第四章 平面向量.doc

第四章 平面向量
§4.1 向量的概念及表示
一、 向量的概念及表示
1、 向量……
2、 向量的表示方法……

3、 向量的长度（大小）……
4、 零向量……
5、 单位向量……

二、 共线向量
1、 平行向量……

2、 相等向量……

3、 相向向量……

4、 共线向量……

三、 例题与练习
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心（如图），
在图示的向量中试写出（1）与EF共线的向量；
（2）与EF相等的向量；（3）与EF相等的向量。

例2：在图中的4×5方格纸中有一个AB，分别以
图中的格点为起点和终点作向量，问：（1）与AB
相等的向量有多少个？（2）与AB的模相等的共
线向量有多少个？

作业：
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1、在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中是向量的为 。
2、下列结论：（1）若两个向量相等，则它们的起点、终点分别重合；（2）模相等的两个平行向量相等：（3）若a和b都是单位向量，则a=b；（4）两个相等向量的模相等。其中正确的是 。
3、下列结论（1）（4）单位向量都相等；；（6）若，则：。其中正确的是 。
4、已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，
B，C，D这五点中任意一点为起点，另一点为终点的所
有向量中，写出：（1）与BC相等的向量；（2）与OB
长度相等的向量；（3）与DA共线的向量。

5、 如图，O为正方形ABCD的两对角线的交战交点，四
边形OAED，OCFB都是正方形，在图示的向量中分别写
出：（1）与A0，BO相等的向量；（2）与AO共线的向量；
（3）与AO模相等的向量。

6、 如图，点D，E，F分别为三角形ABC的边AB，BC，CA
的中点，（1）在图示的向量中分别写出与ED，DF，FE相等的
向量；2）写出图中模相等的向量。

§4.2 向量的加法
一、 向量的加法
1、（如图）已知向量a和b，在平面内任取一点O，
作OA=a，AB=b，则向量OB叫做a与b的和,记
作 ，即：
。求两个向量的和的运算叫做向量的加法。
2、向量的加法律

3、向量加法的三角形法则： 。
4、向量加法的封闭性法则： 。
注：

5、向量加法的平行四边形法则：
对于两个不共线的非零向量a,b，任取平面内一点O，
过点O作OA=a，OB=b，以OA、OB为邻边作平行
四边形OACB，则OC= ，我们把这种方
法叫做向量加法的平行四边形形法则。
注：

二、 例题与练习
例1：化简下列各式
（1）AB+BC+CD+DA （2）AB+DF+CD+BC+FA
（3）（AB+MB）+（BO+BC）+OM

例2：如图，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列
式：（1）OA+OC+BO；（2）BC+FE+DA；（3）OA+FE。

作业：
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1、已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列结论中正确的是 （ ）
A、AB+CB=AC B、AB+AD=AC
C、AD+CD≠BD D、AO+CO+OB+OD ≠0
2、在边长为1的正方形ABCD中， 。
2、 化简下列各式
（1）AB+DA +CD +BC （2）AB+FA +BC +DF+CD
（3）（AB+MB）+BO +OM +BC

3、在正六边形ABCDEF中 ，试求：AB+
CD+EF。

4、如图，点D，E，F分别是三角形ABC
的三边的中点，分别求：BD+CE+AF，
AD+BE+CF。

§4.3 向量的减法
一、向量的减法
1、 向量的减法……向量的减法是向量的加法的逆运算，即若，则称为
，记为 ，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
例1：如图，已知向量不共线，求作向量。

2 向量的减法的几何意义……
。
注：

三、 例题与练习
例2：化简下列各式
（1）AB+CB+BD—AD （2）OA+OC+BO+CO

例3：若OD+OE=OM，判断下列结论是否正确：
（1）OM—OE=OD； （2）OM+DO=OE；
（3）OD+EO=OM； （4）DO+EO=MO

例4：若非零向量和互为相反向量，下列说法：（1），（2），（3）
（4），其中错误的是 。
例5：如图，O是平行四边形ABCD的对角线的交点，
若试证明：

作业：
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1、在平行四边形ABCD中，若用表示向量AC，DB应该是
；
2、 D是三角形ABC的边BC的中点，若则：
； 。
3、已知向量与共线，且，则 。
4、化简下列各式
（1）（AB+CD）+（BC—AD） （2）—OA—OC+OB—CO
(2)MP-MQ+PR

6、 如图，O为正六边形ABCDEF的中心，设
，试用表示下列式子：
（1） AB—BC；（2）DC—DO—EO。

§4.4 向量的加法、减法习题课
一、 向量模的三角不等式
向量模的三角不等式…… 。
二、例题与练习
例1：判断下列命题的真假
（1）所有单位向量都相等。
（2）若且，则。
（3）若且，则。
（4）已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，若AO+OD=BO+OC，则四边形ABCD是平行四边形。
（5）在平行四边形ABCD中，AB+BC=AD+BA。
例2：（1）在边长为1的正方形ABCD中，设则：=
；= 。
（2）在三角形ABC中，若，则，则∠BAC= 。
例3：已知三角形ABC中，∠C=，AC=BC，判断下列等式是否成立
（1）； （2）；
（3）； （4）。

例4：在正常三角形ABC中，判断下列等式否成立
（1）； （2）；
（3）；（4）。

§4.5 向量的数乘
一、向量的数乘
1、实数与向量的积是一个 ，记作 ，它的长度与方向规定如下：
（1） ；（2）当时，与方向 ；当时，与方向 ；当时，= 。实数与向量相乘，叫做向量的数乘。
2、向量的数乘的运算律

二、 例题与练习
例1：已知向量与，求作向量：2，—3，。

例2：化简
（1）；（2）。

例3：如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为
DC、BC的中点，设，试用
表示AM、AN。

例4、如图，D、E、F分别是三角形ABC的边BC、
CA、AB的中点，求证：AD+BE+CF=0

作业：
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1：化简
(1) (2)
(3)

2已知向量，试用表示。

3、 已知向量，且，求向量：。

4、 如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC
的中点，求证：

§4.6 向量的共线定理
一、向量的共线定理
1、例1：如图，D，E分别是三角形ABC的边AB，AC
的中点，求证：ED与BC共线，并用BC表示ED。

2、向量的共线定理
如果，则 ，反之若与共线，那么
。
三、 例题与练习
例2：（1）已知是单位向量，向量的模是2，且，则： ；
（2） 已知点C是直线AB上的一点，且AB=2BC，试用AB分别表示AC。

例3：（1）已知向量求证：与是共线向量。
（2）已知，求证：M，P，Q三点共线。

例4：在三角形ABC中已知，
试用表示DE。

作业：
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1、（1）已知，，且，则： ；
（2）已知点C是直线AB上的一点，且AB=2BC，试用AB分别表示CB。

2、（1）已知向量，求证：与是共线向量。
（2）已知，求证：M，P，Q三点共线。

3、 如图，点P、Q是线段AB的三等分点，已知
试用：表示OP，OQ。

§4.7 平面向量的基本定理
一、平面向量的基本定理
1、平面向量的基本定理……如果是平面内两个不共线的向量，那么对于平面内的任一向量，有且只有一对实数，使：。我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组底。
2、一个平面向量用一组基底表示成的形式，我们称它为向量的分解，当向量所在的直线互相垂直时，这种分解称为向量的正交分解。
二、例题与练习
例1：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交
于点O，设AB=a，AD=b，试用a,b表示OC，OA，
OB，OD。

例2：已知是平面内的一组基底，如果，，
，求证：A，B，D共线。

例3：（1）已知是不共线的向量，若实数满足：=
，试求：。
（2）、已知是平面内的一组基底，若：，求：k。

作业：
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1、（1）已知是不共线的向量，若实数满足：=
，则： ；
（2）、已知是平面内的一组基底，若：，则：k= 。
2、已知是平面内的一组基底，若：，试求实数a,b满足的关系。

3、 在三角形ABC中，D，E，F依次是边BC的
四等分点，设，试求：AF。

4、 如图，在正六边形ABCDEF中，，
试求：AB，AD，AF。

§4.8 平面向量的坐标运算
一、 平面向量的坐标表示
1、在平面直角坐标系中，分别取与轴，轴方向相同的两个单位向量作为基底，对于平面上的向量，由平面向量的基本定理可知：有且只有一对有序数对使得，则有序数对称为向量的直角坐标，记作： 。
2、若A，则：OA= 。
二、 平面向量的坐标运算
已知：，则：
三、 例题与练习
例1：在直角坐标系中，A（—1，3），B（1，—3），C（4，1），D（3，4），求：
OA，OB，CO，DC。

例2、求与向量=（12，5）平行的单位向量。

例3：平行四边形ABCD的顶点A（1，1），B（—3，—1），C（3，2），求点D。

例4：已知，点P是直线上一点且，求点P的坐标。

作业：
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1、已知向量则： ； ；
= ；= 。
2、在直角坐标系中，A（—1，3），B（1，—3），则：BA= 。
3、在直角坐标系中，A（2，—1），B（—4，8），且AB+3BC=0，试求点C的坐标。

4、在直角坐标系中，A（1，2），B（3，2），，若，试求：a。

5、 求与向量=（3，—4）平行的单位向量。

6、平行四边形ABCD的顶点A（2，1），B（—1，3），C（3，4），求点D。

§4.9 向量平行的坐标表示
一、 向量平行的坐标表示
例1：（1）已知向量，问向量是否平行？
（2）已知，若，研究它们的坐标满足的关系。
（3）已知，若，问是否有？
向量平行的坐标表示……若，则。
二、 例题与练习
例1：下列向量中哪些可以作为平面向量的一组基底
（1）；（2）3）。

例2：已知向量OA，OB=，OC=。当分别为取何值时：
（1） OA//OB；（2）OA与OB同向；（3）（2OB-OC）//（OA+OB）；（4）A、B、C共线。

例3：已知A（1，0），B（4，3），C（2，4），D（0，2），求证：四边形ABCD是梯形。

作业：
国际部10 班 姓名
1：下列向量中哪些可以作为平面向量的一组基底
（1）；（2）；（3）。

2：已知向量OA，OB=，OC=。当分别为取何值时：
（2） OA//OB2）OA与OB同向；（3）（2OB-OC）//（OA+OB）；（4）A、B、C共线。

3：已知A（0，1），B（3，4），C（4，2），D（2，0），求证：四边形ABCD是梯形。

§4.10 向量的数量积（一）
一、 向量的数量积
1、两向量的夹角……对于两个非零向量和，作
，则：∠AOB=叫
做向量和的夹角。当与同向时，= ；当与反向时，= ；当时，称与垂直，记作 。
2、向量的数量积……已知非零向量和的夹角为，称 为与的数量积，记作 ，即 。规定 。
3、向量的数量积的运算律

注：
二、 例题与练习
例1：已知向量和的夹角为，分别求：（1）；
（2）；（3）⊥。

例1：已知向量和的夹角为，求：（1）；
（2）；（3）。

例3：（1）在正三角形ABC中，求：；
（2）在三角形ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，求：。
作业：
国际部10 班 姓名
1、已知向量和的夹角为，当=0时，= ；
当=时，= 当=时，= ；当=时，= ；
当=时，= ；当=时，= ；当=时，= 。
2、（1）已知则与的夹角= ；
（2）已知与的夹角为，则 。
3、分别根据下列条件求：
（1）△ABC是边长为2的正△；（2）在菱形ABCD中，边长为2，∠BAD=。

4、已知向量和的夹角为，求：（1）；
（2）；（3）。

§4.11 向量的数量积（二）
一、 向量的数量积的有关运算律
1、
2、 即 。
3、 ； 。
二、例题与练习
例1：已知向量和的夹角为，。求：（1）；（2）；（3）。

例2：已知求：（1）；（2）向量和的夹角的余弦值。

例3：已知和是夹角为的两个单位向量，，，求：
（1）；（2）求证：⊥。

例4：判断下列例题的真假
（1）；（2）；（3）若则：或；
（4）若则：；（5）若则：。

作业：
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1：已知向量和的夹角为，。求：（1）；（2）；（3）。

2：已知求：（1）2）向量和的夹角的余弦值。

3：已知和是夹角为的两个单位向量，，，求：
（1）；（2）求证：⊥。

4、 已知，求与的夹角。

§4.12 向量的数量积（三）
一、向量的数量积的坐标表示
已知向量，则：（1） ，
特别地：；（2）；（3）⊥
。
二、 例题与练习
例1：（1）已知，求：。

例2：求向量的夹角
（1）， （2），。

例3：求与向量，（1）平行的单位向量；（2）垂直的单位向量。

例4：在△ABC中，已知，且△ABC是直角三角形，试求k的值。

作业：
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1、已知，求：。

2、求向量的夹角
（1）， （2），。

3、在直角坐标系中，，求证：△ABC是等腰直角三角形。

4已知，⊥，且，求向量的坐标。

5、 已知A（1，0），B（0，1），C（2，5）求：（1）的模；（2）

§4.13 向量的数量积（四）
一、 知识点
1、 2、 3、
二、例题与练习
例1：（1）已知求的夹角；
（2）已知，的夹角为，求：；
（3）已知是非零向量，且，求证：⊥。

例2：在平面直角坐标系中，A（-1，8），B（-4，1），C（1，3），求：
（1）的值；（2）∠ACB的大小。

例3：已知，（1）；（2）为何值时，与垂直；（3）为何值时，与平行。

例4：已知若与的夹角为钝角，求实数x的取值范围。

作业：
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1、在平面直角坐标系中，A（-2，16），B（-8，2），C（2，6），求：
（1）的值；（2）∠ACB的大小。

2、已知，（1）；（2）为何值时，与垂直；（3）为何值时，与平行。

3、已知A（a,1）,B(3,5),C(7,3),D(b,-1)是菱形的四个顶点，求实数的值。

4、已知若与的夹角为锐角，求实数x的取值范围。
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