1、
等差数列与孪生素数猜想的初等证明
齐宸
图一:（表中数字不含个位）
上图是一种不同于以往的素数筛法，通过此筛法可以看到素数、合数都是由等差数列演变而来的。合数是数列项，素数是非数列项。如上图中的非数列项加上个位后，13、23、43、53、73、83、103、113等都是素数。
1、合数公式
要想使两个数字相乘结果的个位为3，则这两个数字的个位应分别是1、3或是7、9。如1 * 3 = 3；7 * 9 =63。
自然数（10i+3）与自然数（10k+1）相乘
(10i+3)(10K+1) 其中i>=0;k>=1
=100ik+30k
2、10i+3
=10(10i+3k)+10i+3
去掉个位后得到公式：(10i+3k)+i 其中i>=0;k>=1
同样可以证明剩余的9组合数公式（去掉了个位），汇总如下：
第一类：个位为1：(10i+1)k+i; (10i+3)k+7i+2; (10i+9)k+9i+8
第二类：个位为3：(10i+3)k+i; (10i+7)k+9i+6
第三类：个位为7：(10i+7)k+i; (10i+3)k+9i+2
第四类：个位为9：(10i+9)k+i; (10i+3)k+3i; (10i+7)k+7i+
3、4
因去掉了个位，这时的孪生素数可用一个数字即可表示（只研究11-13这样类型的孪生素数，以后称1-3型孪生素数）。如11、13去掉个位后分别是：1、1。也可以说“1”就是一个孪生素数（其实1也是三胞胎、四胞胎素数）。
2、新筛法：合数公式筛法
图二: （表中数字不含个位）
图2是用与图1同样的方法将个位为1和个位为3的合数公式同时筛选。列中没有数字的空列就是筛选后的非数列项，若某数字在个位为1和个位为3中均为非数列项。则显而易见该数字就是孪生素数。如1列、4列是空列，则加上相应的个位1、3后，则11、13；41、43分别组成两对孪生素数。
3、等差数列倍增规律：
似乎无人研
4、究过等差数列还有倍增规律（等差数列在两个方面均存在倍增规律），比如下面这个等差数列：
3、13、23、33、43、53、63、73、83。这是个标准的等差数列，自3开始到43共包含5个数列项36个非数列项。倍增后到第9项83，自43到83共包含5个数列项和36个非数列项。数列项数和非数列项数与前半部分是一样的。就是说等差数列增加一倍则等差数列中的数列项个数及非数列项个数亦增加一倍，这就是等差数列倍增规律。
多个等差数列合并后仍具有此规律。而合数、素数就是由若干等差数列合并后形成的。或者说，在较大的任意数N内含有a个素数，则在2N内应含有2a个素数。（因倍增点不在公共数列项上，故2N内应含有
5、大致2a个素数）
4、1-3型孪生素数猜想的证明
将个位为1和个位为3的五组合数公式逐个展开至数列项值不大于N。这时，每组都有若干数列，每个数列有若干数列项，最大值不大于N。同样方法，将数列项的值扩大到不大于2N，此时每组会增加约一倍数列，每个数列也会增加一倍数列项。根据合数公式可知各组数列中的第1个数列项也各构成一个等差数列（第二个数列项也是如此），如图1中的第5、6、7行中的首项6；15；24。我们在扩大数列项值到2N时，新增加的数列只有前两个数列项在2N以内，其余的均超出了2N范围。将这两列等差数列也同其他数列一样考虑，相当于在N之内的数列多了两行，而且不影响N内的孪生素数。这时，就
6、可以通过N之内的孪生素数个数a推导N-2N之间也存在大致a个孪生素数。这样在最大的孪生素数N到2N之间的不但存在1-3型孪生素数。而且其个数与N之内的1-3型孪生素数大致相同（真实数据参看此文最后的附表）。
证明：（用PP表示“孪生素数”）
假设N为最大PP，a为N内PP的个数。据等差数列倍增规律，若N内有a个PP，则N-2N中有大致a个PP。故N后有比N大的PP，假设不成立。
证毕。
按同样的方法可以证明：
1-3-7型三胞胎素数、1-3-7-9型四胞胎素数、1-7型六素数、3-9型六素数无限。其他组合均可按此法证明。
附孪生素数、三胞胎素数、四胞胎素数倍增比值表。其比值逐渐向2倍接近。
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