反三角函数求导公式证明.doc

§2.3 反函数的导数，复合函数的求导法则
一、反函数的导数
设是直接函数，是它的反函数，假定在内单调、可导，而且，则反函数在间内也是单调、可导的，而且
(1)
证明： ，给以增量
由 在 上的单调性可知

于是 因直接函数在上单调、可导，故它是连续的，且反函数在上也是连续的，当时，必有
即：
【例1】试证明下列基本导数公式

证1、设为直接函数，是它的反函数
函数 在 上单调、可导，且
因此，在 上， 有

注意到，当时，，
因此，
证2 设，
则
在 上单调、可导且
故

证3

类似地，我们可以证明下列导数公式：

二、复合函数的求导法则
如果在点可导，而在点可导，则复合函数在点可导，且导数为

证明：因，由极限与无穷小的关系，有

用去除上式两边得：

由在的可导性有：
，

即
上述复合函数的求导法则可作更一般的叙述：
若在开区间可导，在开区间可导，且时，对应的 ，则复合函数在内可导，且
(2)
复合函数求导法则是一个非常重要的法则，特给出如下注记：

弄懂了锁链规则的实质之后，不难给出复合更多层函数的求导公式。
【例2】，求
引入中间变量， 设 ，，于是
变量关系是 ，由锁链规则有：

(2)、用锁链规则求导的关键
引入中间变量，将复合函数分解成基本初等函数。还应注意：求导完成后，应将引入的中间变量代换成原自变量。
【例3】求的导数。
解：设 ，则，，由锁链规则有：

【例4】 设 ，求。

由锁链规则有 (基本初等函数求导) ( 消中间变量)
由上例，不难发现复合函数求导窍门
中间变量在求导过程中，只是起过渡作用，熟练之后，可不必引入，仅需“心中有链”。

然后，对函数所有中间变量求导，直至求到自变量为止，最后诸导数相乘。
请看下面的演示过程：

【例5】证明幂函数的导数公式 ，(为实数)。
证明：设