正项级数收敛的判别方法.doc

数学与统计学院应用数学系
综合课程设计成绩评定书

设计题目： 正项级数收敛的判别方法

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摘要：
各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。

关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法

1基本概念
1.1 数项级数及其敛散性
在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。
定义1：给定一个数列，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式
（1）
称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中称为数项级数的通项。
数项级数(1)的前项之和，记为，称为（1）的前项部分和。
定义2：若（1）的部分和数列收敛于（即），则称数项级数（1）收敛，并称为（1）的和，记为，若为发散数列，则称数列（1）发散。
根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质：
(i) 收敛级数的柯西收敛准则
级数（1）收敛的充要条件是：，，，，有

(ii) 级数收敛的必要条件：若级数收敛，则.
(iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。
(iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。
(v) 运算性质：
若级数与都收敛，是常数，则收敛，且满足
=

1.2 正项级数及其收敛的判别方法
设级数的各项（）, 则称级数为正项级数.
显然，正项级数的部分和数列是单调增加的，即

由数列极限存在准则知：如果这个数列有上界，则它收敛；否则它发散.根据这一基本事实，可以得到正项级数收敛的基本定理。

定理1(基本定理) 正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界，即存在某正数，对一切正整数，有.
证:由于，所以是单调递增数列，而单调数列收敛的充要条件是该数列有界（单调有界定理）.即上述定理得证。

定理2(比较原则) 设与均为正项级数, 若存在常数，或者对于都有
, (,)
则 (1) 当级数收敛时，级数也收敛; (2)当级数发散时，级数发散.
证:设和的部分和分别为和，于是有：，当收敛时，有界，故亦必有界，得知收敛.当发散时，无上界，于是无上界，故发散.
下面给出比较判别法的极限形式，它在应用中较为方便。
比较判别法的极限形式：
给定正项级数与，若有 ， （2）
（i） 当时，和具有相同的敛散性；
（ii） 当时，若收敛，则收敛.
（iii） 当时，若发散，则发散.
证:设由（2）式，对，，当时，恒有

或
. （3）
由定理2以及（3）式可得：当（这里设）时，和具有相同的敛散性。
对于（ii）, 当时，由（3）式右半部分以及比较原则：若收敛，则收敛.
对于（iii）,当，对,存在相应的正数，当时都有

由比较原则可得，若发散，则发散.

定理3(达朗贝尔判别法，或称比式判别法)
设为正项级数, 且存在某正整数，以及常数
（i） 若对于都有不等式， （4）
则级数收敛。
（ii） 若对于都有不等式， （5）
则级数发散。
证:（i）不妨设（4）对一切都成立，于是有

把前个不等式按项相乘后得到

即，由于当时，等比级数收敛，由比较原则及上述不等式可证。
（ii）由于时不等式（5）恒成立，既有.当时，极限不可能为零.由收敛必要条件可知级数发散。
下面给出比式判别法的极限形式
若为正项级数且， （6）
（i）当时，收敛；
（ii）当或时，则发散.
证:由（6）式，对任意取定的正数，，当时，恒有
.
当，这里取使，由上述不等式的右半部分及定理3可得收敛。
若，则取使，由上述不等式的左半部分及定理3可得发散。
若，存在，当时，，此时发散。

定理4(柯西判别法，或称根式判别法)
设为正项级数, 且存在某正整数，以及常数
（i） 若对于都有不等式， （7）
则级数收敛。
（ii） 若对于都有不等式， （8）
则级数发散。
证:（i）由（7）式有，由于等比级数当时收敛，由比较原则，此时级数收敛.对于（ii）由（8）式,当时，极限不可能为零.由收敛必要条件可知级数发散。
下面给出根式判别法的极限形式
若为正项级数且， （9）
(i) 时, 级数收敛；
(ii) 时，级数发散；
(iii) 时, 级数可能收敛也可能发散.
证:由（9）式，对任意取定的正数，，对一切时，恒有
.
由定理4即可得证。

定理5(积分判别法)
设为上非负递减函数，那么正项级数与反常积分同敛态.
证:由假设为上非负递减函数，对任何正数，在上可积，从而有
，
依次累加可得
（10）
若反常积分收敛，由（10）式左边，对任何正整数，有
.
由定理1，级数收敛。
反之，若级数收敛，由（10）式右边，对一切正整数，有
（11）
由于为上非负递减函数，对任何正数，都有

联系（11）以及反常积分收敛的定理得到：收敛。
同理可证与反常积分同时发散。
2例题解析
2.1 利用基本定理判断下列正项级数的敛散性
例1.判断

解 由于

故得：. 因而原级数收敛
例2.
解 由于
从而有

并且

故得：.
例3. 设收敛，.证明
证 记级数的前项和为，则

而，所以

2.2 比较判别法的应用
例4.
解 由于，由不等式，（）
从而有
正项级数收敛，由比较判别法可知收敛
例5.
解 由于，且级数发散，故级数也发散。
例6.
解 考虑到运用级数. 由于，并且
，
则有：.
又当时，，故.由于级数发散，故级数发散，
从而发散。
例7. 已知收敛，判定的敛散性;
证 由题意 ，
而 与均收敛，从而收敛（绝对收敛）
例8.讨论正项级数的敛散性.
解 （1）当时，发散.
（2）当时，令，
收敛（），所以原级数收敛.
令 ,则收敛（），所以原级数 收敛.
（3）当时，令，
收敛（），所以原级数收敛.
令 ,收敛（），所以原级 收敛.
综上所述时发散，时收敛.
2.3 比式判别法（达朗贝尔判别法）的应用
例9. （1）讨论级数的敛散性。 （2）判断级数敛散性。
解 （1） 令，由于，发散.
（2） 令，由于,
级数收敛
例10. 判断下列正项级数的收敛性
（1）
（2）
解 （1）由于，故原级数收敛
（2）由于，
级数收敛
例11. 利用正项级数收敛的必要条件，证明下列等式
（1） （2）
证 （1）设，由于
则级数收敛，由柯西收敛性的推论可知
（2）设，由于
则级数收敛，由柯西收敛性的推论可知

2.4 利用柯西判别法（根式判别法）判断下列正项级数
例12. 判断下列正项级数的收敛性
（1） （2） （3）
解 （1）令，因为，
所以 级数 收敛.
（2）由于，对于级数，利用根式判别法：
，级数收敛的，从而级数收敛
（3）令，因为，
所以 级数 收敛.
例13. 判断级数的敛散性.
解: ，由根式判别法知
当时，级数收敛；
当时，级数发散；
当时，

级数发散.
综上可得：时原级数收敛；时原级数发散.
例14．考察级数

的敛散性，其中
解：由于，，
根据柯西根式判别法：
当时，级数发散；
当时，级数收敛；
当时，级数为：
，
显然级数发散。
2.5 积分判别法

例15．讨论p级数的敛散性
解：函数，当时在上是非负减函数。由与反常积分在
时收敛，时发散。根据积分判别法：在时收敛，当时发散。当，由于，故发散。
例16．利用积分判别法判断下列正项级数收敛性
（1） （2）
解：（1）函数，在上是非负减函数。而

根据积分判别法：收敛。
（2）函数，在上是非负减函数。积分

根据积分判别法：发散。
例17．利用积分判别法判断级数敛散性
解：函数，不论为何数，当充分大时，都是非负减函数。并且

仅在收敛，根据积分判别法：当收敛。
例18．利用积分判别法判断下列级数敛散性
（1）；
（2）；
解：（1）函数在上是非负减函数。并且

根据积分判别法：发散。
（2）设，不论，为何数，当充分大时，为负，则非负减函数。
i）当时，则

当时收敛，时发散.由积分判别法，则级数在，时收敛，，时发散。
ii）当时，则

对任意的，当时，取有

此时积分收敛。
当时，有

此时积分发散。
综上可得：
当时级数收敛；
当时，时级数收敛， 时级数发散；
当时级数发散。
3几种判别法的总结
本文主要通过几种常见的正项级数判别法对具体问题进行分析，下面对上述判别方法进行如下总结。
1. 当正项级数的部分和可以通过裂项求和，或者通项为等差、等比数列的级数可以直接判断极限是否存在来判定正项级数的收敛性
2. 当通项较容易通过不等式的放缩，或者等价无穷小而找到已知敛散性质的级数，可以使用比较判别法.比较判别法需要熟悉调和级数、几何级数、p级数（例15）的敛散性。
3. 通过数列极限的结论：若，当时，必有。由于为正项级数，则可以得到凡是比式判别法可以鉴别收敛的级数，也可用根式判别法判断，并且根式判别法较之更有效。如例14中的级数

其中若用比式判别法。由于

所以
，
根据比式判别法：当时，级数收敛，当时，级数发散，其他情况则无法判断。但利用根式判别法（见例14）可以得到完整的结论。
4. 当级数通项中含有n相关次幂的级数，型如或的级数考虑用根式判别法
5. 积分判别法是利用非负函数的单调性和积分性质，并以反常积分为比较对象判断正项级数的收敛性，通常级数的原函数容易找到，满足在区间上（为常数）非负递减，可以选用积分判别法。
4 参考文献
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[6] 罗俊,汪名杰.数学分析习题与解析.北京:兵器工业出版社,2008.9