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实变函数练习及答案
一、选择题
1、以下集合，（ ）是不可数集合。
所有系数为有理数的多项式集合； 中的无理数集合；
单调函数的不连续点所成集合； 以直线上互不相交的开区间为元素的集。
2、设是可测集，是不可测集，，则是（ ）
可测集且测度为零； 可测集但测度未必为零；
不可测集； 以上都不对。
3、下列说法正确的是（ ）
在—可积在—可积；
在—可积在—可积；
在—可积在—可积；
在—广义可积在—可积
4、设是一列可测集，则有（ ）
； ；
； 以上都不对。
5、成立的充分必要条件是（ ）
； ；
； 。
6、设是闭区间中的无理点集，则（ ）
； ；
是不可测集； 是闭集。
7、设，是上几乎处处有限的可测函数列，是上几乎处处有限的可测函数，则几乎处处收敛于是依测度收敛于的（ ）
必要条件； 充分条件；
充分必要条件； 无关条件。
8、设是上的可测函数，则（ ）
是上的连续函数； 是上的勒贝格可积函数；
是上的简单函数； 可表示为一列简单函数的极限。c
二、填空题：
1、设，，如果的任何邻域中都含有的 点，则称是的聚点。
2、设，若是有界 点集，则至少有一个聚点。
3、设是上的可测函数，，则是上的 函数。
4、设在上，依测度收敛于，则存在的子列，使得在上， 敛于。
5、设设,则________________。
6设P是Cantor集，，则___________。
7、写出一个与之间一一对应关系式__________________ 。
8.设，则 。
9、设是中有理数全体，则的闭包 为_____________。
10、直线上的任意非空开集可以表示成___________________________________的并集。
三、判断题。
1、与的势是不等的。……………………( )
2、设，为上一列有限的可测函数，若在上收敛于有限的可测函数，则在上依测度收敛于。…………( )
3、若则。……………( )
4、设在上可积,则在上必可积。………………( )
5、若不是的聚点，则是的孤立点。……………………………………( )
6、设，则对上的任何实值函数都有。………………( )
7、设在上可测，则由在上可积可以推出在上可积，但反之不对。…( )
8、若为上非负单调可测函数列，且，则。…( )

四、计算题与证明题
1、证明：若，，则。

2、设是上的实值连续函数，是任意给定的实数，证明是开集。

3、设，都是可测集，试证：。

4、设在可测集上，，且于，试证明：于.

5、设,,则在上几乎处处成立.

6、叙述并且证明鲁津定理的逆定理.

7、计算。

8、若且有关函数的积分存在，证明：。

答案
一．选择题
1．B 2．C 3．A 4. B 5.D 6.A 7.B 8.D
二．填空题
1.无穷多个 2.无穷 3.可测 4.几乎处处收敛 5. 6.1 7. 8.　 9. 10.有限个或可列个构成区间
三、判断题
1．× 2. √ 3. × 4. × 5. ×
6.√ 7、× 8.×
四、证明与计算
1.证明：根据集合的性质有：

并且集合与，与是不相交的。
由于，因此，由题设可知，于是。
2、设，则存在中的互异点列，使得，因连续所以，而，由极限的保号性，，因此，故是闭集。
由于，故是开集。
3、证明：由于，都是可测集，根据可测集的性质，和都是可测集。
如果和中至少有一个为，则结论显然成立。
设，。根据集合的性质可知

而且上式右端三个集合是两两不相交的可测集，因此根据测度的有限可加性有

所以成立。
4、证明：因，则由黎斯定理，存在子列，使得于。
令，则。对任意，有，且。
由于是增加数列，故，因此在上恒有成立，故于.
5、.证明: 由于
,
故对任何自然数,
,
从而
令,即得 .
但是
故, 即 a.e.于E.
6．叙述：设是上a.e.有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且证明：是上的可测函数。
证明：闭集在连续。令则在连续在F连续，又对
，
故，在连续，又，所以是
上的可测函数，从而是E上的可测函数。
7．解：令，易见
若，则

若，则

令
则在上，由与知
在是可积函数，
于是由控制收敛定理得：
。
8．证明：若则，于是由不等式

令，则得到

7