知识讲解 导数的计算 基础(1).doc

导数的计算

【学习目标】 1. 牢记几个常用函数的导数公式，并掌握其推导过程。
2. 熟记八个基本初等函数的导数公式，并能准确运用。
3. 能熟练运用四则运算的求导法则，
4. 理解复合函数的结构规律，掌握求复合函数的求导法则：“由外及内，层层求导”．
【要点梳理】
知识点一：基本初等函数的导数公式
（1）（C为常数），
（2）（n为有理数），
（3），
（4），
（5），
（6），
（7），
（8）， 。
要点诠释：
1．常数函数的导数为0，即C＇=0（C为常数）．其几何意义是曲线（C为常数）在任意点处的切线平行于x轴．
2．有理数幂函数的导数等于幂指数n与自变量的（n－1）次幂的乘积，即（n∈Q）．
特别地，。
3．正弦函数的导数等于余弦函数，即（sin x）＇=cos x．
4．余弦函数的导数等于负的正弦函数，即（cos x）＇=－sin x．
5．指数函数的导数：，．
6．对数函数的导数：，．
有时也把 记作：

以上常见函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可．
知识点二：函数的和、差、积、商的导数
运算法则：
（1）和差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数：（）
要点诠释：
1. 上述法则也可以简记为：
（ⅰ）和（或差）的导数：
推广：．
（ⅱ）积的导数：，
特别地：（c为常数）．
（ⅲ）商的导数：，
两函数商的求导法则的特例
，
当时，．
这是一个函数倒数的求导法则．

2．两函数积与商求导公式的说明
（1）类比：，（v≠0），注意差异，加以区分．
（2）注意：且（v≠0）．
3．求导运算的技巧
在求导数中，有些函数虽然表面形式上为函数的商或积，但在求导前利用代数或三角恒等变形可将函数先化简（可能化去了商或积），然后进行求导，可避免使用积、商的求导法则，减少运算量．
知识点三：复合函数的求导法则
1．复合函数的概念
对于函数，令，则是中间变量u的函数，是自变量x的函数，则函数是自变量x的复合函数．
要点诠释： 常把称为“内层”， 称为“外层” 。
2．复合函数的导数
设函数在点x处可导，，函数在点x的对应点u处也可导，则复合函数在点x处可导，并且，或写作．
3．掌握复合函数的求导方法
（1）分层：将复合函数分出内层、外层。
（2）各层求导：对内层，外层分别求导。得到
（3）求积并回代：求出两导数的积：，然后将，即可得到
的导数。
要点诠释： 1. 整个过程可简记为分层——求导——回代，熟练以后，可以省略中间过程。若遇多重复合，可以相应地多次用中间变量。
2. 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。
【典型例题】
类型一：求简单初等函数的导数
例1. 求下列函数的导数：
(1) (2) (3)（4）（5）
【解析】
(1) (x3)′=3x3－1=3x2；
(2) ()′=(x－2)′=－2x－2－1=－2x－3
(3)
（4）；
（5）；
【点评】（1）用导数的定义求导是求导数的基本方法，但运算较繁。利用常用函数的导数公式，可以简化求导过程，降低运算难度。
（2）准确记忆公式。
（3）根式、分式求导时，先将根式、分式转化为幂的形式。
举一反三：
【变式】求下列函数的导数：
(1)y = (2)y = （3）y=2x3―3x2+5x＋4 （4）；
【答案】
(1) y′=()′=(x－3)′=－3x－3－1=－3x－4
(2
（3）
（4）∵，∴.
类型二：求函数的和、差、积、商的导数
例2. 求下列函数导数：
(1) y＝3x2＋xcosx； (2)y＝； (3)y＝lgx－ex；（4）y=tanx.
【解析】
(1)y′＝6x＋cosx－xsinx.(2)y′＝.(3)y′＝(lgx)′－(ex)′＝－ex.
(4)=tanx+.
【点评】
（1）熟记基本初等函数的导数公式和灵活运用导数的四则运算法则，是求导函数的前提。
（2）先化简再求导，是化难为易，化繁为简的基本原则和策略。
举一反三：
【变式1】函数在处的导数等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
法一：

∴.
法二：∵
∴
∴.
【变式2】 求下列各函数的导函数
（1）y=(x+1)(x+2)(x+3)。 （2）y=x2sinx; （3）y=
【答案】
（1∵y=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6，∴y＇=3x2+12x+11。
（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx
（3）
=
=
【变式3】求下列函数的导数.
（1） y ＝（2 x2－5 x ＋1）ex；
（2）；
（3） y ＝
【答案】
（1） y′＝(2 x2－5 x ＋1)′e x ＋(2 x2－5 x ＋1) (e x )′
＝（4 x －5）e x ＋（2 x 2－5 x ＋1）e x
＝（2x 2－x －4）ex
（2），
∴.
（3）y′＝[(sin x －x cos x)′(cos x ＋x sin x)－(sin x －x cos x)·(cos x ＋x sin x)′]
＝[(cos x －cos x ＋x sin x) (cos x ＋x sin x)－(sin x －x cos x) (x cos x)]
＝＝
类型三：求复合函数的导数
例3求下列函数的导数：
　　（1）； （2）；
（3）； 　　　
【解析】
（1）设μ=1-3x，，则
　　 。
　　 （2）设，y=cosμ，则
　　 。
（3）设

【点评】
把一部分量或式子暂时当作一个整体，这个整体就是中间变量。求导数时需要记住中间变量，注意逐层求导，不能遗漏。求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数。
举一反三：
【变式】 求下列函数导数.
（1）； （2）； （3）.
【答案】
（1），
∴
（2），.
∴
（3），，
∴.
例4 求下列函数导数.
(1)； （2）； （3）
【解析】
(1) 令,,

（2）
　　 。
（3）设，μ=sinv，，则

　　 在熟练掌握复合函数求导以后，可省略中间步骤：

【点评】
（1）复合函数求导数的步骤是：
①分清复合关系，适当选定中间变量，正确分解复合关系（简称分解复合关系）；
②分层求导，弄清每一步中哪个变量对哪个变量求导数（简称分层求导）；
③将中间变量代回为自变量的函数。
简记为分解——求导——回代，当省加重中间步骤后，就没有回代这一步了，
即分解（复合关系）——求导（导数相乘）。
（2）同一个问题可有多种不同的求导方法，若能化简的式子，则先化简，再求导。
举一反三：
【变式1】 求y ＝sin4x ＋cos 4x的导数．
【答案】
解法一 y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22 x
＝1－（1－cos 4 x）＝＋cos 4 x．y′＝－sin 4 x．
解法二 y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′
＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x)
＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x
【变式2】求下列函数导数：
（1）；
（2）．求函数的导数（）。
【答案】 （1）设u=1－2x2，则。
∴
。
（2）．方法一：
。
方法二：∵，∴
。
类型四：利用导数求函数式中的参数
例5 （1），若，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
（2）设函数，若是奇函数，
则=________。
【解析】 （1）∵，
∴，∴，故选A。
（2）由于，
∴，
若是奇函数，则，即，
所以。
又因为，所以。
【点评】 求函数的导数的基本方法是利用函数的和、差、积、商的导数运算法则以及复合函数的导数运算法则，转化为常见函数的导数问题，再利用求导公式来求解即可。
举一反三：
【变式1】
已知函数过点（1，5），其导函数的图象
如图3-2-1所示， 求的解析式。
【答案】∵，
由，，，得
，解得，
∴函数的解析式为。
【变式2】已知是关于的多项式函数，
（1）若，求；
（2）若且，解不等式.
【解析】显然是一个常数，所以
所以，即
所以
∵，∴可设
∵ ∴
由，解得
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