柱锥台球的表面积和体积公式.doc

柱锥台球的表面积和体积公式
高三数学 刘玉国 2011年12月5日 星期一
A级　课时对点练
一、选择题(本题共5小题，每小题5分，共25分)
1．母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π，则该圆锥的体积为 (　　)
A.π B.π C.π D.π

解析：设圆锥的底面半径为r，则＝π，∴r＝，
∴圆锥的高h＝ ＝.
∴圆锥的体积V＝πr2h＝π.
答案：C

2．(2010·杭州二次质检)如图，是一个几何
体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，
俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何
体的侧面积为 (　　)
A．6 B．12
C．24 D．3

解析：注意到此题的几何体是底面边长为2的正三角
形，于是侧面积为S＝6×4＝24.
答案：C

3．(2010·德州质检)下图为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为(不考虑接触点) (　　)

A．6＋＋π B．18＋＋4π
C．18＋2＋π D．32＋π

解析：据三视图可得几何体为一正三棱柱和其上方放置一个直径为1的球，其中正三棱柱底面边长为2，侧棱长为3，故其表面积
S＝4π×2＋2××22＋3×2×3＝18＋2＋π.
答案：C

4．(2010·淮南模拟)一个多面体的三视
图分别为正方形、等腰三角形和矩形，
如图所示．则该多面体的体积 (　　)
A．48 cm3
B．24 cm3
C．32 cm3
D．28 cm3

解析：据已知三视图可知几何体为一个三棱柱，如图．

其中侧面矩形ABCD中，AD＝6(cm)，AB＝4(cm)，底面等腰三角形ADF的底边AD上的高为4(cm)，则其体积V＝×4×4×6＝48(cm3)．
答案：A
5．(2010·厦门模拟)已知某几何体的
三视图如图，其中正(主)视图中半圆
的半径为1，则该几何体的体积为 (　　)
A．24－π B．24－
C．24－π D．24－

解析：据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V＝2×3×4－×π×12×3＝
24－.
答案：A

二、填空题：

6．如图，一个空间几何体的正视图和侧视
图都是边长为1的正方形，俯视图是直径
为1的圆，那么这个几何体的侧面积为________．

解析：由三视图的知识，它是底面直径与高均为1的圆柱，所以
侧面积S＝π.
答案：π

7．若球O1、O2表面积之比＝4，则它们的半径之比＝________.

解析：∵S1＝4πR，S2＝4πR，∴＝＝4，∴＝2.
答案：2

8．(2010·泰安模拟)下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积
为________．

解析：由三视图知该几何体是一个半圆柱，因此V＝×π×12×2＝π.
答案：π
三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)

9．已知某几何体的俯视图是如右图所
示的矩形，正视图(或称主视图)是一个
底边长为8、高为4的等腰三角形，侧
视图(或称左视图)是一个底边长为6、
高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的侧面积S.

解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，
其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其
相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，
左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，
如右图所示．
(1)几何体的体积为：V＝·S矩形·h＝×6×8×4＝64.
(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝＝5.
左、右侧面的底边上的高为：h2＝＝4.
故几何体的侧面面积为：
S＝2·＝40＋24.

10．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥P—EFGH，下半部分是长方体ABCD—EFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．

(1)请画出该安全标识墩的侧视图；
(2)求该安全标识墩的体积．

解：(1)侧视图同正视图，如图所示：
(2)该安全标识墩的体积为
V＝VP－EFGH＋VABCD－EFGH
＝×402×60＋402×20
＝64 000(cm3)．
B级　素能提升练
(时间：30分钟　满分：40分)
一、选择题(本题共2小题，每小题5分，共10分)

1．(2010·新课标全国卷)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 (　　)
A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa2

答案：B
2．(2010·北京卷)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF＝1，A1E＝x，DQ＝y，DP＝z(x，y，z大于零)，则四面体PEFQ的体积 (　　)
A．与x，y，z都有关
B．与x有关，与y，z无关
C．与y有关，与x，z无关
D．与z有关，与x，y无关

解析：从题图中可以分析出，△EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的，而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．
答案：D
二、填空题(本题共2小题，每小题5分，共10分)

3．(2010·惠州质检)在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．

解析：＝＝·＝×＝.
答案：1∶8
4．已知一几何体的三视图如图所示，正视图与侧视图为全等的等腰直角三角形，直角边长为6，俯视图为正方形，一个小正四棱柱内接于这个几何体，棱柱底面在面ABCD内，其余顶点在几何体的棱上，当棱柱的底面边长为________，高为________时，棱柱的体积最大，这个最大值是________．

解析：根据条件可知这是一个有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，设内接于这个几何体的小正四棱柱底面边长为x，则高为6－x，从而由V＝x2(6－x)知，当x＝4时，即底面边长为4，高为2时，棱柱的体积最大，最大体积为32.
答案：4　2　32
三、解答题(本题共2小题，每小题10分，共20分)

5．直三棱柱高为6 cm，底面三角形的边长分别为3 cm,4 cm，5 cm，将棱柱削成圆柱，求削去部分体积的最小值．

解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大，削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半径为R，圆柱的高即为直三棱柱的高．
∵在△ABC中，AB＝3(cm)，BC＝4(cm)，AC＝5(cm)，
∴△ABC为直角三角形．根据直角三角形内切圆的性质
可得7－2R＝5，
∴R＝1(cm)．∴V圆柱＝πR2·h＝6π(cm)．
而三棱柱的体积为V三棱柱＝×3×4×6＝36(cm3)．
∴削去部分体积为36－6π＝6(6－π)(cm3)．
即削去部分体积的最小值为6(6－π)cm3.

6．如图所示，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱
AA1＝8.若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过
AC、BC、A1C1、B1C1的中点，当底面ABC水平放
置时，液面高为多少？

解：当侧面AA1B1B水平放置时，水的形状为四棱柱形，底面ABFE为梯形．
设△ABC的面积为S，则S梯形ABFE＝S，
V水＝S·AA1＝6S.
当底面ABC水平放置时，水的形状为三棱柱形，设水面高为h，则有V水＝Sh，
∴6S＝Sh，∴h＝6.
故当底面ABC水平放置时，液面高为6.