1、高二数学“导数及其应用”综合测试卷
一、填空题（本题共14小题，每小题5分，合计70分）
1. 已知函数，则 ▲
2. 曲线在点的切线方程是 ▲
3. 函数的单调增区间是 ▲
4. 已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则 ▲
5. 已知函数则 ▲
6. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是 ▲
7. 设函数（x∈R），若对于任意，都有≥0 成立，则实数= ▲
8. 若函数的定义域为，，对任意，则的
解集为 ▲
9. 曲线和在
2、它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积为 ▲
10. 已知函数的递增区间为，则的取值范围是 ▲
11. 已知函数的导函数若在处取到极大值,则的取值范围是 ▲
12. 周长为的矩形围成圆柱（无底），当圆柱的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱的高之比是 ▲
13. 已知二次函数导数为且，对任意实数都有则的最小值为 ▲
14. 在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图象在处的切线交轴于点，过点作的垂线交轴于点，设线段的中点的纵坐标为，则的最大值是 ▲ ．
3、
二、解答题（第15,16题各14分；17,18题各15分；19,20题各16分，共计90分）
15.已知函数图象上的点处的切线方程为.
（1）若函数在时有极值，求的表达式；
（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.
16．若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.已知a，b是实数，1和是函数的两个极值点．
（1）求a和b的值；
（2）设函数的导函数，求的极值点；
17. 设函数.
（1）对于任意实数恒成立，求实数的最大值；
（2）若方
4、程有且仅有一个实根，求实数的取值范围.
18. 已知函数
（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；
（2）若是的极值点，求在上的最小值和最大值.
19. 用长为24m的钢条围成一个长方体形状的框架, 要求长方体的长与宽之比为3：1,
问该长方体长、宽、高各为多少时,其体积最大？最大体积是所少？
20. 设函数，，其中为实数。
（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；
（2）
5、若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。
高二数学“导数及其应用”综合测试参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10. 11. 12.
13. 14.
15. 解：即①
又②
（1） 函数在时有极值，③
解①②③得
（2）函数在区间上单调递增，
在区间上恒成立，则
得 实数的取值范围为.
16．
17. 解：（1）对于任意实
6、数
恒成立，恒成立，
解得的最大值为.
（2）当时，当时，
当时， 当时，取极大值当时，
取极小值又方程有且仅有一个实根，或
解得或.实数的取值范围为.
18. （1）由题设知时，
（时取等号）.时，当且仅当时
（2）由题设知即
令得或（舍去）.
当时，单调递减；当时，单调递增.
当时，有极小值
又在上的最小值是最大值是
19.
20.（1）≤0在上恒成立，则≥， ．
故：≥1．，若1≤≤e，则≥0在上恒成立，此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；
若＞e，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，，满足．故的取值范围为：＞e．
（2）≥0在上恒成立，则≤
7、ex，
故：≤．．
(ⅰ)若0＜≤，令＞0得增区间为(0，)；
令＜0得减区间为(，﹢∞)．
当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；
当x＝时，f()＝﹣lna－1≥0，当且仅当＝时取等号．
故：当＝时，f(x)有1个零点；当0＜＜时，f(x)有2个零点．
(ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点．
(ⅲ)若a＜0，则在上恒成立，
即：在上是单调增函数，
当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞．此时，f(x)有1个零点．
综上所述：当＝或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜＜时，f(x)有2个零点．
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