第四版复变函数答案2.docx

习题一解答
1．求下列复数的实部与虚部、共轭复数、模与辐角。
（3）(3 + 4i)(2 − 5i) ；
1
（2）1 − ；
3i
（4）i 8 − 4i 21 + i
（1）
；
3 + 2i
i 1 − i
2i
1 = 3 − 2i = 1
（1） (3
3 + 2i (3 + 2i)(3 − 2i) 13
− 2i)
解
所以
3
1
2
Re⎧
1
⎫
⎬ = ， Im⎧ ⎫ = − ,
⎨
⎨ ⎬
⎩3 + 2 i ⎭ 13
⎩3 + 2i ⎭ 13
2
2
1
= 1 (3 + 2i) ，
3 3
⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟
13 ，
⎛ ⎞ ⎛
⎞
=
=
3 + 2i 13
3 2i
13
13 ⎠ 13
⎝ ⎠ ⎝
⎛
1
⎞ ⎛
1
⎞
Arg⎜
⎟ = arg⎜
⎟ + 2kπ
⎝ 3 + 2 i ⎠ ⎝ 3 + 2 i ⎠
= − arctan 2 + 2kπ , k = 0,±1,±2,
3
1 3i − i 3i(1 + i )
1
3 5
（2） − = − = −i − (− 3 + 3i) = − i,
i 1 − i i(− i) (1 − i)(1 + i) 2 2 2
所以
Re⎧1
3i 3
⎬ = ,
⎫
⎨ i − 1 − i ⎭ 2
⎩
Im⎧1 − ⎬ = − 5
3i
⎫
⎨
⎩ i 1 − i ⎭ 2
⎛ 3 ⎞2 ⎛ 5 ⎞2
⎛
1 3 5
⎜ − ⎟ = + i ，
3i
⎞
1
34
，
−
=
⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟
=
⎝ i 1 − i ⎠ 2 2
i
⎝ 2 ⎠ ⎝
2 ⎠
2
Arg⎜ 1 − ⎟ = arg⎜ 1 − ⎟ + 2kπ
3 i
3 i
⎛
⎞ ⎛
⎞
⎝ i 1 − i ⎠ ⎝ i 1 − i ⎠
= − arctan 5 + 2kπ,
k = 0,±1,±2, .
3
（3） (3 + 4i)(2 − 5i) = (3 + 4i)(2 − 5i )(− 2i) = (26 − 7i)(− 2i)
(2i)(− 2i)
2i
4
= −7 − 26i = − 7 − 13i
2
2
所以
⎧ (3 + 4i)(2 − 5i )⎫
7
⎬ = − ，
Re⎨
2i
2
⎩
⎭
⎧ (3 + 4i )(2 − 5i )⎫
⎬ = −13 ，
⎭
Im⎨
⎩
2i
1
3i
1 − i
1
+

⎡ (3 + 4i )(2 − 5i )⎤
7
⎥ = − + l3i
⎢
⎣
2i
2
⎦
(3 + 4i)(2 − 5i)
5 29
，
=
2i
2
⎡ (3 + 4 i)(2 − 5 i)⎤ ⎡ (3 + 4 i)(2 − 5 i)⎤
26
Arg⎢
⎥ = arg⎢
⎥ + 2kπ = 2 arctan − π + 2kπ
2 i
2 i

7
⎣
⎦ ⎣
⎦
= arctan 26 + (2k − 1)π ,
k = 0,±1,±2, .
7
（4） i8 − 4i21 + i = (i 2 )4 − 4(i2 )10 i + i = (− 1)4 − 4(− 1)10 i + i
= 1 − 4i + i = 1 − 3i
所以
Re{i8 − 4i 21 + i}= 1, Im{i8 − 4i 21 + i}= −3
⎜⎛i8 − 4i21 + i ⎟⎞ = 1 + 3i ，| i8 − 4i 21 + i |=
10
⎝
⎠
Arg(i8 − 4i 21 + i)= arg(i8 − 4i 21 + i)+ 2kπ = arg(1 − 3i) + 2kπ
= −arctan3 + 2kπ
k = 0,±1,±2, .
2．如果等式 x + 1 + i(y − 3) = 1 + i 成立，试求实数 x, y 为何值。
5 + 3i
解：由于
x + 1 + i(y − 3) [x + 1 + i(y − 3)](5 − 3i )
=
(5 + 3i)(5 − 3i)
5(x + 1) + 3(y − 3) + i[− 3(x + 1) + 5(y − 3)]
5 + 3i
=
34
= 1 [5x + 3y − 4]+ i(− 3x + 5y − 18) = 1 + i
34
比较等式两端的实、虚部，得
⎧
5x + 3 y − 4 = 34
或 ⎧ 5x + 3 y = 38
⎨
⎨
⎩− 3x + 5 y − 18 = 34 ⎩− 3x + 5 y = 52
解得 x = 1, y = 11 。
3．证明虚单位 i 有这样的性质：-i=i-1= i 。
4．证明
1) | z |2 = zz

6) Re( z) = 1 ( z + z), Im( z) = 1 ( z − z )
2
2i
2

证明：可设 z = x + iy ，然后代入逐项验证。
5．对任何 z ， z 2 =| z |2 是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对 z 那些 值才成立？
解：设 z = x + iy ，则要使 z 2 =| z |2 成立有
x2 − y2 + 2ixy = x2 + y 2 ，即 x2 − y 2 = x2 + y2 , xy = 0 。由此可得 z 为实数。
6．当| z |≤ 1 时，求| z n + a | 的最大值，其中 n 为正整数，a 为复数。
i arg a
解：由于 z n + a ≤ |z|n + |a| ≤ 1 + |a| ，且当 z = e 时，有
n

n
arg a ⎞
⎛
i
| z n + a| = ⎜ e
= (1 + a )ei arg a
⎟
+ |a|ei arg a
n
= 1 + |a|
⎜
⎟
⎝
⎠
故1+ | a | 为所求。
8．将下列复数化成三角表示式和指数表示式。
（1）i；
（2）-1；
（3）1+ 3 i；
(cos5ϕ + isin5ϕ )2
2i
（4）1 − cosϕ + isinϕ (0 ≤ ϕ ≤ π) ；
（5）
；
（6）
(cos3ϕ − isin3ϕ )3
− 1 + i
i π
π
π
解：（1） i = cos + isin = e 2 ；
2
2
（2） − 1 = cosπ + isinπ = eiπ
i π
⎛ 1
3 ⎞
⎛
π
3
π ⎞
⎜
⎟
（3）1 + i 3 = 2 + i
⎟ = 2e 3 ；
⎟ = 2⎜ cos
+ isin
⎜ 2
2
3 ⎠
⎝
⎝
⎠
（4）1 − cosϕ + isinϕ = 2sin 2 ϕ + i2sin ϕ cos ϕ = 2sin ϕ ⎛ sin ϕ + icos ϕ ⎞
2 ⎜
2 ⎟
2
2 2
2
⎝
⎠
i π−ϕ
ϕ ⎛
⎜ cos π
− ϕ
+ isin π
− ϕ ⎞
ϕ
e , (0 ≤ ϕ ≤ π) ；
= 2sin
⎟ = 2sin
⎠
2
2 ⎝ 2
2
2
⎛ 1 1 ⎞
2i 1
（5） = 2i(− 1 − i) = 1 − i = 2 ⎜ − i ⎟
− 1 + i 2 2 2
⎝
⎠
⎛
π
π ⎞
=
2 ⎜ cos
⎝
− isin
⎟
4
4 ⎠
−i π
= 2e
4
(cos5ϕ + isin5ϕ )2
= (ei5ϕ )2 / (e−i3ϕ )3 = ei10ϕ /e−i9ϕ = ei19ϕ
（6）
(cos3ϕ − isin3ϕ )3
3

= cos19ϕ + isin19ϕ
9．将下列坐标变换公式写成复数的形式：
⎧x = x + a ,
1）平移公式： 1 1
⎨
⎩ y = y1 + b1 ;
⎧x = x cosα − y sin α ,
2）旋转公式： 1 1
⎨
⎩ y = x1 sin α + y1 cos α.
解：设 A = a1 + ib1 ， z1 = x1 + iy1 ， z = x + iy ，则有
iα
1） z = z1 + A ；2） z = z1 (cosα + i sin α ) = z1e 。
10．一个复数乘以-i，它的模与辐角有何改变？
⎛
π ⎞
π
i⎜ Arg z − ⎟
−i
解：设复数 z =| z | ei Arg z ，则 z(− i ) =| z | e
辐角减少 π 。
i Arg z
⋅ e 2 = |z|e ⎝ 2 ⎠ ，可知复数的模不变，
2
11．证明：| z + z |2 + | z − z |2 = 2(| z |2 + | z |2 ) ，并说明其几何意义。
1 2
1 2
1
2
证明：| z + z |2 + | z − z
|2
=
=
=
( z + z )( z + z ) + ( z − z )( z − z )
1 2
1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2( z1 z1 + z2 z2 )
2(| z |2 + | z |2 )
1
2
其几何意义平行四边形的对角线长度平方的和等于四个边的平方的和。
12．证明下列各题：
P( z)
1）任何有理分式函数 R( z) =
可以化为 X + iY 的形式，其中 X 与Y 为具
Q( z)
有实系数的 x 与 y 的有理分式函数；
2）如果 R( z) 为 1）中的有理分式函数，但具有实系数，那么 R( z ) = X − iY ；
3）如果复数 a + ib 是实系数方程
n
n−1
a0 z + a1 z + + an−1 z + an = 0
的根，那么 a − ib 也是它的根。
P( z)
P( z)Q( z)
Re(P( z)Q( z))
Im(P( z)Q( z))
证 1） R( z) =
=
=
+
;
Q( z)
Q( z)Q( z)
q( x, y)
q( x, y)

P( z )
P( z)
⎛ P( z) ⎞
2） R( z ) = =
= ⎜
⎟ = X + iY = X − iY ;
Q( z )
⎝ Q( z) ⎠
Q( z)
3）事实上
( )
n
n−1
P z = a0 z + a1 z + + an−1 z + an
4

= a0 + a1z + a2 z 2 + + an z n = P(z )
13．如果 z = eit ，试证明
（1） z n + 1 = 2 cos nt ；
1
（2） z n − = 2 i sin nt
z n
z n
解 （1） z n + 1 eint + e−int = eint + eint = 2 sin nt
z n
1
（2） z n − = eint − e−int = eint − eint = 2 i sin nt
z n
14．求下列各式的值
1
（1） ( 3 − i)5 ；
（2） (1 + i)6 ；
（4） (1 − i)3
（3） 6 − 1 ；
5
⎡
⎞⎤
⎛
解 （1） (
3 − i)5 = ⎢2⎜
3 − i ⎟⎥
= (2e−iπ / 6 )5 = 32e−i 5π / 6
⎜
2 ⎟⎥⎦
2
⎢⎣
⎝
⎠
= 32 ⎡cos ⎛ − 5π ⎞ + isin ⎛ − 5π ⎞⎤ = −16 3 −16i
⎜ ⎟
⎜
⎟⎥
⎢
6
6
⎝ ⎠
⎝
⎠⎦
⎣
6
⎡
⎛ 1 i ⎞⎤
= (
)
6
（2） (1 + i )
6
iπ /4
3π i/2
= ⎢ 2 ⎜ +
2e
= 8e = −8i 。
⎟⎥
2
2 ⎠⎦
⎝
⎣
1
（3） 6 −1 = (eiπ+2kπ )6 = eiπ(2k +1)/6 ,k = 0,1,2,3,4, 5 。可知 6 − 1 的 6 个值分别是
3 + i , eiπ/2 = i eii5π/6 = −
3 + i
eiπ/6 =
2 2
2 2
ei7π/6 = − 3 − i ， ei 3π/ 2 = − i ， ei11π/ 4 = 3 − i 。
2 2
1
2 2
⎛
π
⎞
⎡
⎛ 1 i ⎞⎤ 3
1
2⎜ − ⎟⎥ = ( 2e−i π/ 4 )3 = 6 2e ⎝
1
i⎜ − +2 kπ ⎟ 3
（4） (1 − i)3 = ⎢
4
k = 0,1,2 。
⎠
,
2 2 ⎠⎦
⎝
⎣
可知 (1 − i )1/ 3 的 3 个值分别是
π
π ⎞
⎛
6 2e−iπ / 2 = 6 2 ⎜ cos
− i sin
⎟,
12
12 ⎠
⎝
6 2ei 7π /12 = 6 2 ⎜ cos 7
π
+ i sin 7 ⎟,
π ⎞
⎛
12
12 ⎠
⎝
5π
4
5π ⎞
⎛
6 2ei5 / 4 = 6 2 ⎜ cos
⎝
π
⎟ 。
+ i sin
4 ⎠
15．若 (1 + i)n = (1 − i)n ，试求 n 的值。
5

2eiπ / 4 )n = ( 2e−iπ /4 )n , einπ / 4 = e−inπ /4 ， sin n π = 0 ，
解 由题意即 (
4
故 n = 4k , k = 0, ±1, ±2, 。
16．（1）求方程 z3 + 8 = 0 的所有根
（2）求微分方程 y' ' '+8 y = 0 的一般解。
i π (1+2 k )
1
（1） z = (−8)3 = 2e 3
解
，k=0,1,2。
即原方程有如下三个解：
1 + i 3, −2, 1 − i 3 。
（2）原方程的特征方程 λ3 + 8 = 0 有根 λ = 1 + 3 i ， λ = −2 ， λ = 1 − 3i ，故其
1
2
3
一般形式为
y = C e−2 x + e x (C cos 3x + C sin 3x)
1
2
3
17．在平面上任意选一点 z ，然后在复平面上画出下列各点的位置：
−z, z , −z , 1 , 1 , − 1 。
z z z
z
x
−
z
z
18．已知两点 z1 与 z2 （或已知三点 z1 , z2 , z3 ）问下列各点位于何处？
1
（1） z = (z1 + z2 )
2
（2） z = λz1 + (1 − λ )z2 （其中 λ 为实数）；
1
（3） z = (z1 + z2 + z3 ) 。
3
解 令 zk = xk + iyk ,k = 1,2,3 ，则
（1） z = x1 + x2 + i y1 + y2 ，知点 z 位于 z 与 z 连线的中点。
1 2
2
2
6
y

−z

1

z

o

-z

1

z

1

|z − z1|
（2）z = x2 − λ(x2 − x1 ) + i[y2 − λ(y2 − y1 )]，知点位于 z1 与 z2 连线上定比 λ =

处。
|z2 − z1|
（3） z = 1 (
1
+ i
3 ) ( 1
y + y + y ) ，由几何知识知点 z 位于 ∆z z z 的重心
x + x + x
1 2 3
2
2 3
3
3
处。
19．设 z1 , z2 , z3 三点适合条件： z1 + z2 + z3 = 0 ,
z1 = z2
= z3
= 1 。证明z1，z2，z3是内接于单位圆 z = 1 的一个正三角形的顶
点。
证 由于 z1 = z2
因为
= z3
= 1 ，知 ∆z1 z2 z3 的三个顶点均在单位圆上。
2

1 =
z3
= z3 z3
= [− (z1 + z2 )][− (z1 + z2 )] = z1 z1 + z2 z2 + z3 z2 + z1 z2
= 2 + z1 z2 + z1 z2
所以， z1 z2 + z1 z2 = −1 ，又
2
z1 − z2
= ( z1 − z2 )( z1 − z2 ) = z1 z1 + z2 z2 − ( z1 z2 + z2 z1 )
= 2 − (z1 z2 + z1 z2 ) = 3
故
z1 − z2
= 3 ，同理 z1 − z3
= z2 − z3
= 3 ，知 ∆z1 z2 z3 是内接于单位圆 z = 1
的一个正三角形。
20．如果复数z1，z2，z3满足等式
z2 − z1 = z1 − z3
z3 − z1 z2 − z3
证明 z2 − z1 = z3 − z1 = z2 − z3 ，并说明这些等式的几何意义。
由等式得
arg(z2 − z1 ) − arg( z3 − z1 ) = arg(z1 − z3 ) − arg(z2 − z3 )
即 ∠z2 z1 z3 = ∠z1 z3 z2 。又因为
z2 − z1 = (z2 − z1 ) + (z1 − z3 ) = z2 − z3
z3 − z1 (z3 − z1 ) + (z2 − z3 ) z2 − z1
又可得 ∠z2 z1 z3 = ∠z3 z2 z1 ，所以知 ∆z1 z2 z3 是正三角形，从而
z2 − z1 = z3 − z1 = z2 − z3 。
7

21．指出下列各题中点 z 的存在范围，并作图。
（1）| z − 5 |= 6 ；（2）| z + 2i |≥ 1 ；
（3） Re( z + 2) = −1 ；（4） Re(iz ) = 3 ；
（5）| z + i |=| z − i | ；（6）| z + 3 | + | z + 1 |= 4
（7） Im( z) ≤ 2 ；（8）
≥ 1 ；
（9） 0 < arg z < π ；（10） arg(z − i) = π
4
解：（1）以点 z0 = 5 为心，半径为 6 的圆周（见下图（a））；
（2）以点 z0 = −2 i 为心，半径为 1 的圆周及外部（见下图（b））；
（3）由于 Re( z + 2) = −1 ⇔ x = −3 知点 z 的范围是直线 x = −3 （见下图（c））；
（4） iz = i( x − iy) = y + ix ，故 Re(iz ) = 3 ⇔ y = 3. 知点 z 的范围是直线 y=3（见下
图（d））；
（5） z + i =
2
2

z − i ⇔
z + i
=
z − i
⇔（z + i)( z − i) = ( z − i)( z + i) ⇔
2

2

z
− iz + i z +1 =
z
+ iz − iz +1 ⇔ iz − iz = 0 ⇔ 2 Re(iz ) = 0 ⇔ 2 y = 0
⇒ y = 0. 知点 z 的范围是实轴（见下图（e））；
（6） z + 3 + z + 1 = 4 ⇔ z + 3 2 = (4 − z + 1)2 ⇔ x − 2 = −2 z + 1 ⇔ ( x − 2)2 = 4 z + 1 2
2
2
（x + 2) + y
⇔ 32 + 12x + 4 y 2 = 0 ⇔
= 1 ，即点 z 的范围是以（-3,0）和（-1,0）
4
3
为焦点，长半轴为 2，短半轴为 3 的一椭圆（见下图（f））；
（7） y ≤ 2 ，（见下图（g））；。
（8）z − 3 ≥ 1 ⇔ z − 3 2 ≥ z − 2 2 ⇔ ( z − 3)( z − 3) ≥ ( z − 2)( z − 2) ⇔ z 2 − 3z − 3z + 9 ≥
2 5 5 5
z − 2z − 2z + 4 ⇔ z + z ≤ 5 ⇔ x ≤ . 即点 z 的范围是直线 x = 以及 x = 为边
2
2
2
界的左半平面（见下图（h））；
（9）不包含实轴上半平面（见下图（i））；
（10）以 i 为起点的射线 y = x + 1, x > 0 （见下图（j））；
8

z − 2
z − 3
z − 2

y
y

O
x
O
i

-2
x
5
(a)
(b)
y
3i
O
x
(c)
(d)
y
y
3i
i
x
-2
z
x
(f)
-i

y
(e)
y
y=x+1
O
i
x
O
x
5/2
(h)
(j)
22．描出下列不等式所确定的区域，并指是有界的还是无界的，闭的还是开的，
单连的还是多连的。
（1） Im z > 0 ；
（3） 0 < Re z < 1 ；
（5） z − 1 < z + 3 ；
（2） z − 1 > 4 ；
（4） 2 ≤
z ≤ 3 ；
（6） −1 < arg z < −1 + π ；
9

(i)

2i

(g)

-3

（8）| z − 2 | + | z + 2 |≤ 6 ；
（10） zz − (2 + i) z − (2 − i) z ≤ 4 。
（7） z − 1 < 4 z + 1 ；
（9） z − 2 − | z + 2 |> 1；
解 （1） Im z > 0
y
x
O
不包含实轴的上半平面，是无界的、开的单连通区域。
（2） z − 1 > 4
y
5
O 1
x
圆 ( z − 1)2 + y 2 = 16 的外部（不包括圆周），是无界的、开的多连通区域。
（3） 0 < Re z < 1
y
O
x
由直线 x = 0 与 x = 1 所围成的带形区域，不包括两直线在内是无界的、开的
单连通区域。
y
（4） 2 ≤
z ≤ 3
O 2
3
x
10

以原点为中心，2 与 3 分别为内、外半径的圆环域，不包括圆周，是有界的、
开的多连通区域。
（5） z − 1 < z + 3 ⇔ x > −1
y
D
-1
O
x
直线 x = -1 右边的平面区域，不包括直线在内，是无界的、开的单连通的区域。
（6） −1 < arg z < −1 + π
y
x
由射线θ = 1 及θ = 1 + π 构成的角形域，不包括两射线在内，即为一半平面，是
无界的、开的单连通区域。
2
2
（7） z −1 < 4 z +1 ⇔ ⎛ x + 17 ⎞ + y2 > ⎛ 8 ⎞
⎜
15 ⎟
⎜ 15 ⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
y
D
8/15
-17/15
x
O
11

o

-1

中心在点 z = − 17 ，半径为 8 的圆周的外部区域（不包括圆周本身在内），是无
15
界的、开的多连通区域。
（8）| z − 2 | + | z + 2 |≤ 6
15
y
x
x2
y 2
是椭圆 + = 1及其围成的区域，是有界的、闭的单连通区域。
9 5
4
（9） z − 2 − | z + 2 |> 1 ⇔ 4x2 − y 2 > 1, x < 0
15
y
D
x
－1/2
4
是双曲线 4 x2 − y 2 = 1的左边分支的内部区域，是无界的、开的单连通区域。
15
（10） zz − (2 + i) z − (2 − i) z ≤ 4
y
12

o

2 x
-1

5

o

3

是圆 ( x − 2)2 +（y +1）2 = 9 及其内部区域，是有界的、闭的单连通区域。
23．证明：z 平面上的直线方程可以写成
az + a z = C （a 是非零复常数，C 是实常数）
证
设 直 角 坐 标 系 的 平 面 方 程 为 Ax + By = C
将
x = Re z = 1 ( z + z ), y = Im z = 1 ( z − z ) 代入，得
2
2i
1 ( A − i B) z + 1 ( A − i B) z = C
2
2
令 a = 1 ( A + iB) ，则 a = 1 ( A − iB) ，上式即为 az + a z = C 。
2
2
24．证明复平面上的圆周方程可写成：
zz + α z + α z + c = 0, (其中α为复常数，c为实常数) 。
证 ( z + a)( z + a) = R2 ⇔ zz + az + az + aa − R2 = 0 ，其中 c = aa − R2 为实
常数。
25．求下列方程（t 是实参数）给出的曲线。
（1） z = (1 + i)t ；
（3） z = t + i ；
（2） z = a cos t + ib sin t ；
i
（4） z = t 2 + ，
t 2
（6） z = aeit + be−it
t
（5） z = acht + ibsht
（7） z = eαt , (α = a + bi为复数)
⎧x = t
解（1） z = x + iy = (1 + i)t ⇔ ⎨ ,−∞ < t < ∞ 。即直线 y = x 。
⎩ y = t
⎧x = a cos t
（ 2 ） z = x + iy = a cos t + ib sin t ⇔ ⎨
0 < t ≤ 2π ，即为椭圆
,
⎩ y = b sin t
x 2
y 2
= 1 ；
+
a 2 b2
⎧ x = t
（3） z = x + iy = t + i ⇔ ⎪ ，即为双曲线 xy = 1 ；
⎨ y = 1
t
⎪⎩
t
⎪⎧ x = t 2
i
（4） z = x + iy = t + ⇔ ⎨ 1 ，即为双曲线 xy = 1 中位于第一象限中的一
2 =
2
⎪⎩ y
t
t 2
支。
13

⎧x = acht
x2
y2
（5） z = acht + ibsht ⇔ ⎨
⇔ − = 1 ，双曲线
a2
b2
⎩ y = bsht
x2
y 2
= 1, 椭圆
+
（6）
(a + b)2 (a − b)2
2 a arctan y
（7） x2 + y 2 = e b
x
26 ．函 数 w = 1 将
平面 上的下 列 曲线变 成 w 平面上 的 什么曲 线
z
z
(z = x + iy, w = u + iv) ？
（1） x2 + y 2 = 6 ；
（3） x = 1 ；
（2） y = x ；
（4） (x −1)2 + y 2 = 1
解 w = 1 =
1
x
y
x
− y
=
− i
， u =
, v =
，可得
x 2 + y 2 x 2 + y 2
x2 + y 2 x2 + y 2
z x + iy
2
2
x + y
1
= 1 ，是 w 平面上一圆周；
（1） u 2 + v2 =
=
(x2 + y2 )2
x2 + y2 4
= − (− y ) = −v ，是 w 平面上一直线；
x
y
（2） u =
=
x2 + y 2 x2 + y 2 x2 + y 2
− y
1
1
，从而 u 2 + v2 =
（3）由 x = 1，知 u =
, v =
= u
1 + y 2
1 + y2
1 + y2
2
2
此为 ⎛ u − 1 ⎞ + v2 = ⎛ 1 ⎞ 是 w 平面上一圆周；
⎜ 2 ⎟
⎜ 2 ⎟
⎝
⎠
⎝ ⎠
x
= 1 ，于是 u = 1 ，是 w 平面上一
（4） (x − 1)2 + y 2 = 1 ⇔ x 2 + y 2 = 2x ⇔
x 2 + y 2 2
2
平行与 v 轴的直线。
27．已知映射 w = z 3 ，求
（1）点 z1 = i ， z2 = 1 + i ， z3 = 3 + i 在 w 平面上的像。
（2）区域 0 < arg z < π 在 w 平面上的像。
3
解 设 z = reiθ ，则ω = z 3 = r 3ei 3θ 。于是
iπ
iπ
π
π ⎞
⎛
（1） z1 = i = e 2 , z2 = 1 + i =
2 ⎜ cos
⎝
+ i sin
⎟ =
2e 4
4
4 ⎠
⎛
1 ⎞
i π
3
π
π ⎞
⎛
z3 = 3 + i = 2⎜ + i

⎟

⎟ = 2⎜ cos
+ i sin
⎟ = 2e

6
⎜
2 2
6
6 ⎠
⎝
⎝
⎠
14

经映射后在 w 平面上的像分别是
i 3π / 3
w1 = e = − i ，
3 3π
⎛ 1
1 ⎞
w = 2 2 e = 2 2 ⎜ − + i ⎟ = −2 + i 2 ，
4
2
2 2 ⎠
⎝
π
i
3
w3 = 2 e 2 = 8 i
（2）因为以原点为顶点的角形域的顶角张大三倍，所以为 0 0 ，则 ∃δ > 0 ，当
2
z → z 0
z − z0 < δ 时，有
f ( z )
0
f ( z) − f ( z ) < ε =
0
2
f ( z0 )
f ( z0 )
从而 f ( z ) −
f ( z) ，即 f ( z) >
> 0 即点 z ∈U ( z , δ ) 时，则 f ( z) ≠ 0 。
<
0
0
2
2
30．设 lim f ( z) = A ，证明 f ( z) 在 z0 的某一去心邻域内是有界的。
z → z0
证 取 ε = 1 ，则 存在 δ > 0 ，当 0 <| z − z0 |< δ 时， | f ( z) − A |≤ 1 。故在
0 <| z − z0 |< δ 内，| f ( z) |=| f ( z) − A + A |≤| f ( z) − A | + A |≤ 1+ | A | 。
1 ⎛ z
z ⎞
31．设 f ( z) =
− ⎟ , ( z ≠ 0) 试证当 z → 0 时 f ( z) 的极限不存在。
⎜
2i ⎝ z z ⎠
1 ⎛ z
z ⎞
2 xy
证 f ( z) =
− ⎟ =
，显然。
⎜
2i ⎝ z z ⎠ x2 + y 2
32．试证 arg z(−π < arg z ≤ π ) 在负实轴上（包括原点）不连续，除此而外在 z 平
面上处处连续。
证 设 f ( z) = arg z ，因为 f(0)无定义，所以 f(z)在原点 z=0 处不连续。 当z0为负实轴上的点时，即 z0 = x0 ( x0 < 0) ，有
⎧
⎛
y
⎞
⎪ lim ⎜ arctan + π ⎟
x
⎪ x → x0 ⎝
⎠
⎧ π
+
y →0
lim arg z = ⎨
= ⎨
⎞
⎛
y
⎩− π
z → z
⎪ lim ⎜ arctan − π ⎟
0
⎪ x → x0 ⎝
x
⎠
⎪⎩ y →0 −
所以 lim arg z 不存在，即 arg z 在负实轴上不连续。而 argz 在 z 平面上的其它点
z → z 0
处的连续性显然。
15

习题二解答
1．利用导数定义推出：
⎛ 1 ⎞ ' = − 1
1)( z n ) ' = nz n−1 , (n是正整数)； 2
）⎜ z ⎟
。
z 2
⎝ ⎠
n
n
证 1） ( z n ) ' = lim ( z + ∆z)
− z
= lim (nz n−1 + C 2 z n−2 ∆z + ∆z n−1 ) = nz n−1
n
∆z
∆z →0
∆z →0
1 1
−
z + ∆z z
⎛ 1 ⎞
1
1
2） ⎜
⎟ ' = lim
= − lim
= −
z 2
⎝ z ⎠
∆