第4届“希望杯”全国数学邀请赛初二年级第2试.doc

学而思教育学习改变命运！ 杭州中考网 hz.zhongkao. com希望杯第四届（1993年）初中二年级第二试试题一、 选择题:（每题1分，共10分）1.若a0,则化简得 A1B-1C2a-1D1-2a 2.若一个数的平方是5-2,则这个数的立方是 A.或; B. 或; C. 或; D. 或.3.在四边形ABCD中,AB=1,BC=,CD=,DA=2,SABD=1, SBCD=,则ABC+CDA等于 A150B180.C200D2104一个三角形的三边长分别为2，4，a，如果a的数值恰是方程4|x-2|2-4|x-2|+1=0的根，那么三角形的周长为 A.7; B.8; C.9; D.10.5如果实数x，y满足等式2x+x2+x2y2+2=-2xy，那么x+y的值是 A.1.B0. C1.D26.设x=,y=,n为正整数,如果2x2+197xy+2y2=1993成立,那么n的值为 A7.B8.C9.D.107如图81，在ABC中，A=36，AB=AC、BD平分ABC若ABD的周长比BCD的周长多1厘米，则BD的长是 A0.5厘米.B1厘米. C1.5厘米.D2厘米8方程x2-2x-5|x-1|+7=0的所有根的和是 A-2. B0. C-2. D49如图82，将ABC的三边AB，BC，CA分别延长至B，C，A，且使BB=AB，CC=2BC，AA=3AC若SABC=1，那么SABC是 A15. B16. C17. D18.10如果方程|3x|-ax-1=0的根是负数，那么a的取值范围是 Aa3.B.a3. Ca3.Da3.二、填空题（每题1分，共10分）1若两个数的平方和为637，最大公约数与最小公倍数的和为49，则这两个数是_2设x1，x2是方程x2+px+1993=0的两个负整数根,则=_.3.方程的解是_.4如图83，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，如果SABD=5，SABC=6，SBCD=10，那么SOBC_5设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，记S1=x1+1993x2,S2=x12+1993x22,Sn=x1n+1993x2n,则aS1993+bS1992+cS1991=_.6.6设x表示不大于x的最大整数，（例如3=3，3.14=3）,那么+=_.7已知以x为未知数的二次方程abx2-(a2+b2)x+ab=0，其中a，b是不超过10的质数，且ab，那么两根之和超过3的方程是_8如图84，在ABC中，BAC=90，ADBC于D，BCA的平分线交AD于F，交AB于E，FGBC交AB于GAE=4，AB=14，则BG=_9已知k为整数，且关于x的方程(k2-1)x2-3(3k-1)x+18=0有两个不相等的正整数根，则k=_10某校奖励学生，初一获奖学生中，有一人获奖品3件，其余每人获奖品7件；初二获奖学生中，有一人获奖品4件，其余每人获奖品9件如果两个年级获奖人数不等，但奖品数目相等，且每个年级奖品数大于50而不超过100，那么两个年级获奖学生共有_人三、解答题:(写出推理、运算的过程及最后结果每题5分，共10分）1 如图85，三所学校分别记作A，B，C体育场记作O，它是ABC的三条角平分线的交点O，A，B，C每两地之间有直线道路相连一支长跑队伍从体育场O点出发，跑遍各校再回到O点指出哪条路线跑的距离最短（已知ACBCAB），并说明理由2.如果a=,求a2+的值.答案与提示一、选择题提示：5等式2x+x2+x2y2+2=-2xy化简为(x+1)2+(xy+1)2=0x+1=0，xy+1=0解之得x=-1，y=1则x+y=0应选(B)6由题设得：xy=1，x+y=4n+2由2x2+197xy+2y2=1993，得2(x+y)2+193xy=1993将xy=1，x+y=4n+2代入上式得：(4n+2)2=900，即4n+2=30n=7应选(A)7由A=36，AB=AC，可得B=C=72ABD=CBD=36，BDC=72AD=BD=BC由题意，1=(AB+AD+BD)-(BD+BC+CD)=AB-CD=AC-CD=AD=BD应选(B)8原方程化为(x2-2x+1)-5|x-1|+6=0即|x-1|2-5|x-1|+6=0|x-1|=2，或|x-1|=3x1=-1，x2=3，x3=-2，x4=4则x1+x2+x3+x4=4应选(D)9连结CB,AB=BB,SBBC=SABC=1,又CC=2BCSBCC=2SBBC=2SBBC=3同理可得SACC=8,SABA=6SABC=3+8+6+1=17应选(D)10原方程为|3x|=ax+1(1)若a=3，则|3x|=3x+1当x0时，3x=3x+1，不成立(2)若a3综上所述，a3时，原方程的根是负数应选(B)另解：（图象解法）设y1=|3x|，y2=ax+1。分别画出它们的图象从图87中看出，当a3时，y1=|3x|的图象直线y2=ax+1的交点在第二象限二、填空题提示：149=77，所求两数的最大公约数为7，最小公倍数为42设a=7m，b=7n，(mn)，其中(m，n)=1由ab=(a，b)a，b7m7n=742，故mn=6又(m，n)=1，m=2，n=3，故a=14，b=21经检验，142+212=637这两个数为14，2121993=11993=(-1)(-1993)，(1993为质数)而x1x2=1993，且x1，x2为负整数根，x1=-1，x2=-1993或x1=-1993，x2=-1则4设SBOC=S，则SAOB=6-S，SCOD=10-S，SAOD=S-1由于S(S-1)=(6-S)(10-S)，解之得S=46432=184919001936=442，又193619932025=452其他都不合适此时所求方程为14x2-53x+14=08过E作EHBC于HADBCEHAD又ACE=BCE，EAAC，EHBCEA=EH，AEC=HECEHAD，HEC=AFE，AEF=AFEAE=AF，EH=AF即可推出AGFEHBAG=EB=AB-AE=14-4=10BG=AB-AG=14-10=410设初一获奖人数为n+1人，初二获奖人数为m+1人(nm)依题意有3+7n=4+9m，即7n=9m+1由于503+7n100，504+9m100得n=7，8，9，10，11，12，13m=6，7，8，9，10但满足式的解为唯一解：n=13，m=10n+1=14，m+1=11获奖人数共有14+11=25（人）三、解答题1解：若不考虑顺序，所跑的路线有三条：OABCO（或OCBAO），OACBO（或OBCAO），OBACO（或OCABO）其中OABCO的距离最短记d(OABCO)，d(OACBO)，d(OBACO)分别为三条路线的距离在AC上截取AB=AB，连结OB则ABOABOBO=BOd(OABCO)-d(OACBO)=(OA+AB+BC+CO)-(OA+AC+CB+BO)=AB+CO-AC-BO=AB+CO-AB-BC-BO=CO-(BC+BO)0同理可得，d(OABCO)-d(OBACO)0所以路线OABCO的距离最短因此x与-y是关于t的方程解二：由已知条件得两边加上a4+1，得显然0a1，0a21学而思教育学习改变命运！ 杭州中考网 hz.zhongkao. com