集合、函数与导数测试题及详解答案.doc

专题一　集合、函数与导数测试题
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{1,3}，N＝{2,3,4}，则(∁UM)∩(∁UN)＝(　　)
A．{3}　　　　　　　　B．{4,6}C．{5,6} D．{3,6}
2．已知全集I＝R，若函数f(x)＝x2－3x＋2，集合M＝{x|f(x)≤0}，N＝{x|f′(x)<0}，则M∩∁IN＝(　　)
A. B.C. D.
3．设某种蜡烛所剩长度P与点燃时间t的函数关系式是P＝kt＋b.若点燃6分钟后，蜡烛的长为17.4 cm；点燃21分钟后，蜡烛的长为8.4 cm，则这支蜡烛燃尽的时间为(　　)
A．21分钟 B．25分钟
C．30分钟 D．35分钟
4．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“綈p且q”是真命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．a>1
5．幂函数f(x)＝xn(n＝1,2,3，，－1)具有如下性质：f2(1)＋f2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]，则函数f(x)(　　)
A．是奇函数B．是偶函数C．既是奇函数，又是偶函数D．既不是奇函数，又不是偶函数
6．(2012·潍坊模拟)已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是(　　)
A. B.C．[3,12] D.
7．设集合I是全集，A⊆I，B⊆I，则“A∪B＝I”是“B＝∁IA”的(　　)
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．若曲线xy＝a(a≠0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是(　　)
A．2a2 B．a C．2|a| D．|a|
9．(2012·天津模拟)定义在R上的函数f(x)满足(x－1)f′(x)≤0，且y＝f(x＋1)为偶函数，当|x1－1|<|x2－1|时，有(　　)
A．f(2－x1)>f(2－x2) B．f(2－x1)＝f(2－x2)
C．f(2－x1)．01.其中所有真命题的序号是(　　)
A．①② B．③④
C．②③④ D．①②④
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．
13．已知函数f(x)＝则f[f(－2 012)]＝________.
14．已知函数f(x)＝ln＋sinx，则关于a的不等式
f(a－2)＋f(a2－4)<0的解集是________．
15．已知函数f(x)＝mx2＋lnx－2x在定义域内是增函数，则实数m的取值范围为________．
16．(2011·扬州模拟)若函数f(x)＝x3－a2x满足：对于任意的x1，x2∈[0,1]都有|f(x1)－f(x2)|≤1恒成立，则a的取值范围是________．
17 (2012·安徽)设函数f(x)＝aex＋＋b(a>0)．
(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；
(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．

18设f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且当－1≤x<0时，f(x)＝2x3＋5ax2＋4a2x＋b.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当10}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B.
(1)求集合D(用区间表示)；
(2)求函数f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6ax在D内的极值点．

20 (2012·辽宁)设f(x)＝ln(x＋1)＋＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f(x)与直线y＝x在(0,0)点相切．
(1)求a，b的值；
(2)证明：当0的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，集合M＝{1,3}，N＝{2,3,4}，则(∁UM)∩(∁UN)＝(　　)
A．{3}　　　　　　　　　　 B．{4,6}
C．{5,6} D．{3,6}
解析　∁UM＝{2,4,5,6}，∁UN＝{1,5,6}，∴(∁UM)∩(∁UN)＝{5,6}，故选C.
答案　C
2．已知全集I＝R，若函数f(x)＝x2－3x＋2，集合M＝{x|f(x)≤0}，N＝{x|f′(x)<0}，则M∩∁IN＝(　　)
A. B.
C. D.
解析　由f(x)≤0解得1≤x≤2，故M＝[1,2]；f′(x)<0，即2x－3<0，即x<，故N＝(－∞，)，∁IN＝.故M∩∁IN＝.
答案　A
3．设某种蜡烛所剩长度P与点燃时间t的函数关系式是P＝kt＋b.若点燃6分钟后，蜡烛的长为17.4 cm；点燃21分钟后，蜡烛的长为8.4 cm，则这支蜡烛燃尽的时间为(　　)
A．21分钟 B．25分钟
C．30分钟 D．35分钟
解析　由，解得k＝－0.6，b＝21，由0＝－0.6t＋21，解得t＝35.
答案　D
4．已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”．若命题“綈p且q”是真命题，则实数a的取值范围为(　　)
A．a≤－2或a＝1 B．a≤－2或1≤a≤2
C．a≥1 D．a>1
解析　命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，∴a≤x2在[1,2]上恒成立，∴a≤1，∴綈p为a>1.
命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，∴方程有解，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，a2＋a－2≥0，∴a≥1或a≤－2.
若命题“綈p且q”是真命题，则a>1，故选D.
答案　D
5．(2012·山东肥城模拟)幂函数f(x)＝xn(n＝1,2,3，，－1)具有如下性质：f2(1)＋f2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]，则函数f(x)(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数，又是偶函数
D．既不是奇函数，又不是偶函数
解析　由f2(1)＋f2(－1)＝2[f(1)＋f(－1)－1]⇒n＝2，f(x)＝x2为偶函数，所以选B.
答案　B
6．(2012·潍坊模拟)已知函数f(x)＝x3＋2bx2＋cx＋1有两个极值点x1、x2，且x1∈[－2，－1]，x2∈[1,2]，则f(－1)的取值范围是(　　)
A. B.
C．[3,12] D.
解析　f′(x)＝3x2＋4bx＋c，由题意，得

f(－1)＝2b－c，当直线z＝2b－c过A时f(－1)取最小值3，当直线过B时取最大值12，故选C.
答案　C
7．设集合I是全集，A⊆I，B⊆I，则“A∪B＝I”是“B＝∁IA”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析　由B＝∁IA⇒A∪B＝I，而A∪B＝IB＝∁IA，故“A∪B＝I”是“B＝∁IA”的必要不充分条件．
答案　B
8．若曲线xy＝a(a≠0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是(　　)
A．2a2 B．a2
C．2|a| D．|a|
解析　设切点坐标为(x0，y0)，曲线方程即y＝，y′＝－，故切线斜率为－，切线方程为y－＝－(x－x0)．令y＝0，得x＝2x0，即切线与x轴的交点A的坐标为(2x0,0)；令x＝0，得y＝，即切线与y轴的交点B的坐标为(0，)．故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×|2x0|||＝2|a|.
答案　C
9．(2012·天津模拟)定义在R上的函数f(x)满足(x－1)f′(x)≤0，且y＝f(x＋1)为偶函数，当|x1－1|<|x2－1|时，有(　　)
A．f(2－x1)>f(2－x2) B．f(2－x1)＝f(2－x2)
C．f(2－x1)x)的图象关于直线x＝1对称．
由|x1－1|<|x2－1|⇒(x1－x2)(x1＋x2－2)<0⇒或
若则x2>1.此时，当x1>1，则f(x1)>f(x2)，即f(2－x1)>f(2－x2)；
当x1<1⇒2－x1>1，又x2>2－x1⇒f(2－x1)>f(x2)，即f(2－x1)>f(2－x2)．
同理，当时，也有上述结论．
答案　A
10．如图所示，点P在边长为1的正方形的边上运动，设M是CD边的中点，则当点P沿着A－B－C－M运动时，以点P经过的路程x为自变量，三角形APM的面积函数的图象的形状大致是(　　)

解析　y＝选A.
答案　A
11．已知函数f(x)＝在[1，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．0两个对称中心的距离为π；
②函数y＝的图象关于点(－1,1)对称；
③关于x的方程ax2－2ax－1＝0有且仅有一个实数根，则实数a＝－1；
④已知命题p：对任意的x∈R，都有sinx≤1，则綈p：存在x∈R，使得sinx>1.其中所有真命题的序号是(　　)
A．①② B．③④
C．②③④ D．①②④
解析　①函数y＝cos(x－)cos(x＋)＝cos2x，相邻两个对称中心的距离为d＝＝，故①不正确；②函数y＝的图象对称中心应为(1,1)，故②不正确；③正确；④正确．
答案　B
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填在题中的横线上．
13．已知函数f(x)＝则f[f(－2 012)]＝________.
解析　f[f(－2 012)]＝f[f(－2 010)]＝f[f(－2 008)]＝f[f(－2 006)]＝…＝f[f(0)]＝f(2)＝22－4＝0.
答案　0
14．已知函数f(x)＝ln＋sinx，则关于a的不等式
f(a－2)＋f(a2－4)<0的解集是________．
解析　已知f(x)＝ln＋sinx是奇函数，
又f(x)＝ln＋sinx＝ln＋sinx＝
ln(－－1)＋sinx，因此f(x)在(－1,1)上单调递增，故f(x)是(－1,1)上的增函数．由已知得f(a－2)<
－f(a2－4)，即f(a－2)0恒成立，m≥－2＋，令g(x)＝－2＋，则当＝1时，函数g(x)取得最大值1，故m≥1.
答案　[1，＋∞)
16．(2011·扬州模拟)若函数f(x)＝x3－a2x满足：对于任意的x1，x2∈[0,1]都有|f(x1)－f(x2)|≤1恒成立，则a的取值范围是________．
解析　问题等价于在[0,1]内f(x)max－f(x)min≤1恒成立．f′(x)＝x2－a2，函数f(x)＝x3－a2x的极小值点是x＝|a|，若|a|>1，则函数f(x)在[0,1]上单调递减，故只要f(0)－f(1)≤1即可，即a2≤，即1<|a|≤；若|a|≤1，此时f(x)min＝f(|a|)＝|a|3－a2|a|＝－a2|a|，由于f(0)＝0，f(1)＝－a2，故当|a|≤时，f(x)max＝f(1)，此时只要－a2＋a2|a|≤1即可，即a2≤，由于|a|≤，故|a|－1≤×－1<0，故此式成立；当<|a|≤1时，此时f(x)max＝f(0)，故只要a2|a|≤1即可，此式显然成立．故a的取值范围是.
答案　
三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)
(2011·广东惠州模拟)统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为：y＝x3－x＋8(0耗油17.5升．
(2)当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为h(x)升，依题意得
h(x)＝·＝x2＋－(00，h(x)是增函数．
∴当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25.
∵h(x)在(0,120]上只有一个极值，∴它是最小值．
答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为11.25升．
18．(本小题满分12分)
(2012·安徽)设函数f(x)＝aex＋＋b(a>0)．
(1)求f(x)在[0，＋∞)内的最小值；
(2)设曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
解　(1)f′(x)＝aex－.
当f′(x)>0，即x>－lna时，f(x)在(－lna，＋∞)上递增；
当f′(x)<0，即x<－lna时，f(x)在(－∞，－lna)上递减．
①当00，f(x)在(0，－lna)上递减，在(－lna，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(－lna)＝2＋b；
②当a≥1时，－lna≤0，f(x)在[0，＋∞)上递增，从而f(x)在[0，＋∞)上的最小值为f(0)＝a＋＋b.
(2)依题意f′(2)＝ae2－＝，
解得ae2＝2或ae2＝－(舍去)．
所以a＝，代入原函数可得2＋＋b＝3，即b＝.
故a＝，b＝.
19．(本小题满分12分)
设f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且当－1≤x<0时，f(x)＝2x3＋5ax2＋4a2x＋b.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当10.
∴f(x)＝
(2)当00，当x∈时，f′(x)<0，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减，
∴g(a)＝f＝a3－b.
②当1≤≤2，即≤a≤3时，f′(x)≥0，
∴f(x)在(0,1]上单调递增．
∴g(a)＝f(1)＝4a2－5a＋2－b，
∴g(a)＝.
20．(本小题满分12分)
(2012·广东)设a<1，集合A＝{x∈R|x>0}，B＝{x∈R|2x2－3(1＋a)x＋6a>0}，D＝A∩B.
(1)求集合D(用区间表示)；
(2)求函数f(x)＝2x3－3(1＋a)x2＋6ax在D内的极值点．
解　(1)在集合B中，Δ＝9(1＋a)2－48a＝9(a－3)，而a<1，A＝R*，
①当Δ>0时，得a<或a>3，即a<时，由2x2－3(1＋a)x＋6a＝0，解得x1＝，x2＝，
若x1<0，即1＋a< ，得a<0，
若x2<0，即(1＋a)＋ <0，无解，
∴当a<0时，x1<0当x1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当a0，即x2>1，
此时f(x)在D＝(x2，＋∞)上无极值点；
②当0时，f(x)在D上无极值点；当00时，22，
故<＋1.
记h(x)＝f(x)－，则
h′(x)＝＋－＝－<－＝
令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当00时，2<0，即ln(x＋1)0时，f(x))的单调区间；
(2)试确定a的取值范围，使得曲线y＝f(x)上存在唯一的点P，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P?
解　(1)由于f′(x)＝ex＋2ax－e，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处切线斜率k＝2a＝0，
所以a＝0，即f(x)＝ex－ex.
此时f′(x)＝ex－e，由f′(x)＝0得x＝1.当x∈(－∞，1)时，有f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，有f′(x)>0.
所以f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)设点P(x0，f(x0))，曲线y＝f(x)在点P处的切线方程为y＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)，

令g(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)，故曲线y＝f(x)在点P处的切线与曲线只有一个公共点P等价于函数g(x)有唯一零点．
因此g(x0)＝0，且g′(x)＝f′(x)－f′(x0)＝ex－ex0＋2a(x－x0)．
(1)若a≥0，当x>x0时，g′(x)>0，则x>x0时，g(x)>g(x0)＝0；
当x得x＝ln(－2a)，记x*＝ln(－2a)，
则当x∈(－∞，x*)时，h′(x)<0，从而h(x)在(－∞，x*)内单调递减；
当x∈(x*，＋∞)时，h′(x)>0，从而h(x)在(x*，＋∞)内单调递增．
①若x0＝x*，由x∈(－∞，x*)时，g′(x)＝h(x)>h(x*)＝0；x∈(x*，＋∞)时，g′(x)＝h(x)>h(x*)＝0.知g(x)在R上单调递增．
所以函数g(x)在R上有且只有一个零点x＝x*.
②若x0>x*，由于h(x)在(x*，＋∞)内单调递增，且h(x0)＝0，则当x∈(x*，x0)时有g′(x)＝h(x)g(x0)＝0；任取x1∈(x*，x0)有g(x1)>0.
又当x∈(－∞，x1)时，易知g(x)＝ex＋ax2－(e＋f′(x0))x－f(x0)＋x0f′(x0)，可证函数g(x)在R上至少有两个零点．
综上所述，当a<0时，曲线y＝f(x)上存在唯一点P(ln(－2a)，f(ln(－2a)))，曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.

高考资源网
w。w-w*k&s%5￥u

高考资源网
w。w-w*k&s%5￥u

- 17 -