无穷乘积的基本内容与性质的证明.doc

目 录
一.论文题目 …………………………………………………………………… 1
二．中文摘要 …………………………………………………………………… 1
三．中文关键词 ………………………………………………………………… 1
四．基本内容 …………………………………………………………………… 1
五．无穷乘积的性质 …………………………………………………………… 2
六．无穷乘积收敛的判别定 ……………………………………………………… 3
七．例题 …………………………………………………………………………… 6
八．英文摘要 …………………………………………………………………… 10
九．英文关键词 ………………………………………………………………… 10
十．参考文献 ……………………………………………………………………… 10

无穷乘积的基本内容与性质的证明
作者：王圣杰 学号：200411010
数学科学学院、数学与应用数学、2004级（1）班
指导教师：斯钦
摘要：本文叙述了无穷乘积的定义及一些基本性质，并且依据无穷乘积与级数的关系以及有关级数理论,对任意项无穷乘积的敛散性包括绝对收敛、进行讨论,并给出了几种敛散性判别法.最后，文章列举了一些有代表性的例题，欧拉公式是非常重要的，特别是欧拉当时的思维过程。
关键词：数列，无穷乘积，收敛
一． 基本内容
定义1：对于一个数列
将这一列数连乘起来，用记号∏表示如下：

称为无穷乘积。其中，。
如果将数列中前n个数连乘起来，得

则称为部分乘积。令n=1,2,3, …,就得到部分乘积的序列

对于这个数列，只可能有三种情形：
（ⅰ）存在非零的有穷极限；
（ⅱ）极限为零；
（ⅲ）发散，即不趋向任何有穷极限。
在第（ⅰ）种情形下，称无穷乘积为收敛的，并称P为这个乘积的值，记为

而在第（ⅱ）种和第（ⅲ）种情形下，称这个无穷乘积为发散的。我们也采用简化记号 。
这里要指出，将的情况称为无穷乘积发散（于0）完全是为了便于和无穷级数的结果对应起来，而并不是这种情况没有价值或没有意义。
定义2：设 （）是任意项无穷乘积
若级数 收敛，则称无穷乘积 绝对收敛；
若级数 收敛，而级数 发散，则称无穷乘积
条件收敛；
在一个无穷乘积中，只要有一个因数为零，那么就得部分乘积序列的极限为零，所以在无穷乘积的讨论中总是恒定 （）。
二.无穷乘积的性质
与无穷级数的通项趋于0是收敛的必要条件一样，有下面的
性质1：当无穷乘积收敛时，其通项必收敛于 1 。
证明： 。
因此，总可以假设从某个n起。为方便起见，将改记为，将无穷乘积改记为，并假设，（）
性质2：若无穷乘积收敛，记
，它与无穷级数的余项相似，称为余乘积。则

证明

三.无穷乘积收敛的判别定理
定理1：无穷乘积 收敛的充分必要条件是级数 收敛。
证明：先证必要性，以 表示级数 的部分和，
假设，以 表示级数 的部分和，即有 ===，再由对数函数的连续性：
=== ，所以 级数 收敛，且收敛于 ；
再证充分性，假设级数 收敛于有限极限 L，即 则由= 知 ， 又由指数函数的连续性，有 所以级数 收敛，且收敛于 ；并且由上面的证明知道
。
定理2： 若从某个n起，则无穷乘积 收敛的充
分必要条件是级数 收敛。（若该级数发散，则无穷乘积为 。）
证明： 必要性 由 收敛，得知 以及同号级数 收敛。又由 按比较别法得 收敛。
充分性 由 收敛及级数收敛的必要条件得又由 故 收敛，由定理1即知 收敛。
若级数 发散，由 知级数 也发散，且发散到 ，而.由 及对数函数的连续性知
定理3： 若从某个n起，则无穷乘积 收
敛的充分必要条件是级数 收敛。（若该级数发散，则无穷乘积为 0 。）
证明：必要性 由 收敛，得知 以及同号级数 收敛。又由 按比较别法得 收敛。
充分性 由 收敛及级数收敛的必要条件得又由 故 收敛，由定理1即知 收敛。
若级数 发散，由 知级数 也发散，且发散到 ，而.由 及对数函数的连续性知
定理4： 若变号，但已知级数 收敛，则当级数
收敛时无穷乘积收敛，当级数 发散时无穷乘积发散于零
证明 由于 收敛，，于是有 由已知收敛，按比较判别法，正项级数 收敛。再由已知条件 收敛，得收敛。这样就证明了 收敛 。
由于 收敛，，于是有 由已知发散，且发散到，按比较判别法，正项级数发散，且发散到。再由已知条件 收敛，得发散到且发散到，这样就证明了 发散于0 。
定理5： 若无穷乘积收敛，则称无穷乘积 绝对收敛。绝对收敛的级数一定收敛，反之未必成立。
证明：若无穷乘积 绝对收敛，即无穷乘积 收敛，由定理2 知， 收敛，从而 收敛，再由定理2 得 收敛，所以绝对收敛的级数一定收敛。但反之不然，例如：无穷乘积 收敛，但是乘积 是发散的。

四．例题
例1：若 不是非负整数，则存在非零常数 ，使得
成立
证明：引入记号 则只要证明有非零极限，对于数列写出一个无穷乘积，使得他的部分乘积数列就是，即，， ，
从而就有 ，于是问题就变为证明右边的无穷乘积收敛。
例2：设为单调减少的正数数列，则的充分必要条件是级数发散。
证明：将题中的级数通项计为 ，从条件，与上题一样，将数列的极限与一个无穷乘积联系起来：，目前关心的是右边的无穷乘积是否发散与零。易见有等价关系：

现在只需要证明以下两个正项级数同时发散：

分两种情况讨论，若不是无小量，则两个级数的通项都不趋于0，因此成立；若是无小量，则从和比较判别法的极限形式，可见也成立。
例3：（Euler）对所有值成立
证明：可以看出当 为 的整数倍时两边为零。以下只需要讨论 不是的整数倍的情况，这时容易验证右边的无穷乘积收敛。（ 收敛 ）
不难发现可展开为 的 次多项式，且只含奇次幂项，因此由公式 有 ：
，
其中 为 的 次多项式。将他右边的 除到左边并令 ，就可以定出 。又利用 使 左边为0，因此 恰好是多项式 的所有根，这样就完全确定了多项式 。将所得的表达式代入 右边，并令 ，得到

固定，令，将上式右边分解为 ，其中 ，
，
在 中令 ，这时左边与 无关，从 得到
因此第二个因子 的极限也存在。但这里重要的是对这个极限的估计。利用 ， 以及 Jordan 不等式可以得到 ：

从而有对于 的估计：

这样就得到对于极限 的估计：

最后，利用上式右边是一个收敛无穷乘积的余项，因此当 时极限为1。这样就从数列极限的夹逼定理得到所要的展开式。
注1：在展开式 中令 得到 这是Wallis公式中的第二个公式。可见 Euler 的展开式是非常有力的结果。
注2：关于展开 的证明方法很多，可以参看美国数学月刊89卷（1982）225~230页的一个综述。
注3：值得回顾 Euler 发现这个展开式的思维过程。他的出发点是将 与多项式作类比、由于 以所有 为零点，因此他猜测 会成立，他又将该式两边展开为 的幂级数，从而得到 等一系列重要结果。
例 4：Euler的 函数.依定义有

其中 是任意的实数， 是Euler常数，
定义 函数的无穷乘积对于任何绝对收敛，因为对于足够大的 根据带拉格朗日型余项的泰勒公式，成立估计式

，
又由级数 收敛， 收敛。
例5：（Euler公式） 下述公式成立：

证明：由上例知道，定义 函数的无穷乘积在自己的定义域的任意点都绝对收敛，因此由 函数的定义得到：

=
=
=

参考文献：
【1】谢惠民，钱定边.数学分析习题课讲义(下册).北京:高等教育出版社,2004.1
【2】陈传璋,金福临.数学分析(第二版下册).北京:高等教育出版社,1983.11
【3】阿黑波夫,萨多夫尼奇.数学分析讲义(第三版).北京: 高等教育出版社,2006.6

The Basic Contents of the Endless
Product and the Certificate of the Property
Author:Wang Shengjie number:200411010
The mathematics science college,mathematics and applied mathematics,2004 class 1
Guiding teacher:Si Qin

Abstract：This text described the definition and some basic properties of the endless product, and the basis relation between endless product and series and relevant series theories, to arbitrarily item the astringency of the endless product carried on a discussion, and give several kind astringency of discretion method. End, the article enumerated some representative examples.Euler pulling formula is count for much, especially Euler′s thinking process.
Keyword： The few rows, the endless product, refrain from rash action

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