第二章 赋范线性空间-黎永锦.doc

第2章 赋范线性空间

虽然不允许我们看透自然界本质的秘密,
从而认识现象的真实原因,但仍可能
发生这样的情形：一定的虚构假设
足以解释许多现象.
(欧拉)
(1707-1783,瑞士数学家)

在1908 年讨论由复数列组成的空间 时引入记号来表示,后来就称为的范数.赋范空间的公理出现在在 1918 年关于上关于紧算子的工作中,但赋范空间的定义是在 1920到1922年间由 （1892—1945）、（1879—1934）、（1884—1943）和 （1894—1964）给出的,其中以的工作最具影响. 　 　

2.1赋范空间的基本概念

线性空间是在1888年出版的书Geometrical Calculus中引进的.在1922年的工作主要是建立具有范数的完备空间,以后为了纪念他称之为 空间.他定义的空间满足三组公理,第一组公理定义了线性空间,第二组定义了范数,第三组给出了空间的完备性.

定义2.1.1 设是实数域或复数域,是数域上的线性空间,若是到 的映射,且满足下列条件： 　
(1) 且 当且仅当;
(2) ,对任意和任意 ;
(3) ,对任意 .
则称为上的范数,而称为的范数,这时称为赋范线性空间.
明显地,若为赋范线性空间,则对任意,定义时,为度量空间,但对一般的度量空间,当为线性空间时,若定义,则不一定就是上的范数.
例2.1.1 设数列全体,则明显地,为线性空间,对任意的, 定义

则

但

取,,则

而

因此

所以,不是上的范数.

问题2.1.1 对于线性空间上的度量, 它满足什么条件时,才能成为范数？ 　　
定理2.1.2 设是线性空间,是上的度量,在上规定,则成为赋范线性空间的条件是：
(1) ,对任意 ；
(2) ,对任意和任意. 　 　

下面举出赋范线性空间的一些例子. 　　
例2.1.3 对于,是的范数, 即是赋范线性空间.
　 例2.1.4 对于,在范数

下是赋范线性空间.

例2.1.5 在范数下是赋范线性空间.
例2.1.6 在范数下是赋范线性空间.
例2.1.7 ,在范数下是赋范线性空间.
由于赋范线性空间在度量下是度量空间,因此,在度量所引入的序列收敛,开(闭)集、稠密和紧集等概念都可以在赋范线性空间中使用.

定义2.1.2 设是赋范空间, 若依度量收敛于, 即,则称依范数收敛于,记为

　　在赋范线性空间中,仍然用记以为球心,为半径的开球,用记以为球心,为半径的闭球. 为了方便,用记以0为球心,1为半径的闭单位球面. 用记以0为球心,1为半径的闭单位球. 用记以0为球心,1为半径的开单位球.

例2.1.8 在空间中,对于可以定义几种不同的范数:

则对, 闭球在不同范数下的形状为：

思考题2.1.1 设是赋范线性空间,问开球的闭包是否一定是闭?
思考题2.1.2 设是线性空间,问闭球内部是否一定是开球?

在赋范线性空间中,加法与范数都是连续的. 　
定理2.1.8 若是赋范空间,则.
证明 由可知定理成立. 　　
定理 2.1.9 若是赋范空间,,则.
证明 由和,可知
,因此.

定义2.1.3 设是赋范线性空间,若时,
必有,使, 则称为完备的赋范线性空间.
根据M.的建议,完备的赋范线性空间称为空间.
不难证明,都是空间.

在数学分析中,曾讨论过数项级数,函数项级数,类似地,在赋范线性空间中,也可定义无穷级数.

定义2.1.4 设是赋范线性空间,若序列收敛于某个时,则称级数收敛,记为.
定义2.1.5 设是赋范线性空间,若数列收敛时, 则称级数绝对收敛.
在数学分析中绝对收敛的级数一定是收敛的,但在赋范空间上却不一定成立,先来看看下面一个定理.

定理2.1.10 设是赋范线性空间,则是空间的充要条件为的每一绝对收敛级数都收敛.
证明 设是空间,且绝对收敛,则由可知,
对于,有
,
因此是的列,由的完备性可知,存在使,即
反之,设的每一个绝对收敛级数都收敛,则对于的列,对,有 , 使得

因而.
由假设可知收敛于某个,即收敛,所以必收敛于,从而完备.

事实上,在实数空间中,正是由于的完备性才保证了绝对收敛级数一定是收敛的.

定义2.1.6 设是赋范线性空间,若是的线性子空间,则称为的子空间,若还是的闭集, 则称为的闭子空间.
明显地,若是空间,为的闭子空间,则是空间,反之亦然.

定理2.1.11 设是空间,为的子空间,则是空间当且仅当是的闭集.
证明 设是空间,当,且时,则为的列,因而收敛于 上的一点,故,即,所以是闭集.
反之,设为列,则为 的列,由于是空间,因此是收敛列, 即存在使,又由于是的闭子空间,因此,即在中收敛于,所以是空间.

定义2.1.7 设是线性空间,为上的一个实值函数,且满足：
（1） ；
（2） ,对任意；
（3） ,对任意,任意.
则称为上的半范数.
明显地,上的范数一定是半范数,但对上的半范数,由于时不一定有,因此半范数不一定是范数.

例2.1.9 在中,定义,易证是中的半范数,但对于
,都有,因此不是的范数.
有什么办法能使中的问题转化为赋范空间中来解决呢？ 　　
定义2.1.8 设是线性空间,是的线性子空间,若,则称与关于等价,记为
易知,等价具有下面的三个性质
（1） （反射性）；
（2） 推出 （对称性）； 　　
（3） , 推出（传递性）.

明显地,若是线性空间的线性子空间,记, 则的全体在加法和数乘下是线性空间,称为对模的商空间,记为.
在商空间中,对, 即是的零元,而对的每一元素,都是唯一确定的,并且对于加法和数乘都是唯一确定的.
例2.1.10 对于,取,
则M为的子空间,对,当时有,即,
这时
当为赋范线性空间,为的闭线性子空间时,在商空间中还可以定义范数,使成为赋范线性空间.

定理2.1.14 设是赋范线性空间,为的闭线性子空间,在上定义范数,则是赋范线性空间.
利用上面的技巧,不难证明,当为上的一个半范数时,取
,
则是一个赋范线性空间,且对任意有, .

当是空备赋范线性空间,为的闭子空间的,还具有完备性.
定理2.1.15 设是空间,为的闭子空间,则是空间.

2.2 范数的等价性与有限维赋范空间

在同一线性空间上,可以定义几种不同的范数,使之成为不同的赋泛线性空间,但有时上的几种不同范数诱导出的拓扑空间是一样的,有时却很不相同,这主要是上的序列依范数收敛的不同引起的.

定义2.2.1 设是线性空间,和|是上的两个不同范数,若对中的序列,当时,必有,则称范数比范数强,亦称比弱.
若对中的序列,当且仅当则称范数与等价. 　　
定理2.2.1 设和是线性空间上的两个不同范数,则范数比强当且仅当存在常数,使得对任意都有.
证明 若存在,使,则明显地时,有
,因而比强.
反过来,若范数比强,则必有,使.
若不然,则对任意自然数,存在,使.
令,则

故,因而,但这与矛盾,所以必存在,使,对任意成立. 　

推论2.2.2 设与是线性空间上的两个不同范数,则范数与等价当且仅当存在常数,使得对任意,有

推论2.2.3 设与是线性空间上的两个等价范数,则是空间当且仅当是空间.

思考题2.2.1 若与是线性空间上的两个不同范数,且和都是空间,是否就一定有与等价呢？

定义2.2.2 设是维线性空间,是上的范数,则称为维赋范线性空间.

有限维赋范线性空间是在1896年引入的,因此有限维赋范线性空间也称为空间.

若为维线性空间,为的一组线性无关组,则称为 的基,此时对任意,都可以唯一地表示成
定理2.2.4 设是维线性空间是的基,则存在常数及使得

对任意都成立. 　　
证明 对于任意,定义函数

则对任意,,有

这里,因此是到的连续函数.
由于的单位球面是紧集,因此在上达到上下确界,即存在,使得

因此对任,有

故

即

下面证明,容易知道的证法是类似的.
假设,则有,故

由是的基可知,,从而,但这与矛盾. 　

定理 2.2.5 设是有限维线性空间,与是上的两个范数,则存在常数, 使得

定理 2.2.6 有限维的赋范线性空间一定是空间.

证明 若为维赋范线性空间的列,则对于的基有,由

可知亦为列,故存在,使得,因而有,使得

令,则,因此是收敛序列,所以是完备的.
在中,是列紧的当且仅当是有界闭集,在有限维赋范空间中是否成立呢？下面就来讨论有限维赋范线性空间 中紧集与有界闭集的关系.
定理2.2.7 设是有限维的赋范线性空间,则是紧的当且仅当是有界闭集.
证明 设为的基,则对任意,有
定义到的算子:

则存在,使得

从而是到的连续算子,且是一一对应的.
由可知是到的连续算子, 因此是到的拓扑同构.所以的紧集当且仅当 为的紧集,从而是的紧集当且仅当是有界闭集.
问题2.2.1 若赋范线性空间的每个有界闭集都是紧集,则是否一定为有限维的赋范线性空间？

为了回答上面的问题,先来讨论引理,这是在1918年得到的一个很漂亮的结果.

引理2.2.8 （引理）设是赋范线性空间的闭真子空间,则对任意 ,存在,使得

对任意成立.
证明 由于是的闭真子空间,因此,故存在,令
,
则.　　

对任意,由的定义可知,存在,使得

令,则,且对任意,有

由,和是线性子空间,可知

因此

故

由引理,容易得到有限维赋范线性空间特征的刻画. 　　
定理2.2.9 赋范线性空间是有限维的当且仅当的闭单位球是紧的.
证明 明显地,只须证明是紧的时候,一定是有限维的.
反证法,假设是紧的,但不是有限维赋范线性空间,对于任意固定的 ,令,则是一维闭真子空间,取,由引理可知,存在且对任意成立,从而.
同样地,令,则是二维闭真空子空间,因而存在,使对任意成立,从而且.
利用归纳法,可得一个序列,对任意,有

因而不存在任何收敛子序列,但这与是紧集矛盾,由反证法原理可知是有限维赋范线性空间.
推论2.2.10 赋范线性空间是有限维当且仅当的每个有界闭集是紧的.

对于无穷维赋范线性空间的紧集的刻画,就比较困难.在中,容易看出是的有界闭集,但不是紧集.为了讨论子集的紧性,需要等度连续的概念它是由Ascoli和Arzelà同时引入的.
定义2.2.3 设,若对任意的,都存在,使得对任意的,任意的,时,一定有,则称是等度连续的.
Ascoli给出了是紧的充分条件, Arzelà在1895年给出了是紧的必要条件,并给出了清楚的表达.
定理2.2.11 (Arzelà-Ascoli 定理) 设,则是紧的当且仅当是有界闭集, 且是等度连续的.

2.3 Schauder基与可分性

一个空间,如果想把它看作序列空间来处理,最好的办法是引入坐标系,常用的方法是引入基的概念, 基是
引入的.
定义2.3.1 空间中的序列称为的基,若存在对于任意都存在唯一数列,使得

容易看到,有限维赋范线性空间一定具有基.
例2.3.1 在中令,则为的基,明显地,在
中,都是基.
在1928年还在中构造一组基,因而也具有基.
具有基的空间具有许多较好的性质,它与空间的可分性有着密切联系.

定义2.3.2 是赋范线性空间,若存在可数集,使得,即可数集在中稠密,则称是可分的.
若可分,则存在可数集,使得对任意及任意,都有某个,满足. 　　
例2.3.2 由于有理数集是可数集,且,因此是可分的.类似地,也是可分的赋范空间.
例2.3.3 对于都是可分的,因为取
,则是可数集,并且.实际上,对任意
,由可知,对任意,存在,使得, 取有理数,使,则,且
,因此,所以是可分的.

例2.3.4 由Weierstrass逼近定理可知对任意,必有多项式,取为上有理系数的多项式全体,则是可数集,且,因而是可分的赋范线性空间.

定理2.3.5 若赋范空间有基,则一定可分的.
证明 为了简明些,这里只证明为实的情形.
设为的基,则任意有,这里.
令,则是可数集,且对任意及任意,存在,使得,因此,所以为可分的赋范空间.
对于复赋范空间,可令,证明是类似的. 　　

问题2.3.1 是否每个赋范空间都具有基？
例2.3.6 赋范空间没有基.
由于不可分,因而一定没有基.事实上,假设可分,则存在,使得.
令

则,即,并且

所以不存在任何收敛子列收敛于,故,从而,但这与假设矛盾,因此不可分.

另外,还再进一考虑下面的问题：
问题2.3.2 是否每个可分的赋范空间都具有基？
上面问题自从S. Banach在1932年提出后,很多数学家为解决这一问题做了很多的努力,由于常见的可分Banach空间,如等都具有Schauder基，因此大家都以为问题的答案是肯定的,但所有的努力都失败了,大家才倾向于问题的答案是否定的.在年举出了一个例子,它是可分的赋范空间,但不具有基[A counterexample to the approximation problem in Banach spaces. Acta Math. 130(1973), 309-317.]

2.4 线性连续泛函与定理

1929年引进共轭空间这一重要概念,这也就是赋范线性空间上的全体有界线性泛函组成的线性空间,在这个线性空间上取泛函在单位球面的上界为范数,则共轭空间是完备的赋范线性空间. 还证明了每一连续线性泛函是有界的,但最重要的是和各自独立得到的一个定理,这就是泛函分析中最著名的基本定理,即定理,它保证了赋范线性空间上一定有足够多的连续线性泛函.

泛函这名称属于,他是由于变分问题上的原因研究泛函. 　　

定义2.4.1 设是赋范线性空间,为到的映射,且对于任意及,有

则称为的线性泛函.

例2.4.1 在上,若定义,则为上的线性泛函.

由于线性泛函具有可加性,因此,线性泛函的连续性比较容易刻画.

定理2.4.2 设是赋范线性空间上的线性泛函,且在某一点上连续,则在上每一点都连续.
证明 对于任意,若,则

由在点的连续性,因此

所以,即在点连续.

这个定理说明,要验证泛函的连续性,只须验证在上某一点（例如零点）的连续性就行了.

问题2.4.1 是否存在一个赋范线性空间,上任意线性泛函都连续？

例2.4.3 上任意线性泛函都是连续的.
事实上令,则任意,有,设
,则,且对任意都成立.
因此,所以在点连续,从而在上任意点都连续.

定义2.4.2 若上的线性泛函把的任意有界集都映为的有界集,则称为有界线性泛函,否则为无界线性泛函.

定理2.4.4 设为赋范线性空间上的线性泛函,则是有界的当且仅当存在,使.
证明 若存在,使得对任意,则对于中的任意有界集,有,使得对任意,有,因此,对所有成立,所以为的有界集,即为有界线性泛函.
反之,若为有界线性泛函,则把的单位球面映为的有界集,因此存在,使得对一切,有

故对任意,有

所以

例2.4.5 对为收敛序列},范数,若定义为,则为上的线性泛函,由于,因此

所以为上的有界线性泛函.

对于赋范线性空间的线性泛函而言,有界性与连续性是等价的,在1929年证明了每一个连续可加泛函（线性连续泛函）都是有界的.

定理2.4.6 设是赋范线性空间,则上的线性泛函是连续的当且仅当是有界的.
证明 若是有界的,则由上面定理可知存在,使得,因此当时,有,即为连续的.
反之,假设为连续线性泛函,但是无界的,则对任意自然数,存在,使得

令,则,由的连续性可知,但,,从而 ,但这与矛盾. 所以为连续线性泛函时,一定是有界的.

线性泛函的连续性还可以利用的零空间是闭集来刻画. 　　

定理2.4.7 设是赋范线性空间,则上的线性泛函是连续的当且仅当为的闭线性子空间.
证明 明显地为线性子空间,因此只须证是闭的.
若是连续线性泛函,则当时,必有,因而 ,即,所以是闭子空间.
反之,若是闭的,但不是有界的,则对于任意正整数,有,使

令,则,且.
取,
由于

因而,且,即,从而由是闭集可知,但这与矛盾,因此当是闭子空间时,一定是连续的.
从上面的讨论容易看出,上的全体连续线性泛函是一个线性空间,在这个线性空间上还可以定义其范数. 　 　
定义2.4.3 设为上的线性连续泛函,则称

为的范数.
明显地,若记上的全体线性连续泛函为,则在范数下是一赋范空间,称之为的共轭空间.
虽然在1927年就引起了共轭空间的概念,但在1929年的工作更为完全些.

容易看出,对于任意,还有.
但对于具体的赋范空间,要求出上的连续线性泛函的范数,有时是比较困难.

例2.4.8 设为的连续线性泛函,若取为上的基,则对任意,有, 故,因而

从而. 取, 则, 且
, 故,所以.

设是赋范线性空间的子空间,为上的连续线性泛函,且存在,使得对任意成立,则是否可以延拓到整个范空间上？这一问题起源于维欧氏空间上的矩量问题. 在1920年提交的博士论文中,用几何语言将它推广到无限维空间．1922年,发表的论文也独立地得出类似结果． 在1927年将结果更一般化,在完备的赋范线性空间研究了这一问题,并证明了在上存在连续延拓,使得对一切成立,且对一切,有. 1929年,独立地发表了与相近的定理和证明,并把一定理推广为一般的情形,这就是下面的延拓定理.

定理2.4.9 设是实线性空间的线性子空间,为上的实线性泛函,且存在上的半范数使得
, 对任意成立
则存在在上的延拓,使得
(1) , 对任意成立;
(2) , 对任意成立.
与 在 1938 年还把定理推广到复线性空间. 　　
定理2.4.10 设是复线性空间的复线性子空间,为上的线性泛函,是上半范数且满足
, 对任意成立
则存在在上的延拓,使得
(1) , 对任意成立;
(2) , 对任意成立.
利用线性空间的延拓定理,可以建立赋范线性空间上的保范延拓定理,它是空间理论的基本定理. 　　
定理2.4.11 设是赋范线性空间的线性子空间,为上的连续线性泛函,则存在上线性连续泛函,使得
(1) ;
(2) , 对任意成立.
这里表示在的范数, 表示在的范数.
证明 由于为上的连续线性泛函,因此对任意,有. 　　
定义半范数,则有,对任意.由线性空间的定理可知存在,使得
, 对任意
且

, 对任意
因此对于任意,有,故为上的连续线性泛函,且. 　　
反过来,由

可知, 且对任意成立.

在上面定理中,若是复赋范线性空间,则必须是复线性子空间.很有意思的是和在1938年证明在任意无穷维复空间中,一定存在实线性子空间,在上有一复连续线性泛函不能保范延拓到上.

问题2.4.2 在定理中,什么条件下保范延拓是唯一的？
例2.4.12 在上,定义范数.
令, 明显地，是赋线性空间的线性子空间,对,定义,则

故,且对,有,因而,但对上的线性泛函

这里
在上,都有

对任意的成立. 在上有,且
,因此是的两个不同的保范延拓.
定理2.4.13 设是赋范空间,是的子空间,,
,则存在,使得
（1）对任意；
（2）；
（3）.
证明 令,则对任意,有唯一的表达式,这里.
在上定义泛函：

则为上的线性泛函,且 　
（1）；
（2）对任意.
对,不妨假设.由

可知
.
因此是上的线性连续泛函,且.
根据定理,有连续线性泛函,使得
（1）对任意；
（2）.
由,可知存在,使得.
故

因此,所以,且对所有,有.
特别地,当时,对任意,有,因此由上面定理可知下面推论成立. 　　
推论2.4.14 设是赋范线性空间,则对任意,有使得,且.
该结论的重要意义在于它指出了任意赋范线性空间上都存在足够多的线性连续泛函.

由下面推论还可知道中两个元素,若对所有,都有,则一定有.
推论2.4.15 设是赋范线性空间,则当且仅当对存在使得.　　
证明 假设,则对,有,因此定理的推论可知存在,使得,从而.

例题2.4.1 设是赋范线性空间,试证明对任意,有 　　

证明 对任意,,有

因此

另外, 但对,存在,,使得 ,
故, 所以.

例题2.4.2 设是赋范空间,若对于任意且都有,试证明对于任意,有.
证明 反证法. 假设存在和,使得

由定理的推论,可知存在, ,使得　

即

这时一定有. 否则的话,若或,则
,矛盾.
因此,又由

可知,但这与的题设矛盾,因此由反证法原理可知对于任意,有. 　 　

2.5 严格凸空间

在1936年引入了一致凸的空间的概念,证明了取值一致凸的空间的向量测度的定理成立,从而开创了从单位球的几何结构来研究空间性质的方法.和 独立地引进了严格凸空间,严格凸空间在最佳逼近和不动点理论上有着广泛的应用.

定义2.5.1 赋范空间称为严格凸的,若对任意,,都有

严格凸的几何意义是指单位球面上任意两点的中点一定在开单位球内. 　　

例2.5.1 空间不是严格凸的. 取
,
则,且对,明显地有 .

类似地,易验证,空间 都不是严格凸空间. 　　
例2.5.2 若且,则

从而
,即.
所以是严格凸的.

类似地,容易证明空间是严格凸的. 　　

定理2.5.3 若是严格凸赋范空间,则对任意非零线性泛函, 最多只能在上的一点达到它的范数.
证明 反证法.假设存在,使得

由于

因此

从而

明显地,.因此 ,但这与的严格凸假设矛盾,所以由反证法原理可知定理成立.

设是赋范空间,是的子空间,对, 在上可能有不同的保范延拓,不过,的严格凸性能保证保范延拓的唯一性.
在1939年证明了以下结果 　　
.
定理 2.5.4 若是严格凸,是的子空间,则对任意,在上有唯一的保范延拓.
证明 反证法. 假设对,在上有两个不同的保范延拓及,即对任意,都有,且,则

由于

因此,但这与是严格凸矛盾. 所以在上只有唯一的保范延拓.

思考题2.5.1 若对的任意子空间,任意的,在上都只有唯一的保范延拓,则是否一定为严格凸的？

严格凸性还保证了最佳逼近元的唯一性.
定义2.5.2 设是赋范线性空间,若存在,使得

则称为中对的最佳逼近元.
定理2.5.5 设为赋范线性空间X上的有限维子空间,则对任意,存在,使得

证明 令,由下确界的定义,存在,使得

因而是有界序列,即存在,使得,对任意成立.事实上,若不是有界序列,则对任意有,使得,故
.
但这与矛盾,所以为有界序列. 　　
由于是有限维,且为中有界序列,因此存在收敛子列,且.故,所以存在.且.

问题2.5.1 上述定理中的最佳逼近元是否一定唯一？

例2.5.6 在中,取范数,,则为的一维子空间,取,对于任意,有

故

对于,有.因此.
　 但对于及,都有,因此在的最佳逼
元不唯一.

既然上述定理中的最佳逼近元不唯一,那么什么时候才能保证唯一呢？ 　　
定理2.5.7 设是严格凸空间,为的有限维子空间,,则在中存在唯一的最佳逼近元,即存在,使得

证明 令,假设存在, 使得

则由,可知.
由于,从而.
因此 ,且.但这与的严格凸性矛盾,所以由反证法原理可知在中存在唯一的最佳逼近元. 　　

最后,值得注意的是,严格凸性不是拓扑性质,它与范数的选取有关.

例2.5.8 在中,如果取范数,则是严格凸的,但对于另一个范数, 不是严格凸的,并且范数和等价.

还将严格凸性推广到复严格凸性,复严格凸性在取值于复空间的解析函数理论中有着重要应用

习题二

2.1 在,对任意,定义上的几个实值函数,使得它们都是范数. 　　
2.2 设为赋范线性空间,为上的范数,定义

试证明为度量空间,且不存在上的范数,使得.
2.3在中,定义,试证明是的范数.
2.4设是赋范空间的线性子空间,若是的开集,证明.
2.5试证明是的闭线性子空间.
2.6设是赋范线性空间,若且,试证明.
2.7设是赋范线性空间,若,试证明.
2.8 试证明为的基.
2.9 设，试证明为的基.
2.10 在中,若是中只有有限个坐标不为零的数列全体,试证明是的线性子空间,但不是闭的.
2.11 设和为线性空间上的两个等价范数,试证明可分当且仅当
可分.
2.12 设,满足对任意成立，若在上连续,试证明是线性的.
213设和为线性空间上的两个非零的线性泛函,试证明它们有相同的零空间当且仅当存在,使得.
2.14设是有限维空间,为的基,试证明存在,使得,且,对成立.
2.15设为赋范线性空间上的非零的线性泛函,试证明是的非空闭凸集.
2.16设是赋范空间,为的闭线性子空间,,试证明存在,使得,且,对所有成立.
2.17设是有限维空间,为的基,对任意, 定义泛函,试证明.
2.18设是严格凸空间,试证明对任意,且时,有 使得.
2.19试在构造一个新范数,使得是严格凸空间.
2.20试证明和都不是严格凸的赋范线性空间.
2.21设是严格凸的,试证明对于任意,有且仅有唯一的,使得.
2.22举例说明在赋范线性空间中,绝对收敛的级数不一定是收敛级数.
2.23设,试证明对任意都可以写成一个收敛级数的和,且每一项都属于.
2.24 设是赋范线性空间,,试证明对任意,有.
2.25 试证明赋范线性空间是完备的当且仅当度量空间是完备的,这里单位球面,度量.
2.26在中,,试证明是的完备线性子空间.
2.27在中,试证明是的有界闭集,但不是等度连续的.
2.28 在中,取范数，,则为的线性子空间,对,试求出,使得.

巴拿赫

1892年3月30日生于波兰的一个叫Ostrowsko的小村庄,出身贫寒.1916年结识后,告诉一个研究很久尚未解决的问题.几天后,找到了答案,就和一起写了论文，联名发表在Kraków科学院会报上. Stefan Banach (1892-1945)
1920年, Lomnicki教授破格将安排到Lvov技术学院当他的助教.同年,提交了他的博士论文“关于抽象集合上的运算及其在积分方程上的应用”(Sur les opérations dans les ensembles abstraits etleur applicationaux équtions intégrales),并取得博士学位该论文发表在1923年的《数学基础》第3卷上,大家都将它看为泛函分析学科形成的标志之一.1922年,通过讲师资格考核,1924年任该大学教授.1929年，和创办了泛函分析的刊物. 　　
1932 年,出版了《线性算子理论》Théorie des óperations linéaires,这本书汇集了的研究成果,对推动泛函分析的发展起了重要作用. 1936年,在召开的国际数学家大会邀请在全体大会上作报告.在波兰国内,被授予多种科学奖金,1939年被选任波兰数学会主席.
的主要工作是引进线性赋范空间概念,证明了很多赋范空间基本定理,很多重要的定理现在都以他的名字命名,他证明的三个基本定理(线性泛函延拓定理,定理和闭图像定理)概括了许多经典的分析结果,在理论上和应用上都有重要的价值.现在大家都把完备的线性赋范空间称为空间.此外,在实变函数论方面,他在1929年同合作解决了一般测度问题.在集合论方面,他于1924年同合作提出了悖论.
70