基于主成分分析的经验模态分解消噪方法.doc

王文波 等:基于主成分分析的经验模态分解消噪方法

基于主成分分析的经验模态分解消噪方法

摘 要: 针对非线性非平稳信号的去噪问题,提出一种基于主成分分析(PCA)的经验模态分解(EMD)消噪方法.该方法根据EMD的分解特性,利用PCA对噪声信号经EMD分解后的内蕴模态函数(IMF)进行去噪处理：首先利用 “3法则”对第一层IMF进行细节信息提取,并估计每层IMF中所含噪声的能量；然后对IMF进行PCA变换,根据IMF中所含噪声的能量选择合适数目的主成分分量进行重构,以去除IMF中的噪声.为验证本文方法的有效性,进行了数字仿真与实例应用实验. 实验结果均表明,所提方法的消噪效果整体上优于Bayesian小波阈值消噪方法和基于模态单元的EMD阈值消噪方法,是一种有效的信号消噪新方法.
关键词: 经验模态分解; 信号消噪; 主成分分析; 噪声能量
Empirical Mode Decomposition De-noising Method Based on Principal component Analysis*
Abstract: In order to solve the problem of nonlinear and nonstationary signal de-noising, a novel de-noising method is proposed by combining the principal component analysis(PCA) and empirical mode decomposition(EMD). The method removes noise of intrinsic mode functions(IMFs) using PCA, after the noisy signal is decomposed by EMD. Firstly, the signal details of the first IMF are extracted by using of 3 criterion, and the noise energy of each level IMF is estimated. Secondly, the PCA is implementated on each IMF, and the part of principle components are selected to reconstruct the IMF according with noise energy of IMFs, then the noise of IMF is removed efficiently. Numercial simulation and real data test were carried out to evluate the performance of the proposed method. The experimental results showed that the proposed method outperformed the Baysian wavelet threshold de-noising algorithm and mode cell EMD de-noising algorithm in whole, so it is a novel effective signal de-noising method.
Key words: empirical mode decomposition; signal de-noising; principle component analysis; noise energy
中图法分类号: TP301　　　文献标识码: A
从被噪声污染的信号中对原信号进行复原是信号处理中的经典问题之一,特别是在加性高斯白噪声条件下,提出了很多算法,例如中值滤波、Wiener滤波、小波滤波等[1].小波分析由于良好的时频分析特性,在信号去噪中得到了广泛的应用[2,3],但在应用小波变换对信号去噪时,需要预先选定小波基和分解的层数.已有的研究表明[4,5],相同条件下选用不同的小波基和分解层数,对去噪结果影响很大特别是小波基函数的选择,对去噪结果有决定性的影响.这给利用小波进行信号去噪带来了很大的不便.近年来,为了分析非线性和非稳态信号,Huang等人提出了一种新的时频分解算法—经验模态分解(Empirical mode decomposition, EMD)[6].EMD是一种数据驱动的自适应信号分解方法,可以把数据分解成具有物理意义的一组内蕴模态函数(Intrinsic mode function, IMF)分量.EMD与小波变换相比最大优点是：小波分解需要事先给定小波基（如Haar,Morlet,Daubechies等）并设定分解层次；而EMD中的基函数和分解层次不需要事先给定,而是根据信号特性通过迭代的方式自适应地获取,基底和分解层次会随信号的不同而改变.
EMD在一定程度上克服了小波变换的不足,是一种完全数据驱动的自适应分解算法,已经被应用于故障检测、语音信号处理和数据压缩等多个领域[7].基于EMD的信号去噪算法也已得到了广泛的研究,已有的EMD去噪算法主要分为三大类：①部分重构去噪法,该类方法中通过一定的规则选出部分高频IMF,把选出的高频IMF当作纯噪声直接去除,然后累加剩余的IMF以实现去噪[8,9]；②直接阈值去噪法,该类方法中将基于小波变换的软/硬值滤波思想直接用于EMD中,对IMF系数采用阈值去噪的方法进行处理,对处理后的各层IMF进行累加以实现去噪[10,11]；③基于模态单元的阈值去噪法[12,13],该类方法中考虑到EMD分解的特性,将IMF中两个过零点间的模态单元作为基本分析对象,用模态单元振幅作为阈值处理特征,以模态单元为单位对IMF进行阈值处理以实现去噪.
上述算法均为EMD去噪提供了很好的思路,取得了较好的去噪效果,但仍存在一些问题.部分重构去噪法中,将选出的高频IMF作为噪声直接去除而对剩余的IMF直接累加,导致去噪后信号细节信息丢失较多且噪声不能完全去除；直接阈值去噪法中没有考虑EMD分解的固有特性,去噪时破坏了模态单元的完整性,影响了去噪的效果；基于模态单元的阈值去噪法中,兼顾了EMD的分解特性,去噪时没有破坏IMF中固有振荡的完整性,提高了噪声去除能力和信号细节保持能力,与另外两种方法相比,取得了更好的去噪效果.但在基于模态单元的阈值去噪法中,有两个问题难以解决：1）模态单元的阈值确定是个难题,现有算法中常采用小波阈值或根据经验选择阈值,没有完善的阈值选择标准；2）算法中将极值小于阈值的模态单元直接去除,而极值大于阈值的模态单元直接保留.但噪声是分布在整个IMF中的,因此对小阈值模态单元直接去除,会导致部分信号信息被丢失；而对大阈值模态单元中所有点都不加以处理直接保留,会导致噪声不能被完整去除.
为了进一步提高EMD的去噪能力,本文提出了一种基于主成分分析(Principal component analysis PCA )的EMD去噪方法,主要思想是根据EMD的分解特性,准确估计每层IMF中所含噪声的能量,然后利用PCA 对各层IMF进行分解,并根据IMF中噪声所占的能量比例,选择合适个数的主成分分量进行重构,从而有效去除IMF中的噪声.本文所提出的方法较好地考虑了IMF中所含噪声的特点,去噪过程中不需要计算阈值,而且可较好保持模态单元的完整性.
本文结构安排如下：第1节简单介绍了EMD和PCA的基础知识；第2节介绍了利用“3法则”从第一层IMF中提取细节信息的方法；第3节讨论了各层IMF中所含噪声能量的估计方法；第4节建立了基于PCA的IMF去噪方法；第5节通过实验,将本文方法与Bayesian阈值小波去噪和基于模态单元的EMD阈值去噪进行对比分析,验证了所提方法的有效性；最后对本文主要内容进行了总结.
1 经验模态分解和主成分分析
1.1 经验模态分解
经验模态分解算法的主要目的是将待分析信号分解为一系列表征时间尺度的IMF分量,要求IMF分量必须满足两个条件：IMF的极值点个数与过零点个数不超过1；由极大值点和极小值点确定的包络线均值为零.对信号进行EMD分解的步骤如下[6]：
Step1 确定的所有极大值和极小值，分别对极大值点和极小值点进行三次样条插值,构造的上下包络线和，计算上下包络线的均值 ；
Step2 计算和之间的差值, ；
Step3 判断是否是一个IMF,
3.1) 如果符合IMF的定义条件，是一个IMF，则抽取作为第一个IMF分量,令，并求原信号与之间的差值， 。
3.2) 如果不是一个IMF,则将视为一个新的信号序列，重复步骤1和步骤2，求其包络均值及与间的差值。对重复上述过程次，直到符合IMF的定义条件，则令为的第一个IMF分量，并求原信号与之间的差值， ；
Step4 将作为一个新的“原始”信号，重复步骤（step1-step3），抽取第2个内蕴模态函数分量，令；将作为一个新的“原始”信号，抽取第3个内蕴模态函数分量， ；以此类推，直到第次的余项满足终止条件，则停止迭代，的EMD分解完成。
EMD分解结束后,原始信号可被表示为各IMFs和一个余项之和：

其中表示第个IMF分量.如果被零均值高斯白噪声污染,则中所含噪声仍近似服从零均值正态分布[14],即可设
(1)
其中表示没被污染的原始信号,表示所含噪声,且～.对于含随机噪声的信号,先分解出的IMF分量通常对应于信号的高频噪声,若去除几个先分解出的IMF,把剩余IMF进行重构,则可减弱信号的噪声.
1.2 主成分分析
主分量分解(PCA)是统计分析中常用的多通道数据分析方法[15],被广泛应用于数据的降维和去噪处理中.设道原始数据构成一个的数据阵,令,其中为的期望,记,则的协方差矩阵为 ,通过奇异值分解(SVD),协方差矩阵可被写为

这里为对角矩阵,为的特征值,为特征值所对应的特征向量组成的正交矩阵.令
(2)
称的各行为的主分量,它们在中依贡献率大小排序.对应的特征值与特征值总和的比称为该主分量的贡献率,表征该主分量代表原始信号能量的百分比.如果仅取前个主分量重构原始数据,则重构的数据为

噪声信号在经PCA处理时,由于对应的主分量包含了信号中的大部分噪声,在重构时直接丢掉；而代表了信号主要特征的主分量被保留,因而PCA可以有效的去除噪声.
2 利用3准则提取中的细节信息
在最初的EMD去噪算法中,通常认为第一层噪声IMF全部由噪声构成,并由此出发推导其他层IMF中所含噪声的能量.但随着研究的深入,逐渐发现中仍含有一定量的信号细节信息[12,13].对进行适当的处理,提取其所含的信号细节信息并加以保留,会提高去噪效果,利用处理后的估计其余IMF中所含噪声的能量也更准确.但由于先验知识很少,所以对进行处理是个难题.由EMD的研究可知,在中噪声占绝大部分,而仅含有少量的信号细节信息,而且所含噪声仍近似服从零均值正态分布,所以非常适合采用“3法则”进行细节信息提取[16].由公式(1)可知, 满足加性噪声模型

且～.根据“3”法则,噪声的分布满足

即噪声落在之间的概率为0.9973,而落在3之外的概率仅约为0.003.因此如果的值没有落在之内,则可认为中必然含显著误差,也即有必然含有信号信息,需要予以保留.利用“3法则”对进行细节信息提取可表示为：

其中表示从提取出的信号细节；噪声方差采用文献[17]中提出的方法进行估计,即,这里表示的高频子带小波系数.
3 各层IMF中所含噪声能量的估计
利用“3法则”对进行细节信息提取后,可求出中所含噪声的能量[18]：
(3)
假设()中所含噪声的能量为,则是未知的,由于信号和噪声混杂在一起,因此一般情况下并不能求出.但通过含噪信号经EMD分解后的噪声能量模型,可对进行近似计算.被白噪声污染的信号经EMD分解后,如果第一层内蕴模态函数中所含噪声的能量为,则中所含的噪声的能量可由下式求出[18],
, (4)
其中,.因此，求出中所含噪声的能量后, 即可通过公式(4)估计中所含噪声的能量.
4 根据噪声能量利用PCA去除()中的噪声
PCA是一种自适应的分解方法,信号经PCA分解后各主分量间互不相关,而且按照贡献率选择合适主分量重构后,能有效去除噪声并保留信号绝大部分的主特征信息. ()经PCA分解后,信号和噪声能够被有效分离,如果想较好去除中噪声,必须要选择合适个数的主分量进行重构,通常根据前个主分量的累计贡献率来确定保留的主成分分量的个数.但累积贡献率的选择并不是一个简单的事情：1)累计贡献率取得太大,会残留较多的噪声,导致噪声不能完整的去除；累计贡献率取得太小,又会损失较多的信号细节信息；2) 每一层噪声项IMF中所含噪声的强度并不相同,因此在对不同层的IMF进行PCA去噪时,累计贡献率不能取固定的值.为了更好地去除噪声,本文根据中所含噪声能量的比例,提出了一种自适应确定累计贡献率的方法.
由公式(1)可知 ,,().为了表示方便,设
,,为的协方差矩阵,其中表示的长度,显然所含噪声与所含噪声相同.假设经PCA分解后的主分量为,如果选择前 个主分量进行重构以去除中的噪声,则可得到去噪后的信号
(5)
此时从中删除的噪声为
(6 )
设和的能量分别为、.在PCA去噪中,通常认为前几项主分量包含了信号的主要特征信息,而比较靠后的主分量主要由噪声构成,而且按照主分量对总能量的贡献率选择应保留的主分量个数.因此在利用PCA对去噪时,如果选择合适的,使删除的噪声的能量与本身所含的噪声能量相同,也即使得

则可认为中的噪声基本被全部去除,达到了较好的去噪效果.上式等价于
(7)
由公式(2)和的正交性可知： ,,所以信号的能量为：

(8)
而所删除的噪声的能量可表示为

(9)
由公式（8）和（9）可知,被删除噪声的能量与的能量之比为.所以,为了使中的噪声被完整去除,应选择合适的使成立 .但在选择时,很难保证使得恰好成立,本文中对按照以下方法进行取值：如果存在使得式(10)成立, 则令,
(10)
应保留的主分量个数确定后,根据公式(5)可求出去噪后的信号,因为,所以去噪后的值为：.
本文所提出的基于PCA的EMD去噪算法具体步骤为：
Step1 对信号进行EMD分解,设分解后的IMF为,…, ,余项为；
Step2 对采用“3法则”提取信号细节信息,设提取的细节信息为；
Step3 根据公式(3)求所含噪声的能量,并利用公式(4)估计()中所含噪声的能量；
Step4 对()进行PCA分解,根据公式(10)选择合适个数的主分量进行重构去噪,设去噪后的值为；
Step5 累加全部()和余项,得到去噪后信号.
5 实验结果与分析
当一维信号长度较大时,其协方差矩阵的规模较大,直接进行PCA变换运算量很大.为了降低运算复杂度,本文按照文献[19]中所提出的嵌入方法首先将一维信号转换为多维信号后,再进行PCA分解,此时分解结果的特征和性质均保持不变.为了分析所提出算法的去噪性能,分别对模拟信号和真实信号进行去噪实验.模拟信号利用Matlab中的wnoise函数生成,分别生成“Blocks”,“Bumps”,“Heavy sine”和“Doppler”等四类具有典型特征的测试样本；真实信号选择来自Bell实验室的一段电力系统信号. 为了对比去噪效果,对噪声信号分别采用基于Bayesian阈值的小波去噪法(Bayesian-Wavelet)、基于模态单元的EMD阈值法(Mode-EMD)和本文提出的基于PCA的EMD去噪法 (PCA-EMD) 进行去噪. 在利用Bayesian-Wavelet法进行去噪时，小波基选用“db8”小波,分解层数取为10；在Bayesian-Wavelet和Mode-EMD的去噪中,均采用硬阈值法. 本文采用均方误差MSE和信噪比SNR来评估算法的性能：信噪比越大,均方误差越小,表明去噪效果越好.
5.1 对模拟信号的去噪
在对模拟信号的实验中,首先利用wnoise生成信噪比分别为SNR=0,5dB,10,15,20dB的测试信号,信号长度取为4096. 图1是SNR=5dB时,测试样本“Doppler”及不同方法去噪后的实验结果,在图1(c)-(f)中,虚线为原始信号,实线为去噪后信号.对3种方法去噪后的结果分别计算MSE和SNR(见表1).可以看出,在当SNR=5dB时,“Doppler”信号经PCA-EMD方法消噪后效果相对较好,与Bayesian-Wavlet算法相比,SNR提高了2.509,MSE约减小了0.053；与Mode-EMD算法先比,SNR约提高了1.529,MSE约降低了0.017.
不同信噪比的模拟信号经三种方法去噪后的MSE和SNR如表1所示,通过比较可知,本文提出的PCA-EMD方法总体去噪效果要优于Bayesian-Wavelet方法和Mode-EMD方法,消噪后的信号更接近原始信号；但当信噪比增大时,PCA-EMD与Mode-EMD之间的差距在逐渐减小,当信噪比增加到20dB时,本文方法与Mode-EMD算法的去噪结果已非常接近.
(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

Fig.1 Doppler signal de-noising results comparison (a)Original Doppler signal (b)noisy Doppler signal (d) Bayesian Wavelet de-noising result (d)Mode-EMD de-noising result (e) PCA-EMD de-noising result
图1 Doppler信号的去噪结果比较 (a)原始Doppler信号 (b)含噪Doppler信号 (c) Bayesian Wavelet去噪 (d) Mode-EMD去噪 (e)PCA-EMD去噪

Table 1 Results of experiments using noisy simulated signals
表1 模拟信号的去噪结果
Blocks
Methods
SNR/Variance
0 dB
5 dB
10 dB
15 dB
20 dB
PCA-EMD
14.529/0.2138
16.820/0.1352
20.761/0.0545
22.959/00274
23.905/0.0257
Mode-EMD
14.149/0.2333
16.571/0.1336
20.390/0.0554
22.833/0.0316
23.225/0.0289
Bayesian Wavelet
13.895/0.2474
16.232/0.1444
19.822/0.0632
22.232/0.0329
23.537/0.0285
Bumps
Methods
SNR/Variance
0 dB
5 dB
10 dB
15 dB
20 dB
PCA-EMD
14.061/0.0204
17.044/0.0102
19.619/0.0057
19.794/0.0051
17.291/0.0097
Mode-EMD
13.366/0.0224
16.643/0.0113
19.316/0.0061
19.152/0.0058
17.220/0.0099
Bayesian Wavelet
12.001/0.0328
15.943/0.0132
18.857/0.0068
18.939/0.0063
17.197/0.0097
Heavy Sine

Heavy Sine
Methods
SNR/Variance
0 dB
5 dB
10 dB
15 dB
20 dB
PCA-EMD
19.735/0.1013
22.124/0.0584
27.544/0.0168
31.206/0.0085
34.194/0.0036
Mode-EMD
18.612/0.1311
21.946/0.0609
27.197/0.0182
30.337/0.0088
34.142/0.0037
Bayesian Wavelet
18.414/0.1373
21.358/0.0697
26.863/0.0196
30.479/0.0092
33.072/0.0047
Doppler
Methods
SNR/Variance

0 dB
5 dB
10 dB
15 dB
20 dB
PCA-EMD
18.612/0.0124
21.549/0.0061
26.823/0.0224
29.918/0.0139
31.513/0.0024
Mode-EMD
16.426/0.0207
20.020/0.0078
25.419/0.0256
27.355/0.0158
30.932/0.0022
Bayesian Wavelet
15.819/0.0225
19.040/0.0114
24.684/0.0291
26.539/0.0150
28.212/0.0041

5.2 对实际电力信号的去噪
图2(a)是在有噪声干扰的环境下采集到的一段电力系统信号,对该信号分别利用三种方法进行去噪,去噪后的结果如图2(b)-(d)所示.从图2可以看出,PCA-EMD去噪后信号的细节和突变部分保持较好,与Bayesian-Wavelet和Mode-EMD去噪结果相比,噪声明显有所减少.分别计算各去噪信号的MSE和SNR,结果如下：Bayesian-wavelet去噪后,MSE=81.8073,SNR=32.023；Mode-EMD去噪后,MSE=73.0587, SNR=32.5142,；PCA-EMD去噪后,MSE=70.9869,SNR=32.6391.可以看出,PCA-EMD方法去噪后的MSE最小,而SNR最大.这表明电力信号经PCA-EMD方法去噪后,信号细节的保留程度和信号的复原程度都更好一些.可见,对实际信号进行去噪时,PCA-EMD方法与Bayesian-Wavelet和Mode-EMD方法相比,去噪能力也有一定程度的提高,是一种比较有效的去噪方法.
实验在matlab7.8.0环境下进行, 计算机内存为2G，cpu主频为3.06GHz， EMD采用flandrin 提供的pack_EMD (http://perso.ens-lyon.fr/patrick.flandrin/emd.html)。统计Doppler，Heavy Sine， Bumps，Blocks以及实际电力信号的去噪时间开销：本文方法的平均时间开销约为0.032943秒；Mode-EMD算法的平均时间开销约为0.029326秒。本文方法的时间花费比Mode-EMD算法约高12%，运算量没有明显增加。
(a)

(b)

(c)

(d)

Fig.2 Electric signal de-noising results comparison (a) original electric signal (b)Bayesian Wavelet de-noising result (c)Mode-EMD de-noising result (d)PCA-EMD de-noising result
图2 电力信号的去噪结果比较 (a)原始电力信号 (b)Bayesian Wavelet小波去噪 (c)Mode-EMD去噪 (d)PCA-EMD去噪
6 结束语
为了提高EMD的去噪效果,本文提出了一种基于PCA的EMD去噪新方法.在所提出的方法中,首先利用“3法则”对第一层IMF进行信号细节信息提取,并计算各层IMF中所含噪声的能量；然后利用PCA对各IMF进行去噪,去噪时根据每层IMF中所含噪声的能量自适应的确定应保留的主分量的个数 为了验证所提算法的性能,选择了基于Bayesian阈值的小波方法和基于模态单元的EMD阈值方法进行比较.首先采用含不同强度噪声的模拟信号进行实验,实验结果表明,所提算法的去噪效果整体优于小波方法和基于模态的EMD方法.而对含噪电力信号进行消噪实例应用,也进一步验证了本文方法的有效性.
References:
[1] D. L. Donoho. De-noising by soft-thresholding. IEEE Transaction on Information Theory, 1995,41(3):613–627.
[2] A. Pizurica and W. Philips. Estimating the probability of the presence of a signal of interest in multiresolution single and multiband image denoising. IEEE Transaction on Image Processing, 2006, 15(3):654–665.
[3] J. Portilla, V. Strela, M. J. Wainwright, and E. P. Simoncelli. Image denoising using scale mixtures of gaussians in the wavelet domain. IEEE Transaction on Image Processing, 2003, 12(11):1338–1351.
[4] L. Zhang, P. Bao, and X. Wu. Multiscale LMMSE-based image denoising with optimal wavelet selection. IEEE Trans. Circuits Syst.Video Technol., 2005,15(4):469–481.
[5] Zhang Hua, Chen Xiaohong, Yang Haiyan. Optimistic wavelet basis selection in seismic signal noise elimination. OGP, 2011, 46(1):70-75.
[6] Huang N E, Shen Z, Long S R, etc. The empirical mode decomposition and the Hilbert spectrum for nonlinear and nonstationary time series analysis[J]. Proc. of the Royal Society of London,1998, A454: 903−995.
[7] Xu Xiaogang, Xu Guanlei, Wang Xiaotong, etc. Empirical mode decomposition and its application. Acta electronica Sinica, 2009, 37(3):581-585.
[8] Boudraa A, Cexus J. EMD-based signal filtering[J]. IEEE Transaction on Instrumentation and Measurement, 2007, 56(6):2196-2202.
[9] Gan Yu, Sui Lifen. De-noising method for gyro signal based on EMD. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2011,40(6):745-750.
[10] Olufemi A, Vladimir A, Auroop R. Empirical mode decomposition technique with conditional mutual information for denoising operational sensor data[J]. IEEE Sensors Journal, 2011, 11(10):2565-2575.
[11] Zhao Zhihong, Yang Shaopu, Shen Yongjun. Improved EMD based on de-noising method. Journal of Vibration and Shock, 2009,28(12):35-37.
[12] Qu Congshan, Lu Tingzhen, Tan Ying. A modified empirical mode decomposition method with applications to signal de-noising. Acta Automatica Sinica, 2010, 36(1):67-73.
[13] Y.Kopsinis, S.Mclaughli. Development of EMD-based denoising methods inspired by wavelet thresholding[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2009,57(4):1351-1362.
[14] Zhaohua Wu, Norden E H. A study of the characteristics of white noise using the empirical mode decomposition method[J]. Proc. R. Soc. Lond. A8, 2004, 460 (2046):1597-1611.
[15] Lei Zhang, Rastislav L, Wu Xiaolin. PCA-based Spatially Adaptive Denoising of CFA Images for Single-sensor Digital Cameras[J]. IEEE Trans on Image Processing, 2009,18(4): 797-812
[16] Wang Hongbao. Electronic measuring. Science Press, 2005, Beijing.
[17] Johnstone I, Wilverman B. Wavelet threshold estimators for data with correlated noise[J]. Journal of the Royal Statistical Society. Series B (Methodological), 1997,59(2):319-351.
[18] Flandrin P, Riling G, Goncalves P. Empirical mode decomposition as a filter bank[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2004, 11(2): 112-114.
[19] A.R.Teixeira, A.M. Tome, K.Stadlthanner, etc. KPCA denoising and the pre-image problem revisited[J]. Digital Signal Processing, 2008, 18(4):568-580.
附中文参考文献:
[5] 张华, 陈小宏, 杨海燕. 地震信号去噪的最优小波基选取方法[J]. 石油地球物理勘探, 2011, 46(1):70-75.
[7] 徐晓刚, 徐冠雷, 王孝通, 秦绪佳. 经验模态分解及其应用[J]. 电子学报, 2009, 37(3):581-585.
[9] 甘雨, 隋立芳. 基于经验模态分解的陀螺信号消噪[J]. 测绘学报, 2011, 40(6):745-750.
[11] 赵志宏, 杨绍普, 申永军. 一种改进的EMD降噪方法[J]. 振动与冲击.2009,28(12):35-37.
[12] 曲从善, 路延镇, 谭营. 一种改进型经验模态分解及其在信号消噪中的应用[J]. 自动化学报, 2010, 36(1):67-73.
[16] 王宏宝. 电子测量[M]. 科学出版社, 2005, 北京.