数学竞赛 第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第二试及答案.doc

数学竞赛 第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛
决赛第二试及答案

1.某计算机接信息的速度为每秒2.8千字节，发送信息的速度为每秒3.8千字节。现要从A处接收，往B处发送，并还要将机内储存的58千字节的信息也发送B处。如果发送、接收轮流进行，每次发与收各l0秒钟，问：
(1)若先发送，经过多少秒恰好将机内储存的信息送完?
(2)若先接收，经过多少秒恰好将机内储存的信息送完?(结果保留分数)

2.在三角形ABC中，D，E是BC边上的点，BD=AB，CE=AC，又∠DAE=∠BAC，求∠BAC的度数。

3.152个球。放入若干个同样的箱子中，一个箱子最少放l0个，最多放20个，且各个箱子的球数均不相同。问：有多少种放法?(不计箱子的排列，即两种放法，若经过箱子的重新排列后，是一样的，就算一种放法)

4.A，B两地相距l25千米，甲、乙二人骑自行车分别从A，B两地同时出发，相向而行。丙骑摩托车每小时行63千米，与甲同时从A出发，在甲、乙二人间来回穿梭(与乙相遇立即返回，与甲相遇也立即返回)，若甲车速每小时9千米，且当丙第二次回到甲处时(甲、丙同时出发的那一次为丙第0次回到甲处)，甲、乙二人相距45千米，问：当甲、乙二人相距20千米时，甲与丙相距多少千米?

5.3个三位数乘积的算式 =234235286，(其中a＞b＞c)在校对时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的。问：原式中的是多少?

6.对干自然数a,Sa表示a的各位数字之和。求同时满足下列条件的所有的自然数
(1)a为奇数，且不是3的倍数；(2)＝m＜50，m为自然数。

参考答案
1.【解】
1)先发送1O秒，发出：10×3.8＝38 千字节，还剩：58－38＝20千字节，以后每20秒(收、发各10秒)，可发机内储存的10×(3.8－2.8)＝10千字节，因此，将机内储存的信息送完需要10＋2×20＝50秒，
2)每20秒(收、发各10秒)，可发机内储存的10千字节100秒可发机内储存的50千字节还剩58－50＝8千字节，再过10秒，又输入28(＝2.8×10)千字节，共有8＋28＝36千字节，需要秒，因此，将机内储存的信息送完需要100＋10＋＝秒。
2.【解】设∠BAE，∠EAD，∠DAC分别为α，β，γ，则β＝(α＋β十γ)，即 2β＝α＋γ．
　由AB＝BD得，α＋β＝∠BDA＝γ＋∠C，②
　由CE＝AC得，β＋γ＝∠CEA＝α＋∠B，③
　②十③得，α＋γ＋2β＝∠B＋∠C＋α＋γ，④
　两边再加上β得，α＋γ＋3β＝∠B＋∠C＋∠BAC＝180°⑤
　由于①上式即，5β＝180°
　所以3β＝×3＝108°，即∠BAC＝108°。
3.解】设箱子个数为m，
　因为每只箱子的球数均不相同，最少放10个，最多放20个，所以m≤20－10＋1＝11。
　如果m＝11，即么球的总数≥10×11＋(0＋1＋2＋…＋10)＝110＋55＞152
　所以m≤10。
　如果m≤9，那么球的总数≤10×9＋(10＋9＋8＋…＋2)＝90＋54＝144<152
　所以m＝10，
　在m＝10时，10×10＋(10＋9＋…＋1)＝155＝152＋3，
　所以一个箱子放10个球，其余箱子分别放11，12，14，15，16，17，18，19，20个球，总数恰好为152，
　而且符合要求的放法也只有这一种。
4.【解】先求乙的速度，设乙的速度为甲的K倍，丙与乙相遇时甲行S千米，则这时丙行7S千米，乙行KS千米，于是7S＋KS＝125(1)
这时甲丙相距6S(＝7S－S)千米，丙第一次回到甲处时，甲又向前行6S＋(7＋1)＝S(千米)，丙行S×7(千米)，乙行S×K(千米)，所以甲、乙相距S×7－S×K＝S(7－K)(2)
即(将(1)代入(2)消去S)

　×125(千米)　⑶
【注】(3)中的125，如果改成其他数(例如A、A两地原来相距250千米)．推导完全一样，于是，在丙第二次回到甲处时，甲、乙相距
　××125(千米)　(4)
　(推导与上面完全一样，只是125千米换成了×125千米)
　根据已知条件：××125＝45⑸
　即：(6)
　于是(只取正值)　＝(7)
　从而　K＝
即乙的速度是每小时：×9＝7(千米)
当丙第三次回到甲处时，甲、乙相距　×45＝××45＝×45＝27(千米)．
丙第四次回到甲处时，甲、乙相距　×27＝＜20(千米)。
因此，甲、乙相距20千米发生在丙第四次回到甲处之前，即他们都应从丙第四次回到甲处这事往回倒退。由于
20－＝，
而甲、乙速度之比是9∶7．所以甲应退　×
丙的速度是甲的7倍，所以丙应退甲的7倍，
从而在甲、乙相距20米时，甲丙相距　××(1＋7)＝(千米)
5.【解】考虑除以9的余数，我们用　x≡y(mod9)
表示x,y除以9的余数相同，也就是x－y是9的倍数，读作x与y模9同余
熟知一个自然数与它的数字和模9同余，所以
234235286≡2＋3＋4＋2十3＋5＋2＋8＋6≡8(mod 9)
≡(a＋b＋c)3(mod 9)
于是 (a＋b＋c)3≡8(mod 9)
从而(用a＋b＋c≡0，1，2，…，8代入上式检验) a＋b＋c≡2，5，8(mod 9)(1)
对a进行讨论
如果a＝9，那么 b＋c≡2，5，8(mod 9)(2)
又c×a×b的个位数字是6，所以 b×c＝4×1＝7×2＝8×3＝6×4
其中只有(b，c)＝(4，1)，(8，3)符合(2)，经检验只有 983×839×398＝328245326 符合题意
如果a＝8，那么 b＋c≡3，6，O(mod9)(3)
又b×c＝2×1＝4×3＝6×2＝7×6＝7×1，其中只有(b，c)＝(2，1)，符合(3)．
经检验＝921，不合题意
如果a＝7，那么 b＋c≡4，7，1(mod 9)(4)
又b×c＝4×2＝6×3，其中没有符合(4)的b、c
如果a≤6，那么 ＜700×600×500＝210000000＜222334586，
因此这时不可能符合题意。
综上所述，＝983是本题唯一的解
本题采用枚举法(也称为穷举法)，分情况进行讨论，这是一种极常用的方法．
6.【解】如果a是一位数，那么2)显然满足(＝1)，由(1)，a＝1，5，7。
如果a是两位数，设十位数字为x，个位数字为y，则 ＝＝1＋
由于a不是3的倍数，所以Sa也不是3的倍数。但＝m是自然数，所以是自然数，即9x被x＋y整除。因为Sa＝x＋y不是3的倍数，即x＋y与9互质，所以x被x＋y整除。但a是奇数，所以y≠O，x＜x＋y，x不可能被x＋y整除。因此a不可能是两位数。
如果a是四位以上的数，设a＝1000x＋100y十10z＋u，其中y,z,u都是数字，x是自然数，则Sa≤x＋y＋z＋u，由(2)，1000x十1OOy＋10z＋u＜50(x＋y十z十u)
于是950＜950x＋50y＜40z＋50u＜400＋500＝900矛盾，因此a不可能是四位以上的数。
如果a是三位数，设a＝1OOx＋1Oy＋1Oz，x、y、z都是数字，x≠0，则Sa＝x＋y＋z，
m＝
与前面的推理相同，是奇数,而且由于，m＜50，所以 ＜＜5，
从而，＝1或3(1)
以下分两种情况来求(1)的解
(a)1Ox－z＝x＋y＋z，即 9x＝y＋2z(2)
在x＝1时，由(2)可得z＝1，y＝7或者z＝3，y＝3(注意a为奇数，所以z是奇数)，其中第一组得出a＝117是3的倍数不合要求。
在x＝2时，由(2)可得z＝5，y＝8(不合要求)；z＝7,y＝4；z＝9，y＝0．
在x＝3时，由(2)得x＝y＝9不合要求．
由于y＋2z≤9十2×9＝27，所以x不可能大于3
(b)1Ox－z＝3(x＋y＋z)，即 7x＝3y＋4z
同样，令x＝1,2，…，9逐一检验，得出x＝4时，z＝7,y＝0；z＝1，y＝8,x＝6时，z＝9，y＝2
于是本题的解为：1，5，7，133，247，209，407，481,629

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