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唐山市2006—2007学年度高三年级第三次模拟考试
理 科 数 学 试 卷
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参考公式：
如果事件A、B互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么 其中R表示球的半径
P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概率是P，
那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率： 其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
（1）已知复数，则
（A） （B） （C） （D）
（2）在函数的反函数图象上的一个点可以是
（A） （B） （C） （D）
（3）已知函数是Ｒ上的奇函数，则
（A）　　　　　　　　　　（B）
（C）　　　　　　　　　　（D）与的大小无法确定
（4）数列中，（且），则
（A）71　　　　　（B）　　　　　（C）67　　　　　　（D）
（5）若实数满足则的最小值为
（A）3　　　　　（B）　　　　　（C）　　　　　（D）
（6）一个直角三角形内角的正弦值成等差数列，其最小内角为
（A）　　　　（B）　　　（C）　　　　（D）
（7）函数在上单调递减的充分必要条件是
（A）　（B）　　　（C）　　　　　（D）
（8）在的展开式中的系数是
（A）84　　　　　（B）　　　　　（C）　　　　　（D）112
（9）是圆上两点，且，为坐标原点，则
（A）　　　（B）　　　（C）　　　　　　（D）
（10）是圆的直径，垂直于圆所在的平面，且，点在圆上，，则与平面所成角的正切值为
（A）2　　　　　（B）　　　　　　（C）　　　　　　　（D）
（11）某种电子产品的组装共有６道不同工序，其中的４道工序要求先后顺序一定，另外２道工序对先后顺序没有特别要求，可以设计的装配流水线共有
（A）720条　　　（B）30条　　　　（C）15条　　　　　　　（D）2条
（12）如图，点在上或它的内部运动，且，当取最大值时，的取值范围是
（A）　　　（B）　　　　（C）　　　　　（D）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
（13）不等式的解集是　　　　　　　　　　
（14）是双曲线的左、右焦点，为该双曲线渐近线上一点，当时，的面积为　　　　　　　　
（15）已知是直线，是平面，给出命题：
若则；
设是直二面角，若，则；
若在内的射影依次为一个点和一条直线，且，则或；
设是异面直线，若，则与相交
其中真命题的序号是　　　　　　（把所有真命题的序号都填上）
（16）若不等式对一切正整数恒成立，则实数的取值范围是　　.
三、解答题：本大题共6小题，共74分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（17）（本小题共12分）
已知函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.

（18）（本小题共12分）
如图在长方体中，点在线段上.
（Ⅰ）求异面直线与所成的角；

（Ⅱ）若二面角的大小为，求点到平面的距离.

（19）（本小题共12分）
一项足球素能测试由一射门员对一守门员进行点射对抗，共重复进行5次。规定：若5次点射中至多破门3次，则射门员被警告；若5次点射中至少3次连续破门，则守门员被警告。同时规定，射门员和守门员可能都被警告或都不被警告。
经验表明：射门员对守门员每次点射破门的概率为。今此二人恰好相遇。
（Ⅰ）求射门员被警告的概率；
（Ⅱ）求守门员被警告的概率.

（20）（本小题共12分）
设，讨论函数的单调性.

（21）（本小题共12分）
椭圆与抛物线有一个共同的焦点，椭圆左准线与抛物线准线之间的距离为3.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是第一象限内分别在椭圆和抛物线上的不同两点，且直线的斜率为0,求 的最大值。

（22）（本小题共14分）
在数列中，
（Ⅰ）试比较与的大小；
（Ⅱ）证明：当时，.

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理科数学参考答案及评分标准
一、选择题：
A卷：CCADD BBCDA BA
二、填空题：
（13） （14）15 （15）③ （16）
三、解答题：
（17）解：

………………………………4分
　　　　（Ⅰ）函数的最小正周期…………………6分
　　　　（Ⅱ）当时，
当，即时，取最小值.………10分
所以使题设成立的充要条件是，
故的取值范围是………………………………12分
（18）解法一：（Ⅰ）连结。由已知，是正方形，有。
∵平面，∴是在平面内的射影…………3分
根据三垂线定理，得，则异面直线与所成的角为…5分
作，垂足为，连结，则
所以为二面角的平面角，.
于是
易得，所以，又，所以…8分
设点到平面的距离为.
∵即，
∴，即，∴.
故点到平面的距离为…………………………………………12分
解法二：分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系.
（Ⅰ）由，得
设，又，则………………3分
∵∴
则异面直线与所成的角为…………………………5分
（Ⅱ）为面的法向量，设为面的法向量，则

∴. ①
由，得，则，即
∴ ②
由①、②，可取…………………………8分
又，所以点到平面的距离
………………………………………12分
（19）解（Ⅰ）射门员被警告的概率

……………………………6分
（或）
（Ⅱ）守门员被警告的概率

…………12分
（20）解：……2分
（1）若，则
当时，，单调递增；当时，，
单调递减.…………………………………………………4分
（2）若时，则
（ⅰ）若，则当时，，单调递减；当
时，，单调递增；当时，，
单调递减.………………………………………………………………8分
（ⅱ）若，则当时，，单调递增；当
时，，单调递减.………………………10分
（ⅲ）若，则当时，，单调递增；当
时，，单调递减；当时，，
单调递增.…………………………………………………12分
（21）解：（Ⅰ）由题设，椭圆的右准线即抛物线的焦点为，则.
椭圆的左准线与抛物线的准线的距离为
依题意，有.
故椭圆方程为………………………………4分
（Ⅱ）设，则，且
又………6分

…………………………10分
当时，有最大值.……………………12分
（也可用抛物线的定义，椭圆的第二定义推出）
（22）解：（Ⅰ）由题设知，对任意，都有
，

………………………………6分
（Ⅱ）证法1：由已知得，
又.
当时，

……………………………………10分
设 ①
则 ②
①-②，得

………………………………14分
证法2：由已知得，
当时，由，知不等式成立。………………8分
假设当不等式成立，即，那么

要证，只需证
即证，则只需证……………………10分
因为成立，所以成立.
这就是说，当时，不等式仍然成立.
根据（1）和（2），对任意，且，都有………14分

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