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台球运动中的数学原理

摘要：在现实生活中，台球作为一种娱常见的乐消遣活动，因为娱乐方式很简单，几乎所有人都接触过，首先提出本文的目的是为了更好的帮助桌球初学者提高桌球技术，本文主要是利用数学原理及物理原理找到击球角度与击球后目标球运动的方向问题，最后给出与击球角度有关的数学公式。

关键词：数学原理；击打

一、问题重述
现实生活中，台球作为一种常见的消遣活动，因其娱乐方式很简单，几乎所有的朋友都接触过这种运动，当然，对于大部分人来说，所谓高手就是打得次数很多，经过了大量的练习；而普通选手或者说菜鸟之所以不能够准确打进球，是因为不具备专业球手那种指哪打哪的能力。本文讨论的是在近距离击球时，击球的角度与击球后目标球的运动方向的关系问题，本文需要解决的问题是球在目标球，白球及袋口位置确定后假设球球心与目标球球心的连线和BA的延长线的夹角的公式，如图1所示。
D

图1
二、问题分析
首先进行一些简单的定义，把需要打进的球定义为目标球，击打目标球的球称之为白球，进球口称为袋口。因为本文阐述的问题与具体球袋(一个球台有四个角袋和两个中袋)的位置没有关系，因此下文，主要以中袋作为研究的切入点。而且本文只考虑传统的击球方式，即
采用球杆击打白球的中心去碰撞目标球，因此这里所说的击球点仅指得是白球碰到目标球的点位，而非球杆击打白球时的点位。而且下文所涉及到的进球仅指直接进球， 通过反弹方式进球不在本文考虑之内。
图2 中最上部是中袋的一个示意图，其中心为P 点，假设有一目标球位于距中袋一定距离的垂直正下方某点(除掉袋口球，这种球与
击球点已无关系)， 用C 点表示其几何中心，MN 是和球台侧壁相平行的一条假想直线，A 表示任意白球球心所在方位， 首先， 总的来讲，A点只有位于MN 虚线以下的任何一点才有可能把目标球打进中袋，因为，假设白球和目标球的接触点为O 点，根据力学中的碰撞原理[1]，只有白球去撞击了O 点，目标球才有可能进袋(从理论上来说，因为袋口
的宽度要比球的直径稍大，如果白球不是正好撞击在O 点，而是撞击在距离O 点极小距离的左右某一点上，也有进球可能，但是为了说明
问题的方便性，本文只考虑球袋中心进球情况)。这一点对于稍具有一点物理学常识的人都能形成共识。因此，击打目标球的过程可以理解
为首先能够使白球移动到图一所示的位置。而这样的路径，从几何学原理来讲， 白球的球心必须处于MN 虚线以下的区域内方有可能，白球球心正好位于MN 线上的情况，因为没有分量能够用来提供对O 点进行撞击，也无进球可能。

图 2

三、模型建立
合理假设：1.台球与桌面的摩擦力较小所以我们可把球与桌面的摩擦力忽略不计，把桌面假设成光滑的。
2.为台球与台球之间的摩擦力较小可以忽略不计，所以我们假设当白球撞击目标球时是不产生摩擦力的。
3.干击打出去的白球是沿直线运动且白球运动时不带旋转。
4.所有球的半径都是r。
符号说明:
B点为白球的球心。
A点位假设球的球心。
C点位目标球的球心。
BC为白球与目标球球心的连线且长度为b
∠ABC为白球与目标球球心的连线和白球与假设球球心的连线在同一平面上的夹角，且为φ.
∠CAB为假设球球心与目标球球心的连线和假设球球心与白球球心的连线在同一平面上的夹角，且为β.
∠DAC为假设球球心与目标球球心的连线和BA的延长线的夹角，且为α.

建立模型：
由上文知BC=b 角∠ABCφ ，∠CAB=β ，∠DAC=α ，根据三角形的正弦定理可得=
又因为∠CAB+∠DAC=则可得到角∠ABC与角∠CAB的关系式：
φ=arcsin（）

四、模型求解
在我们打台球时当白球，目标球及袋口确定了以后，如图1所示BC的长度，以及球的半径r，从这个关系式φ=arcsin（）中我们就可知道∠ABC与角∠CAB的关系，当我们打球时我们所能控制大小的就只有角∠ABC，当我们把角∠ABC的大小调整好了以后，自然就决定了角∠DAC的大小，从而我们就准确的知道在白球撞击目标球之后，目标球的运动方向，此外击球时只要白球撞击目标球时的速度足够就能把目标球成功的打进袋口。

五、结论
必须指出，本文讨论的范围从原理上来说，适用于任何球位，但考虑到大部分人都是业余玩家， 而业余玩家和专业选手的最大差别是，后者几乎能够做到指哪打哪，而前者的准度要低得多。但是如上所述，本文一直强调白球和目标球比较近的情况，或者可以粗略的定义为白球和目标球的距离小于球台短边长度的一半， 特别是距离更小时，采用这种原理会极大地提高进球率。
六、模型的评价与建议
本文主要是在白球与目标球做弹性碰撞下，对击球的角度与击球后目标球的运动方向的关系进行分析，从而得出以下评价与建议：
1. 如果白球没有碰撞到桌壁，左旋或右旋对白球的运动轨迹影响很小，本文的得到的关系式就可以确定目标球的运动轨迹，否则就不能确定。
2. 白球击目标球时质心速度和旋转速度对其轨迹影响很大，总的来说，质心速度越大，旋转角速度就越大，则白球轨迹就就越靠近白球与目标球的公切线。
3. 建议为了更好的研究目标球的轨迹，应该要把目标球的运动时和桌面的摩擦力以及碰撞之后目标球的初速度考虑进去。

参考文献
［1］漆安慎,杜禅英.力学[M].北京:高等教育出版社,1997.作者简介：刘伟民(1978—)，男,河南焦作人,商丘师范学院讲师,主要从事多孔材料及物理教学与研究。※基金项目:商丘师范学院青年教师资助项目(20080922);国家自然科学基金(10873011)。［责任编辑：张艳芳］