1、
最小势能原理、虚功原理解题示例
最小势能原理：在给定外载荷的作用下，对于稳定平衡系统，在满足位移边界条件的所有各组位移中，实际位移使弹性系统的总势能最小。
例2.1 如图2.1所示桁架结构，各杆的横截面积均为A，弹性模量均为E，在节点1处作用水平集中力P，试用最小势能原理求各杆的内力。
图2.1
解：令在外力作用下，节点1在x向的位移为，在y向的位移为。
则有：
杆号
杆长
杆变形
1-2
2.5a
1-3
2.236a
1-4
2.236a
杆应变能的表达式为：
则系统的总势能为：
由最小势能原理可知，
2、当结构处于稳定平衡状态时，有：
即：
解得：
杆的内力可由公式：求得，故各杆的内力为：
例2.2 如图2.2所示的梁，其上作用有均布载荷q，试用最小势能原理求其挠度曲线。
图2.2
解：令梁的挠度函数为，它必须满足以下几个条件：
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q的作用，故应为x的4次多项式。
故，考虑到梁左侧为固支，可设：
梁右侧需满足：
且梁右侧没承受弯矩，有：
（力的边界条件）
代入边界条件，有：
等截面梁的弯曲应变能表达式为：
【根据平面假设，梁在受弯曲变形后，其横截面
3、仍保持为平面，它一方面有挠度，一方面横截面在梁变形过程中旋转了一个角度，由于该转角的存在，使得距离中性轴为y处的x方向的位移为，应变，弯曲应力为，因此，等截面梁的弯曲应变能为：】
则系统的总势能为：
由最小势能原理可知，当结构处于稳定平衡状态时，有：
又：
【】
由于变分可取任意值，故有：
所以：
虚功原理：当弹性体在外载荷作用下处于平衡状态时，对任意为约束所容许的虚位移，外力虚功等于内力虚功。虚功原理又称为虚位移原理。
例2.3 试用虚功原理求如图2.3所示梁的位移。
图2.3
解：令在外载荷P作用下，梁的转角为，则各杆的变形为：
4、
给梁施加一个虚位移：
则外力虚功为：
虚应变能为：
由虚功原理，有：，即：
故梁的位移为：
图2.4
【虚功原理的其它例题可参见理论力学（静力学）第四章第7节】
例2.2 若用虚功原理求解，其步骤如下：
解：令梁的挠度函数为，它必须满足以下几个条件：
1、必须满足几何边界条件，但不一定满足平衡条件和力的边界条件；
2、由于有均布载荷q的作用，故应为x的4次多项式。
故，考虑到梁左侧为固支，可设：
梁右侧需满足：
且梁右侧没承受弯矩，有：
代入边界条件，有：
等截面梁的弯曲应变能表达式为：
给梁施加一个虚位移：
则其外力虚功为：
虚应变能为：
由虚功原理，有：，即：
由于虚位移是任意的，故：
所以：
【由此可以看出，虚位移原理和最小势能原理是一致的，都是从能量的角度来阐述超静定结构在平衡状态所需满足的条件，即用能量方程来替代变形协调条件。在做题时，个人觉得最小势能原理具有更好的操作性。】
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