在第10位，才能经33次验号，拿3号牌的小朋友取走行李.40－33＝7，说明又经7次验号，4、5、6、7、8号便取走了行李，剩下的是9、10、11、12号4名小朋友.此时不可能再出现4、5、6、7、8号从新到队尾排队的情况，所以拿4、5、6、7号均顺次排在8号前，8号的小朋友应排在第7位 (中间插了两个大于8号的小朋友) 。
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