高考数学简易逻辑知识点+例题+练习.doc

简 易 逻 辑

简易逻辑性
命题
逻 辑 联 结 词
简单命题与复合命题
四种命题及其关系
充分必要条件
知识网络

逻辑联结词和四种命题

基础过关

一、 命题的概念
1. 可以 的语句叫做命题．
2. 命题由 两部分构成；
3. 命题有 之分；数学中的定义、公理、定理等都是 命题．
二、命题的分类
（一）四种命题
1．四种命题：原命题：若p则q；
逆命题： ；
否命题： ；
逆否命题： .
2．四种命题的关系：

结论：互为逆否命题的两个命题真假性相同。

（二）简单命题与复合命题
1．逻辑联结词有 .
2.不含 的命题是简单命题．
33. 的命题是复合命题．复合命题的构成形式有三种： .(其中p，q都是简单命题)．
4．判断复合命题的真假的方法—真值表：

(三)全称命题与存在命题
1.全称量词：__________________________________，用______表示；
2.存在量词：__________________________________，用______表示。
3.全称命题：_________________________，___________________；
4. 存在命题：_________________________，___________________。
三、区分“命题的否定”和“否命题”
1.命题的否定只否定结论：_________________；
2.否命题条件、结论都否定：___________________。
典型例题
9

例1. 分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假:
(1) 若q<1，则方程x2＋2x＋q＝0有实根；
(2) 若ab＝0，则a＝0或b＝0；
(3) 若x2＋y2＝0，则x、y全为零.
解：(1)逆命题：若方程x2＋2x＋q＝0有实根，则q＜1，为假命题．
否命题：若q≥1，则方程x2＋2x＋q＝0无实根，为假命题．
逆否命题：若方程x2＋2x＋q＝0无实根，则q≥1，为真命题．
(2)逆命题：若a＝0或b＝0，则ab＝0，为真命题．
否命题：若ab≠0，则a≠0且b≠0，为真命题．
逆否命题：若a≠0且b≠0，则ab≠0，为真命题．
(3)逆命题：若x、y全为零，则x2＋y2＝0，为真命题．
否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为零，为真命题．
逆否命题：若x、y不全为零，则x2＋y2≠0，为真命题．
变式训练：写出下列命题的否命题，并判断原命题及否命题的真假：
（1）如果一个三角形的三条边都相等，那么这个三角形的三个角都相等；
（2）矩形的对角线互相平分且相等；
（3）相似三角形一定是全等三角形.
解：（1）否命题是：“如果一个三角形的三条边不都相等，那么这个三角形的三个角也不都相等”.
原命题为真命题，否命题也为真命题.
（2）否命题是：“如果四边形不是矩形，那么对角线不互相平分或不相等”
原命题是真命题，否命题是假命题.
（3）否命题是：“不相似的三角形一定不是全等三角形”.
原命题是假命题，否命题是真命题.

例2：如果命题“p或q”是真命题，“p且q”是假命题.那么（ ）
A．命题p和命题q都是假命题
B．命题p和命题q都是真命题
C．命题p和命题“非q”真值不同
D．命题q和命题p的真值不同
解： D
变式训练：下列结论中正确的是（ ）
（A）命题p是真命题时，命题“P且q”一定是真命题。
（B）命题“P且q”是真命题时，命题P一定是真命题
（C）命题“P且q”是假命题时命题P一定是假命题
（D）命题P是假命题时，命题“P且q”不一定是假命题
解：D
例3. 已知p：有两个不等的负根，q：无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．
分析：由p或q为真，知p、q必有其一为真，由p且q为假，知p、q必有一个为假，所以，“p假且q真”或“p真且q假”.可先求出命题p及命题q为真的条件，再分类讨论．
解：p：有两个不等的负根．

q：无实根．
因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反．
(ⅰ) 当p真且q假时，有；
(ⅱ) 当p假且q真时，有．
综合，得的取值范围是{或}．
变式训练：已知下列三个方程：①x2＋4ax－4a＋3＝0，②x2＋(a－1)x＋a2＝0，③x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，求实数a的取值范围.
解：设已知的三个方程都没有实根．
则
解得．
故所求a的取值范围是a≥－1或a≤－．

充要条件
基础过关

1．充分条件：如果则p叫做q的 条件，q叫做p的 条件．
2．必要条件：如果则p叫做q的 条件，q叫做p的 条件．
3．充要条件：如果且则p叫做q的 条件．
典型例题

例3．在下列各题中判断A是B的什么条件，并说明理由．
1． A：，B：方程有实根；
2．A：；B：；
分析：要判断A是B的什么条件，只要判断由A能否推出B和由B能否推出A即可．
解：(1) 当，取，则方程无实根；若方程有实根，则由推出或6，由此可推出．所以A是B的必要非充分条件．
(2) 由，由解得，所以A推不出B，但B可以推出A，故A是B的必要非充分条件．
变式训练：指出下列命题中，p是q的什么条件（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答）.
（1）对于实数x、y，p：x+y≠8,q:x≠2或y≠6;
（2）非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；
解： (1)易知: p:x+y=8, q:x=2且y=6,显然qp.但pq,即q 是p 的充分不必要条件,根据原命题和逆否命题的等价性知,p是q的充分不必要条件.
(2)显然x∈A∪B不一定有x∈B,但x∈B一定有x∈A∪B,所以p是q的必要不充分条件.

例4. 已知p：－2＜m＜0，0＜n＜1；q：关于x的方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，试分析p是q的什么条件.
解：若方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根，设为x1、x2．
则0＜x1＜1、0＜x2＜1，∵x1＋x2＝－m，x1x2＝n
∴0＜－m＜2，0＜n＜1 ∴－2＜m＜00＜n＜1
∴p是q的必要条件．
又若－2＜m＜0，0＜n＜1，不妨设m＝－1，n＝．
则方程为x2－x＋＝0，∵△＝(－1)2－4×＝－1＜0． ∴方程无实根 ∴p是q的非充分条件．
综上所述，p是q的必要非充分条件．
变式训练：证明一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
证明：充分性：若ac<0,则b2-4ac>0,且<0,
∴方程ax2+bx+c=0有两个相异实根，且两根异号，即方程有一正根和一负根.
必要性：若一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，则=b2-4ac>0,x1x2=<0,∴ac<0.
综上所述一元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

简易逻辑章节测试题
一、选择题
1．下列语句中是命题的是（ ）
（A）语文和数学 （B）sin45°=1 (C)x2+2x-1 （D）集合与元素
2．已知下列三个命题
① 方程x2-x+2=0的判别式小于或等于零；②矩形的对角线互相垂直且平分；③2是质数，其中真命题是（ ）
（A）①和② （B）①和③ （C）②和③ （D）只有①
3．下列结论中正确的是（ ）
（A）命题p是真命题时，命题“P且q”一定是真命题。
（B）命题“P且q”是真命题时，命题P一定是真命题
（C）命题“P且q”是假命题时，命题P一定是假命题
（D）命题P是假命题时，命题“P且q”不一定是假命题
4．使四边形为菱形的充分条件是（ ）
（A）对角线相等 （B）对角线互相垂直
（C）对角线互相平分 （D）对角线垂直平分
5．如果命题“非P为真”，命题“P且q”为假，那么则有（ ）
（A）q为真 （B）q为假 （C）p或q为真 （D）p或q不一定为真
6．如果命题“p或q”和命题“p且q”都为真，那么则有（ ）
（A）p真q假 （B）p假q真 （C）p真q真 （D）p假q假
7．设ABC的三边分别为a,b,c，在命题“若a2+b2,则 ABC不是直角三角形”及其逆命题中有（ ）
（A）原命题真 （B）逆命题真 （C）两命题都真 （D）两命题都假
8．一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
9．“△ABC中，若∠C=90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为 （ ）
A．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不是锐角
B．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角
C．△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B都不一定是锐角
D．以上都不对
10．“”的含义是 （ ）
A．不全为0 B． 全不为0
C．至少有一个为0 D．不为0且为0，或不为0且为0
11．下列说法正确的是（ ）
（A）x≥3是x>5的充分不必要条件 （B）x≠±1是≠1的充要条件
（C）若﹁p﹁q，则p是q的充分条件
（D）一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形
12．如果命题“P或Q”是真命题，命题“P且Q”是假命题，那么（ ）
(A) 命题P和命题Q都是假命题 (B) 命题P和命题Q都是真命题
（C）命题P和命题“非Q”真值不同 (D) 命题Q和命题“非P”真值相同
13．给出4个命题：
①若，则x=1或x=2；②若，则；
③若x=y=0，则；④若，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数．那么： （ ） A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真C．③的逆否命题为假D．④的逆命题为假
14．对命题p：A∩＝，命题q：A∪＝A，下列说法正确的是 （ ）
A．p且q为假 B．p或q为假 C．非p为真 D．非p为假
二、填空题
1．已知命题P：内接于圆的四边形对角互补，则P的否命题q是 。
3．命题“不等式x2+x-6>0的解x<-3或x>2”的逆否命题是
4．写出命题“个位数是5的自然数能被5整除”的逆命题、否命题及逆否命题，并判定其真假。
逆命题是_____________________________________________
否命题是_____________________________________________
逆否命题是___________________________________________
5．由命题p:6是12的约数，q:6是24的约数，构成的“p或q”形式的命题是：_ ___，“p且q”形式的命题是__ _，“非p”形式的命题是__ _.
6．命题“若△ABC是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是

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