铅球投掷的模型.doc

第四章 日常生活中的数学模型
§ 4.2 铅球投掷的模型
一. 背景、问题： 投掷圆直径=2.135m，有效扇形 450，坻趾板 10×10cm，铅球重 16磅=7.264kg。运动员单手托住铅球，在投掷圆内将铅球掷出并使铅球落入有效区内。以铅球落地点与投掷圆间的距离测量铅球投掷的远度。以铅球投掷的远度评定运动员的成绩。
问题：建模分析如何使铅球投掷得最远？
二. 模型与分析：
1. 抛射体模型：
假设：1. 铅球是个质点。2. 忽略空气阻力。 3. 出手角度与出手速度无关。
变量、参量：出手角度 a，出手高度 h，出手速度 v=(v cos a, v sin a)，投掷远度 s。
先分析铅球出手后的运动过程；在x-y坐标系中铅球运动的轨迹为 ( x(t), y(t) ).
由力与运动平衡关系（牛顿定律）得：

有解:

铅球落地点为 (s, 0) 解得

模型I : s=s(v, h, a).

检验:
姓 名 v (m/s) h(m) a(0) s(m) 实测
李梅素 13.75 1.90 37.60 20.68 20.95
李梅素 13.52 2.00 38.96 20.22 20.30
斯卢皮 13.77 2.06 40.00 21.25 21.41
基本吻合

分析:
1. 最佳出手角度: 显然函数 s(v, h, a)是变量v和h的单调增函数，关于变量a 的极大值点满足方程 ¶s/¶a=0，即：

化简可得:

因此，0£a£p/4,
给定出手高度 h, 最佳出手角度a 随出手速度 v 增大而增大。
给定出手速度 v，最佳出手角度a随出手高度 h 增大而减小。

2. 最佳投掷模式: 给定出手高度h、出手速度v 从而可以计算最佳出手角度aopt= a(v, h)
和相应的投掷距离 s=s (h v, aopt). 这样构成最佳的铅球投掷模式。
h\v 10 11 12 13 14 14.5 15
1.9 40.48 41.16 41.71 42.15 42.51 42.76 42.80
11.95 14.11 16.48 19.05 21.81 23.27 24.78
2.0 40.28 40.99 41.55 42.01 42.39 42.55 42.70
12.03 14.20 16.57 19.14 21.90 23.36 24.87
2.1 40.08 40.82 41.40 41.88 42.27 42.44 42.59
12.12 14.29 16.65 19.29 22.00 23.46 24.97

3. 主要因素分析—模型的参数灵敏度分析
问题： h, v, a 这三个因素中哪个最重要，即哪个参数变化 对投掷距离s 影响最大？
归结为参数的灵敏度分析。这里采用模型对参数的极差分析方法：比较参数在可能的变化范围内变化时模型值改变量的极差rs=smax-smin 。
当h=1.9m时,
V\ a 37 38 39 40 41 42 43 rs
10 11.89 11.92 11.94 11.95 11.95 11.94 11.92 0.06
11 14.01 14.05 14.09 14.11 14.12 14.12 14.10 0.11
12 16.31 16.38 16.43 16.46 16.48 16.48 16.47 0.17
13 18.80 18.89 18.96 19.01 19.04 19.05 19.04 0.25
14 21.48 21.59 21.68 21.75 21.79 21.81 21.82 0.34
15 24.36 24.49 24.60 24.68 24.74 24.78 24.78 0.42
rs 12.47 12.57 12.66 12.73 12.79 12.84 12.86
出手速度改变引起投掷距离变化的极差：12.47~12.89m
出手角度改变引起投掷距离变化的极差：0.05~0.42m
出手高度改变引起投掷距离变化的极差：0.16~0.22m

结论：
1. 出手速度最重要。
2. 出手角度的调整对取得稳定的成绩是重要的。但在最佳出手角度上下 20 范围内远度的变化很小。不必过分准确。
3. 在前面的基础上，尽量提高出手的高度。

2. 铅球投掷模型
问题：
1. 李梅素的数据
h=1.9m，a=37.60，v=13.75m/s，s=20.95m
最佳值 a=42.430 理论值 s=20.68m
h=2.0m，a=39.70，v=13.52m/s， s=2030m
最佳值 a=42.370 理论值 s=20.22
出手高度增高了，出手角度更接近最佳角度，但投掷的远度减小了。
出手的速度随着出手角度的增加减小了！
女子铅球的技术特征:
滑步的低、平、快；过渡阶段随着左腿低而快地直顶抵趾板下沿，推髋侧移，使铅球低而远地远离出手点；最后用力阶段突出向前性。
2. 铅球的投掷不是简单的抛射体。出手速度、出手角度和出手高度是不独立的, 是运动员投掷铅球过程中用力过程的一个综合的结果。 需要组建铅球投掷的模型。
假设：
1. 滑步阶段为水平运动，铅球随人体产生一个水平的初速度。
2. 在用力阶段，运动员从开始用力推铅球到铅球出手有一段时间。
3. 在用力的时间内作用在铅球上的推力大小不变，力的方向与铅球出手方向相同。
参量、变量: 同上， v0 初速度, t0 用力时间, F 推力, m 铅球质量。
发力期间平衡关系： 设t=0时开始用力，t=t0 时铅球出手。则有，

由此得到铅球的出手时的速度。

显然v 随着 F , v0和 t0 的增加而增大. 但是，
¶ v//¶a= - F t0 (g t0 cos a + v0 sin a )/(mv) <0, 所以随着a的增大，v=v( a )减小。

模型II s=s(h, a):=s(v(a) , h, a)
由 ¶s/¶ a=0 可以求得比模型I更合理的 最佳投掷角度， 它比模型I 得到的最佳角度小些。
检验: 从以下我国三位铅球运动员的成绩可见，出手角度从40.27降到35.13，出手速度从13.16m/s提高到14.08m/s，成绩从 19.4m 提高到 21.76m。这样进一步验证了模型II的可靠性。
a v h s
李梅素 40.27 13.16 2.20 19.40
隋新梅 39.00 13.95 2.04 21.66
李梅素 38.69 13.51 2.00 20.30
黄志红 37.75 13.58 2.02 20.76
李梅素 37.60 13.75 1.90 20.95
李梅素 35.13 14.08 1.95 21.76

问题：组建完整的铅球投掷的数学模型（包括出手速度、出手高度的形成），并进行分析讨论。
2. 赛跑速度的模型
Keller J.B. Optimal velocity in race, the American mathematical monthly 1974 Vol.81 P474
W.G. Pritchard, Mathematical models of running, SIAM Review 1993 Vol.35, No.3 P359
问题：为获得最好成绩，参加赛跑的运动员如何安排赛程中各阶段的速度。
背景分析：运动员在赛跑过程中要克服体内外的阻力，发挥向前的冲力。产生冲力的能量来源一是储存在体内的能量；二是呼吸系统通过氧的新陈代谢作用产生的能量。需要考虑：比赛成绩与速度的关系；速度与冲力的关系（力学）；冲力与能量的关系（生理）。
假设：
1 赛跑时运动员体内外的阻力与速度成正比（比例系数1/t ），最大冲力为F, 初速度为零。
2 呼吸系统在氧的代谢作用下单位时间提供的能量是常数s， 初始时刻运动员体内储存的能量为E0.
3. 对运动员体重的单位质量建模，m=1.
参数，变量：比赛成绩（跑完赛程D的时间）：T， 比赛速度： v(t)， 冲力： f(t)
运动员体内的能量： E(t),
模型：平衡关系：
速度与跑完赛程D的关系

冲力与速度的关系（牛顿定律）：

运动员体内储存能与冲力的关系：

短跑分析: 当赛程多长时，运动员能够用最大冲力跑完全程？
因为，当f=F时, v(t)=F t(1-e- t/t), 所以，dE/dt= s - F2t (1-e- t/t)
E(t)=E0-(F2 t -s)t+F2 t2 (1-e- t/t)。
设 F2 t>s >0, 则存在 t=tc 使得 E( tc)=0，以最大冲力能跑的最远距离为

由约翰逊、路易斯的100m成绩
D(m) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
t(s) 1.84 2.86 3.8 4.67 5.53 6.38 7.23 8.1 8.96 9.83
t(s) 1.94 2.96 3.91 4.78 5.64 6.5 7.36 8.22 9.07 9.93
拟合
的近似方程D » vmax(t- t) ,（ vmax»F t）， 得到 vmax =11.6 m/s t » 1.24s , F» 10 m/s2.
再由中长跑的世界纪录拟合得到 E0 »2403.5 m2/s2 和 s »41.5m2/s3 的估计，
从方程式 E( tc)=0 解得 tc 。最后算出 Dc »290m. 因此100米短跑可用最大冲力跑完全程。

中长跑分析：当赛程大于Dc时，将赛程分成三段，
初始阶段 0 £ t £ t1, (t1待定)以最大冲力跑 f=F, dv/dt+v/ t=F 速度为 v1(t)=F t(1-e-t/t),
最后阶段 t2 £ t £ T , (t2待定) 能量已用完 E=0, 靠惯性冲刺，
dE/dt=0，s -fv=0 dv/dt+v/ t=s /v dv 2 /t+ 2v 2/ t=2s v(t2)= v2 (t2)
速度为 v3(t)=[(v2 (t2) 2- s t)e-2(t-t2)/ t+ t s ] 1/2.
中间阶段 t1 £ t £t2 , 采取的速度 v2 (t) 要使得E(t2)=0

而且 对固定的赛程 D, 要求v2 (t) 使得跑完全程的时间T 最小。
这等价于对固定的 T 求v2 (t) (t1 £ t £t2 ，t2 自由) 使得D=D (v2, t2 ) 最大。

这是一个带有约束条件E(v2, t2 )=0 的泛函D (v2, t2 ) 极大值问题。引入拉格朗日乘子l, 化为无条件泛函I (v2, t2 )= D(v2, t2 )+(l/2) E (v2, t2 ) 极值问题：
求 t2 (t 1 £ t2) 和在区间[t1，t2 ] 上的连续函数v2 (t) 使得I (v2, t2 ) 取得极大值 。

泛函I (v2, t2 ) 在(v2, t2 ) 点达到极值的必要条件为它在这点的变分为零： dI (v2, t2 )=0
称此方程为欧拉方程。
记 x= (v2, t2 )，类似于求函数在x点沿e方向的方向导数，
可以得到dI(x+ ae)/da| a=0 =dI (x) • e 令 dI (x) • e=0，"e, 则可得到 dI (x) =0。此处取 e = (j, h)，jÎC0¥ [t1, t2 ], hÎR.
于是，数值 t2 ,函数 v2 满足如下方程
v2 (t) ºt/l

利用v(t)的连续性可推出确定参数 t1 ，t2 ，l 的以下三个方程式.

于是，得到了关于中长跑最佳速度安排。