2015高考数列求和专项训练.doc

数列求和专项训练
1．（2011•重庆）设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．
分析：（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式
（Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn．
解答：解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列
∴设其公比为q，q＞0
∵a3=a2+4，a1=2
∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1
∵q＞0
∴q=2
∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n
（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列
∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1
∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2

2．（2011•辽宁）已知等差数列{an}满足a2=0，a6+a8=﹣10
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）求数列{}的前n项和．
分析：（I）
根据等差数列的通项公式化简a2=0和a6+a8=﹣10，得到关于首项和公差的方程组，求出方程组的解即可得到数列的首项和公差，根据首项和公差写出数列的通项公式即可；
（II）
把（I）求出通项公式代入已知数列，列举出各项记作①，然后给两边都除以2得另一个关系式记作②，①﹣②后，利用an的通项公式及等比数列的前n项和的公式化简后，即可得到数列{}的前n项和的通项公式．
解答：解：（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得，
解得：，
故数列{an}的通项公式为an=2﹣n；
（II）设数列{}的前n项和为Sn，即Sn=a1++…+①，故S1=1，
=++…+②，
当n＞1时，①﹣②得：
=a1++…+﹣
=1﹣（++…+）﹣
=1﹣（1﹣）﹣=，
所以Sn=，
综上，数列{}的前n项和Sn=．是一道中档题．

3．（2011•安徽）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作Tn，再令an=lgTn，n≥1．
（I）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=tanan•tanan+1，求数列{bn}的前n项和Sn．
分析：（I）根据在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，我们易得这n+2项的几何平均数为10，故Tn=10n+2，进而根据对数的运算性质我们易计算出数列{an}的通项公式；
（II）根据（I）的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列{bn}的每一项拆成的形式，进而得到结论．
解答：解：（I）∵在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，
又∵这n+2个数的乘积计作Tn，
∴Tn=10n+2
又∵an=lgTn，
∴an=lg10n+2=n+2，n≥1．
（II）∵bn=tanan•tanan+1=tan（n+2）•tan（n+3）=，
∴Sn=b1+b2+…+bn=[]+[]+…+[]
=
点评：本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这n+2项的几何平均数为10，是解答本题的关键．

4．（2010•四川）已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为﹣4．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=（4﹣an）qn﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．
分析：（1）设{an}的公差为d，根据等差数列的求和公式表示出前3项和前8项的和，求的a1和d，进而根据等差数列的通项公式求得an．
（2）根据（1）中的an，求得bn，进而根据错位相减法求得数列{bn}的前n项和Sn．
解答：解：（1）设{an}的公差为d，
由已知得
解得a1=3，d=﹣1
故an=3+（n﹣1）（﹣1）=4﹣n；
（2）由（1）的解答得，bn=n•qn﹣1，于是
Sn=1•q0+2•q1+3•q2+…+（n﹣1•qn﹣1+n•qn．
若q≠1，将上式两边同乘以q，得
qSn=1•q1+2•q2+3•q3+…+（n﹣1）•qn+n•qn+1．
将上面两式相减得到
（q﹣1）Sn=nqn﹣（1+q+q2+…+qn﹣1）
=nqn﹣
于是Sn=
若q=1，则Sn=1+2+3+…+n=
所以，Sn=．

5．（2010•四川）已知数列{an}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2am+n﹣1+2（m﹣n）2
（1）求a3，a5；
（2）设bn=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{bn}是等差数列；
（3）设cn=（an+1﹣an）qn﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{cn}的前n项和Sn．
分析：（1）欲求a3，a5只需令m=2，n=1赋值即可．
（2）以n+2代替m，然后利用配凑得到bn+1﹣bn，和等差数列的定义即可证明．
（3）由（1）（2）两问的结果可以求得cn，利用乘公比错位相减求{cn}的前n项和Sn．
解答：解：（1）由题意，令m=2，n=1，可得a3=2a2﹣a1+2=6
再令m=3，n=1，可得a5=2a3﹣a1+8=20
（2）当n∈N*时，由已知（以n+2代替m）可得
a2n+3+a2n﹣1=2a2n+1+8
于是[a2（n+1）+1﹣a2（n+1）﹣1]﹣（a2n+1﹣a2n﹣1）8
即bn+1﹣bn=8
所以{bn}是公差为8的等差数列
（3）由（1）（2）解答可知{bn}是首项为b1=a3﹣a1=6，公差为8的等差数列
则bn=8n﹣2，即a2n+1﹣a2n﹣1=8n﹣2
另由已知（令m=1）可得
an=﹣（n﹣1）2．
那么an+1﹣an=﹣2n+1
=﹣2n+1=2n
于是cn=2nqn﹣1．
当q=1时，Sn=2+4+6++2n=n（n+1）
当q≠1时，Sn=2•q0+4•q1+6•q2++2n•qn﹣1．
两边同乘以q，可得
qSn=2•q1+4•q2+6•q3++2n•qn．
上述两式相减得
（1﹣q）Sn=2（1+q+q2++qn﹣1）﹣2nqn
=2•﹣2nqn
=2•
所以Sn=2•
综上所述，Sn=
点评：本小题是中档题，主要考查数列的基础知识和化归、分类整合等数学思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力．同时考查了等差，等比数列的定义，通项公式，和数列求和的方法．

6．（2010•陕西）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项；
（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn．
分析：（I）由题意可得a32=a1•a9=a9，从而建立关于公差d的方程，解方程可求d，进而求出通项an
（II）由（I）可得，代入等比数列的前n项和公式可求Sn
解答：解（Ⅰ）由题设知公差d≠0，
由a1=1，a1，a3，a9成等比数列得=，
解得d=1，d=0（舍去），故{an}的通项an=1+（n﹣1）×1=n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知{2}^{{a}_{n}}={2}^{n}，由等比数列前n项和公式得
Sm=2+22+23+…+2n==2n+1﹣2．
点评：本题考查了等差数列及等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于基本公式的简单运用．

7.(2009山东)等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.
（1）求r的值；
（11）当b=2时记 求数列的前项和
解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,
当时,,
当时,,
又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以
（2）当b=2时，,
则

相减,得

所以

8．（2009•湖北）已知数列{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a2a6=55，a2+a7=16
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{an}和数列{bn}满足等式an=（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Sn．
分析：（1）设等差数列{an}的公差为d，分别表示出a2a6=55，a2+a7=16联立方程求得d和a1进而根据等差数列通项公式求得an．
（2）令cn=，则有an=c1+c2+…+cn，an+1=c1+c2+…+cn+1两式相减得cn+1等于常数2，进而可得bn，进而根据b1=2a1求得b1则数列{bn}通项公式可得，进而根据从第二项开始按等比数列求和公式求和再加上b1．
解答：解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
则依题意可知d＞0由a2+a7=16，
得2a1+7d=16①
由a2a6=55，得（a1+2d）（a1+5d）=55②
由①②联立方程求得
得d=2，a1=1或d=﹣2，a1=（排除）
∴an=1+（n﹣1）•2=2n﹣1
（2）令cn则有an=c1+c2+…+cn
an+1=c1+c2+…+cn+1
两式相减得
an+1﹣an=cn+1，由（1）得a1=1，an+1﹣an=2
∴cn+1=2，即cn=2（n≥2），
即当n≥2时，
bn=2n+1，又当n=1时，b1=2a1=2
∴bn=
于是Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+23+24+…2n+1=2n+2﹣6
点评：本题主要考查等差数列的性质和等比数列的性质．考查了对数列问题的综合把握．

9．（2009•北京）设数列{an}的通项公式为an=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{bn}定义如下：对于正整数m，bm是使得不等式an≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若，求b3；
（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{bm}的前2m项和公式；
解答：解：（Ⅰ）由题意，得，
解，得．
∴成立的所有n中的最小正整数为7，即b3=7．

（Ⅱ）由题意，得an=2n﹣1，
对于正整数m，由an≥m，得．
根据bm的定义可知
当m=2k﹣1时，bm=k（k∈N*）；
当m=2k时，bm=k+1（k∈N*）．
∴b1+b2++b2m=（b1+b3++b2m﹣1）+（b2+b4++b2m）=（1+2+3++m）+[2+3+4++（m+1）]=．

10．（2008•陕西）已知数列{an}的首项，，n=1，2，3，…．

（Ⅰ）证明：数列是等比数列；
（Ⅱ）求数列的前n项和Sn．
考点：数列递推式；等比关系的确定；数列的求和。
分析：（1）化简构造新的数列 ，进而证明数列是等比数列．
（2）根据（1）求出数列的递推公式，得出an，进而构造数列，求出数列的通项公式，进而求出前n项和Sn．
解答：解：（Ⅰ）由已知：，
∴，（2分）
∴，
又，∴，（4分）
∴数列是以为首项，为公比的等比数列．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
即，∴．（8分）
设，①
则，②
由①﹣②得：，（10分）
∴．又1+2+3+．（12分）
∴数列的前n项和：．（14分）
点评：此题主要考查通过构造新数列达到求解数列的通项公式和前n项和的方法．

11.（2005北京）数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，，n=1，2，3，……，求
（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；
（II）的值.
解：（I）由a1=1，，n=1，2，3，……，得
，，，
由（n≥2），得（n≥2），
又a2=，所以an=(n≥2),
∴ 数列{an}的通项公式为