简谐运动的能量.doc

第12讲 机械振动——简谐运动的应用
§14－5 简谐运动的能量
Energy of Simple Harmonic Vibration

引言：作简谐运动的系统，因物体有速度而具有动能，因弹簧发生形变而具有势能，动能和势能之和就是其能量。

一、简谐运动的能量
1．能量表达式
（1）推导
以弹性振子为例。假设在t时刻质点的位移为x，速度为v，则

则系统动能为：
系统势能为：
因而系统的总能量为

考虑到，则

（2）结论
弹簧振子作简谐运动的能量与振幅的平方成正比。

（3）解释
由于系统不受外力作用，并且内力为保守力，故在简谐运动的过程中，动能与势能相互转化，总能量保持不变。
（4）说明
1）E∝A2，对任何简谐运动皆成立；
2）动能与势能都随时间作周期性变化，变化频率是位移与速度变化频率的两倍，而总能量保持不变；且总能量与位移无关。
动能Ek=E-Ep
2．能量曲线
注意理解能量守恒和动能、势能相互转化过程。

二、能量平均值
定义：一个随时间变化的物理量f(t)，在时间T内的平均值定义为

因而弹簧振子在一个周期内的平均动能为

因而弹簧振子在一个周期内的平均势能为

结论：简谐运动的动能与势能在一个周期内的平均值相等，它们都等于总能量的一半。

三、应用
1．应用1——记忆振幅公式
由能量守恒关系可得：k A2/2= mv02/2+ kx02/2
解之即得：

2．应用2——推导简谐运动相关方程
在忽略阻力的条件下，作简谐运动的系统只有动能和势能（弹性势能和重力势能），且二者之和保持不变，因而有

将具体问题中的动能与势能表达式代入上式，经过简化后，即可得到简谐运动的微分方程及振动周期和频率。这种方法在工程实际中有着广泛的应用。
此方法对于研究非机械振动非常方便。
例1．用机械能守恒定律求弹簧振子的运动方程。
解：弹簧振子在振动过程中，机械能守恒，即

两边对时间求导，得

即

令，则

其解为

代入守恒方程可得
A=A’

例2．劲度系数为k、原长为l、质量为m的匀质弹簧，一端固定，另一端系一质量为M的物体，在光滑的水平面上作直线运动，求其运动方程。

解：取物体受力平衡位置O为坐标原点，向右为x轴正方向，如图所示，设m物体位于S处时，取微元dS，其质量为dm=mdS/l，位移为Sx/l，速度为(S/l)(dx/dt)，而dx/dt=v正是物体运动的速度。若忽略阻力，则系统机械能守恒。当物体位于x处时，弹簧的动能与物体的动能分别为

系统的势能为

根据机械能守恒定律，有

将上式对时间求导，整理后可得

或写成

式中
可见，当弹簧质量远小于物体的质量时，且系统作微小运动时，弹簧振子的运动可以认为是简谐运动，振动周期为

因而，周期比不计弹簧质量时要大。不过当m=M时，与严格计算结果相比较，误差也是不大于1％。

§14－6 简谐运动的合成
Composition of Simple Harmonic Vibration

引言：在实际问题中，振动系统常常参与多个振动。本节讨论一个物体同时参与两个或两个以上振动的合成问题。振动的合成在声学、光学、无线电技术与电工学中有着广泛的应用。本节主要讨论简单的情况。
原理：振动的合成符合叠加原理，振动也具有矢量性——是通过振动的方向与相位反映出来的。

一、同方向同频率简谐运动的合成
问题：某质点同时参与两个同频率且在同一条直线上的简谐运动

合振动
1．应用解析法：

令：，
则：
2．应用旋转矢量法：
大小不变，且以共同角速度ω旋转，它们的相对位置不变，即夹角保持不变，所以合振动的振幅A大小不变，也以角速度ω绕O作逆时针旋转，故合成振动也是简谐运动。
圆频率：ω
合振幅：
初相位：
合振动：
3．讨论：
1）合振动仍然是简谐运动，且频率仍为ω；
2）合振动的振幅不仅与A1、A2有关，而且还与相位差有关。
若 ，则

即两个分振动同相时，合振幅等于分振幅之和。
若 ，则

即两个分振动反相时，合振幅等于分振幅之差的绝对值。

一般情况下，合振动的振幅则在与之间。
3）上述结论可以推广到多个同方向同频率简谐运动的合成，即

合振动：也是简谐运动
和也可以用一般矢量求和的方法得到。

二、同方向不同频率简谐运动的合成
问题：某质点同时参与两个不同频率且在同一条直线上的简谐运动

合振动
由于相位差随时间变化，故合振动的振幅也随时间而变化，不是简谐运动。这里只讨论，的情形，即两个频率相差很小，此时

由于随时间变化比要缓慢得多，因此可以近似地将合振动看成是振幅按缓慢变化得角频率为的“准周期运动”。这种两个频率都较大但两者频差很小的同方向简谐运动合成时，所产生的合振幅时而加强时而减弱的现象称为拍频（beat）。
即合振动的频率为：
合振幅变化的周期：
拍频：

用旋转矢量法理解：
假设，所以比转动得快，当转到与反方向位置时，合振幅最小；当转到与同方向位置时，合振幅最大，并且这种变化是周期性的。
拍的应用：
l 用音叉的振动来校准乐器；
l 利用拍的规律测量超声波的频率；
l 在无线电技术中，可以用来测定无线电波频率以及调制

三、两个相互垂直的同频率简谐运动的合成
问题：某质点同时参与两个同频率的互相垂直方向的简谐运动
x方向：
y方向：
改写为：

分别对上述两式乘以cosωt、sinωt，并相加，可得

这是椭圆方程，其形状由分振动的振幅A1，A2和相位差确定：

（1）时，，轨迹为直线（简谐运动）；
（2）时，，轨迹为直线（简谐运动）；
（3）时，，轨迹为椭圆（正椭圆）；
（4）时，，轨迹为椭圆（逆椭圆）。
关于（3）的说明：y方向的振动相位比x方向超前π/2，当质点在x方向达到最大位移时，在y方向质点正通过原点向负方向运动，因此质点沿椭圆轨道运动的方向是顺时针的，或者说是右旋的。
另外，当时，质点沿顺时针方向运动；当时，质点沿顺时针方向运动。

四、两个相互垂直的不同频率两个简谐运动的合成
问题：某质点同时参与两个不同频率的互相垂直方向的简谐运动

x方向：
y方向：
合振动比较复杂，分两种情况讨论。
1． 两个分振动的频率相差很小：

此时可以近似地把两个振动的合成看成同频率简谐运动的合成，但它们的相位差随时间缓慢地变化，于是合振动的轨迹将由直线变为椭圆，又由椭圆变为直线，并循环地改变下去。
2． 两个分振动的频率相差较大，但有简单的整数比关系：
此时合振动的轨迹为封闭的图形，称为李萨如（Lissajou's Figures）图形。该图形的的具体形状取决于两个互相垂直方向简谐运动的频率之比合初相位，并且该图形坐标轴的切点之比与频率之比相等。用此方法可以测量一未知振动的频率与相互垂直方向的两个简谐运动的相位差。
§14－7 阻尼振动、受迫振动、共振
Damped Vibration，Forced Vibration，Resonance

引言：
简谐运动的振幅不随时间变化，这就是说，振动一经发生，就能够永远不停地以相同的振幅振动下去。这是一种理想的情况，称为无阻尼自由振动。
实际上，任何振动系统都会受到阻力的作用，系统的能量将因不断克服阻力作功而损耗，振幅将逐渐减小。这种振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。为了获得所需的稳定振动，必须克服阻力的影响而对系统施以周期性外力的作用。这种振动称为受迫振动。本节讨论这种情况。

一、阻尼振动Damped Vibration
1．引言：消耗系统能量的两种方式：
l 摩擦阻尼：系统与周围介质或系统内部的摩擦，使系统的能量变为热能；
l 辐射阻尼：振动向外界传播而将系统的能量变为波动能量。
本节讨论第一种阻尼作用下的振动情况。
2．什么是阻尼振动？
振幅随时间的变化而减小的振动称为阻尼振动。
3．阻尼振动的运动（微分）方程
在系统的振动过程中，振子除了受到弹性力的作用外，还受到粘滞阻力的作用。当物体速度不太大时，粘滞阻力大小与速度的大小成正比，方向相反。

其中C是阻尼系数，由物体的形状、大小和周围介质的性质而定。在有阻力作用时，根据牛顿第二定律，有

令，则上式可写成

其中ω0是系统的固有角频率（natural angular frequency），β是表征系统阻尼的大小，称为阻尼因子，β越大，阻力越大。
4．讨论：
阻尼振动的微分方程的特征方程（即将eDx形式的解代入此方程，化简后可得）为
其解为

1）弱阻尼（情况2）
解为

A0、：积分常数，由初始条件确定；：阻尼振动的角频率，由振动系统的固有角频率和阻尼因子确定。
由振动方程可知，阻尼振动可看成是振幅为A0e-βt，角频率为ω的振动，阻尼振动的振幅为A0e-βt随时间作指数衰减，阻尼越大，振幅衰减越快，不是简谐运动。在阻尼不大时，可近似地看成是一种振幅逐渐减小的振动，周期为

注意：阻尼振动不是严格意义下的周期运动，因为经过一定时间后，振子不在回到原来的位置。通常称为准周期运动。
2）过阻尼（Over damping，情况1）解为

可见偏离平衡位置的振子只能缓慢地回到平衡位置，不再作周期性的往复运动，是一种非周期运动。
3）临界阻尼（critical damping情况3）
解为
振子恰好从准周期运动变为非周期运动。与弱阻尼和过阻尼比较，在临界阻尼情况下振子回到平衡位置而静止下来所需时间最短。
此时，β可以理解为衰减常量（attenuation constant），它的倒数称为弛豫时间（relaxation time），τ=1/β，β越大，弛豫时间越短，则振动衰减越快。
4．应用
l 减小阻尼：活塞
l 增大阻尼：弦乐器、空气箱、减振器
l 利用临界阻尼：阻尼天平、灵敏电流计：使指针尽快回到平衡位置，节约时间，便于测量。

二、受迫振动 Forced Vibration
1．引言
一切实际的振动都是阻尼振动，而且阻尼振动最终都将因为能量的损耗而停止下来。为了使系统的振动能够维持下去，要给系统补冲能量。通常是对系统施加一周期性外力的作用。这种周期性的外力称为策动力（driving Force），或强迫力。在强迫力作用系统发生的运动称为受迫振动。如扬声器中纸盆的振动，机器运转时引起机坐的振动等，都是受迫振动。
2．运动方程
设振子质量为，除受到弹性力-kx，阻尼力-Cv的作用外，还受到强迫力Hcos(Pt)的作用。其中是强迫力的最大值，称为力幅，P为强迫力的角频率。根据牛顿第二定律可知

令，则上式可写成

这就是受迫振动的运动微分方程。其解为

3．解的讨论：
第一项：阻尼振动，经过一定的时间后将消失。
第二项：与简谐运动形式相同的等幅振动，是受迫振动的稳定解。

即：在受迫振动过程中，系统一方面因阻尼而损耗能量，另一方面又因周期性外力作功而获得能量。初始时，能量的损耗和补充并非是等量的，因而受迫振动是不稳定的。当补充的能量和损耗的能量相等时，系统才得到一种稳定的振动状态，形成等幅振动。于是受迫振动就变成简谐运动，即定态解（Stationary solution）其运动方程为

稳定后的振幅为

受迫振动位移与强迫力之间的相位差为

说明：
l 稳定状态下的受迫振动的角频率不是振动系统的固有角频率，而是强迫力的角频率；
l A、并不决定于系统的初始状态，而是依赖于系统的性质、阻尼的大小和强迫力的特性。

三、共振Resonance
1．引言：
在稳定状态下，受迫振动的振幅与强迫力的角频率有关。当强迫力的角频率P与固有角频率ω0相差较大时，受迫振动的振幅较小；而当P与ω0相差较小时，受迫振动的振幅较大；当P为某一定值时，受迫振动的振幅得到最大值。我们把受迫振动的振幅达到最大值的现象称为共振。
2．共振角频率与共振振幅：

1）共振角频率：系统发生共振时强迫力的角频率称为共振角频率，用ωr表示。用求极值的方法

计算可得
2）共振振幅
3）共振时受迫振动位移与强迫力之间的相位差

3．说明：
1）ωr略小于ω0，当阻尼因子β趋于零而发生共振现象时，共振角频率等于系统的固有角频率，ωr=ω0；
2）当β→0，ωr=ω0时，共振振幅趋于无穷大，这种情况称为尖锐共振；此时受迫振动位移与强迫力之间的相位差为
振动物体的速度为
即在β→0时，在共振情况下，速度与强迫力的相位相同。因此强迫力的方向与物体振动方向相同，强迫力始终对物体作正功，所以输入振动系统的能量最大，振幅具有极大值。
3）严格地从外界与系统交换能量的角度看，速度振幅达到极大值才是严格的共振。但在实际中振幅共振与速度共振是较接近的。
4．共振现象的应用：
1）应用：钢琴、小提琴等乐器利用共振来提高音响效果；
收音机利用电磁共振进行选台；
核内的核磁共振被用来进行物质结构的研究和医疗诊断等。
2）危害：
l 1904年，一队俄国士兵以整齐的步法通过彼得堡的一座桥时，由于产生共振而使桥倒塌；
l 1940年，美国华盛顿州的塔科麦桥，因大风引起的振荡作用同桥的固有频率相近，产生共振而导致毁坏；
l 汽车行驶时，若发动机的频率接近于车身的固有频率，车身也会车身强烈的振动而受到损坏。
l 重庆綦江彩虹桥倒塌，专家通过计算说明不是由于武警战士产生的共振引起的。
附：人体的共振频率（Hz）：
胸—腹： 3~6
头—肩： 20~30
眼球： 60~90
下颚—头盖骨：100~120
3）防止共振：
l 改变系统的固有频率或外力的频率；
l 破坏外力的周期性；
l 增大系统的阻尼；
l 对精密仪器使用减振台。

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