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题 目: 质数的构造及其相关猜想

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【摘要】：什么是质数？就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的约数，这种整数叫做质数，质数又叫做素数。这终归只是文字上的解释而已。能不能有一个代数式，规定用字母表示的那个数为规定的任何值时，所代入的代数式的值都是质数呢？
【关键词】：质数的构造;孪生素数;费马数;梅森数

1.质数的定义及算术基本定理
1.1质数的定义
一个大于1的整数，如果它的正因数只有1及它本身，就叫做质数（或素数）；否则就叫做合数。特别的，1既不是质数也不是合数。
1. 2算术基本定理
算术基本定理：任意大于1的整数能表示成质数的乘积，即任意大于1的整数
a=pp…p, p≤p≤…≤p 其中p,p…,p是质数，并且若
a=qq…q, q≤q≤…≤q 其中q,q…,q是质数，则m=n,
p=q i=1,2,…n
2.质数的构造及孪生素数普遍公式
2.1质数的构造
如何构造素数，即寻找一个可以只产生素数的公式，是古典数论的一个重要课题。许多数学家曾经尝试过此问题。以下列举一些经典的例子。
　　（1）费马定义了费马数F，n=2^(2^n)+1.他猜测费马数都是素数。 但是欧拉证明了641能够整除F_5,目前为止，人们还不能证明是否有无限个费马数是素数。 有猜测认为， 几乎所有费马数都是合数。
　　（2）高斯证明， 一个正n边形可以用尺规做图得到的充要条件是： n的所有奇素因子都是费马素数。特别地， 正十七边形可以用尺规做出。
　　（3）梅森定义了M，_p=2^p-1. 他猜测当p是素数时， M，p也是素数，称为梅森素数。 但这一结论也被否定了。 一个重要问题是： 是否有无限个梅森素数？此猜想至今未被证明。
　　（4）一个数n是偶完全数当且仅当n可以写为 n=2^{p-1}M，p, 这里p和梅森数M，p都是素数。一个重要问题是：是否存在奇完全数？
　　（5） 欧拉和费马等人构造了一些多项式，在一定范围内都取值素数， 比如： f(n)=n^2-n+41, 在n=1,2,...,40时都是素数。一个有趣问题是： 存在无穷个素数可以写为n^2+1的形式.
（7）传统筛法是利用一条定理：“n不能够被不大于根号n的任何素数整除，则n是一个素数”
2.2：孪生素数普遍公式
　有定理：若自然数Q与Q+2不能被不大于根号(Q+2)的任何素数整除，则Q与Q+2是一对素数，称为孪生素数。这句话可以用公式表达：
　　Q=pm+b=pm+b=。。。=pm+b 。(1)
　　　例如Q=41=2m+1=3m+2=5m+1。
　　其中p，p，....，p 表示顺序素数。b≠0,和b≠i-2。 若Q〈P的平方减2，
　　即最小剩余不能是0和p-2.，例如Q不能是2m，3m+1，5m+3，7m+5，....，pm-2。否则Q+2是合数。
3.有关质数的猜想及相关题目讲解
3.1质数的猜想
20世纪70年代末，数学爱好者、英国剑桥大学的人类学家富顿发现质数有一个有趣的性质：
       从2开始，取一组相邻质数，让这一组质数相乘，再加1得到一个数。求出比这个数大的下一个质数，从这个质数中再减去上面所说的那组相邻质数的乘积，必然还得质数。
       看了上面这段话，你可能还不太清楚。这段话是什么意思呢？举个例子你就明白了。比如，取2和3这两个相邻的质数。让它们相乘再加1，2×3+1=7，比7大的下一个质数是11，11-2×3=5，5确实是个质数。
       第三个质数是5，再按上述方法计算：2×3×5+1=31，比31大的下一个质数是37，37-2×35=7，7也是一个质数。
       得到了一个5，又得到了7，也许你会猜想，下一个得出的质数给是11了。但是你猜错了！算算看：
       2×3×5×7+1=211，比211大的下一个质数是233，233-2×3×5×7=13。
       计算结果表明，得到的质数是13而不是11。这说明用这种方法得到的质数，并不是由小到大连续出现的。有些质数可以多次得到，有些向用这种方法永远也得不到。不妨再算几个看看：
       2×3×5×7×11+1=2 311，
       2 333-2 310=23；
       2×3×5×7×11×13+1=30 031，
       30 047-30 030=17；
       2×3×5×7×11×13×17+1=510 511，
       510 529-510 510=19；
       2×3×5×7×11×13×17×19+1=9 699 691，
       9 699 713-9 699 690=23。
       许多数学家都相信人类学家富顿的这个猜想是对的，但是谁也证明不了按着富顿的方法做下去永远是对的。因此，富顿猜想至今仍是个谜。
1742年6月7日,一位出生在德国,后来在俄国工作和定居的数学家哥德巴赫(1690-1764)由莫斯科写信给当时在柏林科学院工作的著名瑞士数学家欧拉,信的全文如下:
欧拉,我亲爱的朋友!
你用及其巧妙而又简单的方法,解决了千百人为之倾倒,而又百思不得其解的七桥问题,使我受到莫大的鼓舞,他一直鞭策着我在数学的大道上前进.
经过充分的酝酿,我想冒险发表一个猜想.现在写信给你征求你的意见.
我的问题如下:
随便取某一个奇数,比如77,他可以写成三个素数之和:
77=53+17+7
再任取一个奇数461,那么
461=449+7+5
也是三个素数之和.461还可以写成
257+199+5
仍然是三个素数之和.
这样,我就发现:
任何大于5的奇数都是三个素数之和.
但是怎样证明呢?虽然任何一次试验都可以得到上述结果,但不可能把所有奇数都拿来检验,需要的是一般的证明,而不是个别的检验,你能帮忙吗?
3.2： 相关质数题目讲解
例1：求素数p, 使 p+10与p+14 仍是素数．
解析 先取若干素数作试验：
p=2时，p+10=12，p+14=16，不合；
p=3时，p+10=13，p+14=17，合；
p=5时，p+10=15，p+14=19，不合；
p=7时，p+10=17，p+14=21，不合；
p=11时，p+10=21，p+14=25，不合；
p=13时，p+10=23，p+14=27，不合；
归纳，猜想：仅p=3是所求的素数．
下面用演绎法证明：令k为自然数：
若p=3k+1，则p+14=3k+15=3(k+5)是合数；
若p=3k+2，则p+10=3k+12=3(k+4)是合数；
因此，仅当p=3k时，有可能使p+10，p+14
均为素数，但是3k中的素数只有一个——“3”，所以所要求的素数p=3.
例2：若2+1是质数，（n>1）,则n是2的方幂
证： 假设n不是2的方幂
则n有大于1的奇因数q
n=pq p≥1 , q>1
2+1=2+1=(2+1)[(2)-(2)+…+1]
=(2+1)A
A∈Z, A>1 ,与2+1是质数矛盾
故假设不成立
所以 n是2的方幂
4：结论
在实际计算中我们还没有简易可行的方法来判断哪些正数是质数，也没有简易可行的方法去求出一个正整数的标准分解式，其主要原因是由于质数在正整数列中的分布情形是很不规律的，质数的定义虽然简单，但却无法总结出一个表达式，使它只产生的是质数。关于质数的猜想有很多，也很有趣，但有的被否定了，有的至今未能给出理论证明

The structure and its related guess primes

XiongQianqian Jiang Xi Science &Technology Normal College Mathematics and Computer Science Institute Math Class (1)
864722645@
[in] : what is the prime? In all the integer 1 big, except one and it has no other than itself, and the integer is few, also called prime. This text explains it just on it. Can you have an algebraic expression and regulation in the letters for any value, the value of the algebraic are prime?
[key] : prime structure, The prime twins, Fermat number, Mason several

参考文献
[1]闵嗣鹤 、 严士健 . 初等数论[M]. 北京：高等教育出版社，2003年7月第三版 .P
[2] 闵嗣鹤 、 严士健 . 初等数论[M]. 北京：高等教育出版社，2003年7月第三版.P
[3] 钱吉林。代数学辞典[M].上海:教育出版社 1985年 P
[4] 闵嗣鹤 、 严士健 . 初等数论[M]. 北京：高等教育出版社，2003年7月第三版P