2014届睢宁县菁华高级中学高三上学期学情调研考试(12月)数学试题及答案.doc

菁华高级中学2014届高三上学期学情调研考试（12月）
数学试题
(总分160分，考试时间120分钟)
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上.
1.已知全集,集合,,则= ▲ .
2.已知复数的实部为,虚部为,则(为虚数单位)的模为 ▲ .
3.某学校为了解该校1200名男生的百米成绩（单位：秒），随机选择了50名学生进行调查.下图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图.根据样本的频率分布,估计这1200名学生中成绩在（单位：秒）内的人数大约是 ▲ .
4.已知张卡片（大小形状都相同）上分别写有,,,,从中任取两张,则这两张卡片中最大号码是3的概率
为 ▲ .
5.按如图所示的流程图运算,则输出的 ▲ .
6.已知向量,
若,则实数= ▲ .
7.已知数列成等差数列,其前项和为,若
,则的余弦值为 ▲ .
8.设为两个不重合的平面，为两条不重合的直线，sj.fjjy.org
现给出下列四个命题：
①若,则；
②若，则；sj.fjjy.org
③若则；
④若则.
其中,所有真命题的序号是 ▲ .
9.已知函数,满足,,,,则函数的图象在处的切线方程为 ▲ .

10.在中,,,则的面积为 ▲ .
11.已知椭圆和圆,若上存在点,使得过点引圆的两条切线,切点分别为,满足,则椭圆的离心率的取值范围是 ▲ .
12.设,其中为过点的直线的倾斜角,若当最大时,直线恰好与圆相切,则 ▲ .
13.已知函数恰有两个不同的零点,则实数的取值范围是 ▲ .
14.已知对于任意的实数,恒有“当时,都存在满足方程”,则实数的取值构成的集合为 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.
15．(本小题满分14分)
已知角、、是的内角，分别是其对边长，向量，，.
(1)求角的大小；
(2)若,求的长.
sj.fjjy.org

16．(本小题满分14分)
如图，在四面体中,,是的中点．
(1)求证:平面；
(2)设为的重心,是线段上一点,且.
求证:平面.

17．(本小题满分14分)
如图,有三个生活小区(均可看成点)分别位于三点处,,到线段的距离,(参考数据: ). 今计划建一个生活垃圾中转站,为方便运输,准备建在线段(不含端点)上.
(1) 设,试将到三个小区距离的最远者表示为的函数,并求的最小值；
(2) 设,试将到三个小区的距离之和表示为的函数,并确定当取何值时,可使最小?

18．(本小题满分16分)
如图,是椭圆的左、右顶点,椭圆的离心率为,右准线的方程为.
(1)求椭圆方程；
(2)设是椭圆上异于的一点,直线交于点,以为直径的圆记为.
①若恰好是椭圆的上顶点,求截直线所得的弦长;
②设与直线交于点,试证明:直线与轴的交点为定点,并求该定点的坐标.

19．(本小题满分16分)
已知数列是等差数列,数列是等比数列,且对任意的,都有.
(1)若的首项为4,公比为2,求数列的前项和;
(2)若.
①求数列与的通项公式;
②试探究:数列中是否存在某一项,它可以表示为该数列中其它项的和？若存在,请求出该项；若不存在,请说明理由．

20．(本小题满分16分)
已知函数,其中.
(1) 当时,求函数在处的切线方程;
(2) 若函数在区间(1,2)上不是单调函数,试求的取值范围;
(3) 已知,如果存在,使得函数在处取得最小值,试求的最大值.
数学附加试题
(总分40分，考试时间30分钟)
21．[选做题] 在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
A.（选修4—1：几何证明选讲）sj.fjjy.org
在直角三角形中,是边上的高, ,,分别为垂足,求证：.

B．（选修4—2：矩阵与变换）
已知曲线,现将曲线绕坐标原点逆时针旋转,求所得曲线的方程.

C．（选修4—4：坐标系与参数方程）
在极坐标系中,已知圆的圆心坐标为,半径为,试写出圆的极坐标方程.

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D.（选修4—5：不等式选讲）
已知为正数，求证：.

[必做题] 第22、23题,每小题10分计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内.
22.如图,在四棱锥中,⊥底面,底面为梯形,,,
,点在棱上,且．
(1)求证：平面⊥平面；
(2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值．

23.已知数列满足,试证明:
(1)当时,有；
(2).
数学参考答案
又，,则由正弦定理,得=,即4 …………………14分
16．证明:(1)由 ……………………………………………………… 3分
同理，,又∵,平面,∴平面………………7分
(2)连接AG并延长交CD于点O,连接EO.因为G为的重心,所以,
又,所以 ……………………………………………………………11分
又,,所以平面……………………………………………11分
因为,令,即,从而,
当时,;当时, .
………… 6分
又直线的方程为,故圆心到直线的距离为 …………8分
从而截直线所得的弦长为…………………………10分
②证:设,则直线的方程为,则点P的坐标为,
又直线的斜率为,而,所以,
从而直线的方程为……………………………………13分
令,得点R的横坐标为……………………………………………14分
又点M在椭圆上,所以,即,故,
所以直线与轴的交点为定点,且该定点的坐标为………………………16分
19.解: 1)因为,所以当时, ,两式相减,得,
而当时,,适合上式,从而……………………3分
又因为是首项为4,公比为2的等比数列,即,所以………………4分
从而数列的前项和…………6分
(2)①设,则,所以,
设的公比为,则对任意的恒成立 ……………8分
即对任意的恒成立,
又,故,且……………………………………………………10分
从而……………………………………………………………………11分
②假设数列中第k项可以表示为该数列中其它项
的和,即,从而,易知 (*)………13分
又,
所以,此与(*)矛盾,从而这样的项不存在…………………………………………16分
20．解:(1)当时,,则,故……………2分
又切点为,故所求切线方程为,即……………………………4分
(2)由题意知,在区间(1,2)上有不重复的零点,
由,得,因为,所以……………7分
令,则,故在区间(1,2)上是增函数,
所以其值域为,从而的取值范围是…………………………………9分
(3),
由题意知对恒成立,即对恒成立,即 ①对恒成立 ……………………………11分
当时,①式显然成立;
当时,①式可化为 ②,
令,则其图象是开口向下的抛物线,所以 ……13分
即,其等价于 ③ ,
因为③在时有解,所以,解得,

从而的最大值为………………………………………………………………………16分
附加题
21．（A）证明：为直角三角形,,
∽∽∽∽∽…………………………………4分
,,,,
…………………………………………………………………………………10分
B．解：（1）由旋转坐标公式…………………………………………5分
得变换公式为，代入得曲线的方程为…………………10分
C．解：设是圆上任一点,由余弦定理,得…………5分
整理得圆的极坐标方程为………………………………………10分
D.证明：,……………………………………5分
同理,,,三式相加，得………………10分
23．证明：(1) 当时,,
所以不等式成立……………………………………………………………5分
(2)

………………………………10分
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