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牛吃草问题概念及公式　　

      牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场 牛吃草问题的·历史起源：英国数学家牛顿(1642—1727)说过：“在学习科学的时候，题目比规则还有用些”因此在他的著作中，每当阐述理论时，总是把许多实例放在一起。在牛顿的《普遍的算术》一书中，有一个关于求牛和头数的题目，人们称之为牛顿的牛吃草问题。，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰
　　假设定一头牛一天吃草量为“1”
　　1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
　　2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；`
      3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
　　4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
　　这四个公式是解决消长问题的基础。
　　由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。
　　牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。
　　解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
　　这类问题的基本数量关系是：
　　1.(牛的头数×吃草较多的天数-牛头数×吃草较少的天数)÷（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。
　　2.牛的头数×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草量。

解多块草地的方法　　多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。

“牛吃草”问题分析　　
　　【牛老师例1】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供25头牛吃多少天？
　　A.3 B.4 C.5 D.6
　　【牛老师答案】C
　　【牛老师解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃Y天
　　根据核心公式 代入
　　(200-150)/(20-10)=5 10*20-5*20=100 100/(25-5)=5(天）
　　【牛老师例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？
　　A.20 B.25 C.30 D.35
　　【牛老师答案】C
　　【牛老师解析】设该牧场每天长草量恰可供X头牛吃一天，
　　根据核心公式代入
　　(20×10-15×10)=5 10×20-5×20=100 100÷4+5=30(头）
　　【牛老师例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？
　　A.50 B.46 C.38 D.35
　　【牛老师答案】D
　　【牛老师解析】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供X头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为Y ，
　　24天内吃尽40公亩牧场的草，需要Z头牛
　　根据核心公式：
　　，代入
　　，因此 ，选择D
　　【牛老师注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。
　　下面我们来看一下上述“牛吃草问题”解题方法，在真题中的应用。
　　【牛老师例4】有一个灌溉用的中转水池，一直开着进水管往里灌水，一段时间后，用2台抽水机排水，则用40分钟能排完；如果用4台同样的抽水机排水，则用16分钟排完。问如果计划用10分钟将水排完，需要多少台抽水机？【广东2006上】
　　A.5台 B.6台 C.7台 D.8台
　　【牛老师答案】B
　　【牛老师解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量，共需Y台抽水机
　　有恒等式：
　　解 ，得 ，代入恒等式
　　【牛老师例5】有一水池，池底有泉水不断涌出，要想把水池的水抽干，10台抽水机需抽8小时，8台抽水机需抽12小时，如果用6台抽水机，那么需抽多少小时？【北京社招2006】
　　A.16 B.20 C.24 D.28
　　【牛老师答案】C
　　【牛老师解析】设每分钟流入的水量相当于X台抽水机的排水量，共需Y小时
　　有恒等式：
　　解 ，得 ，代入恒等式
　　【牛老师例6】林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变）【浙江2007】
　　A.2周 B.3周 C.4周 D.5周
　　【牛老师答案】C
　　【牛老师解析】设每天新生长的野果足够X只猴子吃，33只猴子共需Y周吃完
　　有恒等式：
　　解 ，得 ，代入恒等式
　　【牛老师例7】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江2006】
　　A.2小时 B.1.8小时 C.1.6小时 D.0.8小时
　　【牛老师答案】D
　　【牛老师解析】设共需X小时就无人排队了。

例题　　1、旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客OK了 求增加人数的速度还有原来的人数
　　设一个检票口一分钟一个人
　　1个检票口30分钟30个人
　　2个检票口10分钟20个人
　　(30-20)÷(30-10)=0.5个人
　　原有1×30-30×0.5=15人
　　或2×10-10×0.5=15人
　　2、有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？
　　这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。
　　把每头牛每天吃的草看作1份。
　　因为第一块草地5亩面积原有草量＋5亩面积30天长的草＝10×30＝300份
　　所以每亩面积原有草量和每亩面积30天长的草是300÷5＝60份
　　因为第二块草地15亩面积原有草量＋15亩面积45天长的草＝28×45＝1260份
　　所以每亩面积原有草量和每亩面积45天长的草是1260÷15＝84份
　　所以45－30＝15天，每亩面积长84－60＝24份
　　所以，每亩面积每天长24÷15＝1.6份
　　所以，每亩原有草量60－30×1.6＝12份
　　第三块地面积是24亩，所以每天要长1.6×24＝38.4份，原有草就有24×12＝288份
　　新生长的每天就要用38.4头牛去吃，其余的牛每天去吃原有的草，那么原有的草就要够吃80天，因此288÷80＝3.6头牛
　　所以，一共需要38.4＋3.6＝42头牛来吃。
　　两种解法：
　　解法一：
　　设每头牛每天的吃草量为1，则每亩30天的总草量为：10*30/5=60；每亩45天的总草量为：28*45/15=84那么每亩每天的新生长草量为(84-60)/(45-30)=1.6每亩原有草量为60-1.6*30=12，那么24亩原有草量为12*24=288，24亩80天新长草量为24*1.6*80=3072，24亩80天共有草量3072+288=3360，所有3360/80=42(头)
　　解法二：10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩，根据28头牛45天吃15亩，可以推出15亩每天新长草量 (28×45-30×30)/(45-30)=24；15亩原有草量：1260-24×45=180；15亩80天所需牛180/80+24(头)24亩需牛：(180/80+24)*(24/15)=42头