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尊重学生的现实认识起点
湖州市吴兴区上强小学 邬长义 邮编：313023
学生学习了《最小公倍数》的第一节课，已经理解了最小公倍数的意义和会用例举法求两个数的最小公倍数。因为与教材配套的作业已被当成课堂作业做完了，所以临时找了《一课四练》的部分作业作为学生的回家作业，粗粗一看便布置下去了。其中有填表题如下：
数组
最小公倍数
数组
最小公倍数
数组
最小公倍数
24和36

10和40

60和90

16和20

35和105

26和39

22和33

4和28

18和30

45和60

8和12

10和11

第二天早上在批这些作业时，细细一看才觉得有点对不住学生了，以上的填表题如果用例举法来求那作业量就太大了。心想今天订正要堆成山了，但出乎意料的是作业正确率在70%以上。我疑惑地走进教室，问道：“你们是用什么方法来求最小公倍数的？”学生回答道：“短除法”。从整齐的程度来估计大约有80%的学生是这样回答的。
我没有说什么，又回到办公室里，第一件要紧的是重新备《求两个数的最小公倍数》这节课。我原先的备课以“例举法”作为情境，想让学生从中感到麻烦，现在看来已为多余；原先的新课还打算让学生探究一番，现在看来已调不起学生的胃口；最后才打算教用短除法求最小公倍数，现在看来短除法似乎已被学生提前“掌握”。鉴于以上的原因，我改变了教学策略：起点提高，直接从短除法入手学习求最小公倍数；变原先的探究为想办法验证短除法的结果；进一步理解、探究短除法求最小公倍数的算理。现录下两个片断如下。
片断一：
师：昨天回家作业中有许多同学用短除法求两个数的最小公倍数，说说你是怎样想到的？
生：我是看书的。
师：你已经自学过了。
生：我就是用求最大公约数的方法的。
师：你是受到了启发，是吗？
师：不管是看书的，还是受启发的，现在请同学们用短除法求12和30的最小公倍数。
生：练习；指名三位学生板演。
师生交流：三位学生板演结果；其中一位在短除法下写道（12与30的最小公倍数是60），其他两位在短除法下写的都是（12，30）=60。
师：[指着（12，30）=60]它既作为最大公约数的简便记法，又作为最小公倍数的简便记法那恰当吗？
生：不恰当。
师：为什么？
生：分不清哪个是最大公约数哪个是最小公倍数了。
师：其实最小公倍数也有自己的简便记法，现在请昨天看过书的同学来介绍一下。
生：相互之间介绍最小公倍数的简便记法。
师：60确实是12与30的公倍数，那是不是最小公倍数呢？
生：是的。
师：你是怎么肯定的？
生：我们可以验证一下？
师：用什么方法来验证呢？
生：相互之间交头接耳的商量，渐渐的形成了一个统一的意见：举例子
师：谁来把举例子的验证方法详细的介绍一下？
生先找出12的倍数，再找出30的一些倍数，最后就可以找到12与30的最小公倍数了，就知道对不对了。
师：说的很有条理，其实这叫例举法，现在请同学们在小组里用例举法来验证；为了节约时间，我们合作验证。
生：一个人找12的倍数，另一个找30的倍数；验证。先验证完的小组便相继喊起来：“对的！对的！”
师：会不会是巧合呢？我们再来一组尝试一组[30，45]，先用短除法求出结果，再用例举法验证。
生：先用短除法，再用例举法验证。
师生交流：……
片断二：
师：难道用短除法求两个数的最大公约数与最小公倍数就没有区别吗？
生：思考，似乎有疑难的神情。
师：回忆一下两个数最大公约数是怎样组成的？
生：全部公有质因数的乘积
师：（指着如下图的板书）说说你发现了什么？

生：最小公倍数是把全部的质因数乘起来的。
师：难道这一圈质因数就一点区别也没有吗？
生：左边的除数是公有的（质因数），下边的商是私有的（质因数）。
师：两个数的最小公倍数是怎样得到的？
生：公有质因数与私有质因数的乘积。
师：随便取其中的几个吗？
生：全部要。是全部公有质因数与私有质因数的乘积。
师：再仔细观察下图[30，45]的短除法，他们的最小公倍数的组成是不是也这样？

生：也是的。
师：现在我们来运用刚刚所学的知识来解决一个新问题。
生：练习p60的练一练1 ：30=（ ）×（ ）×（ ） 70=（ ）×（ ）×（ ）
[30，70]= （ ）×（ ）×（ ）×（ ）=（ ） 。
师生交流：……
师：我们再来挑战一个难点：A=2×2×2×3，B=2×3×5，C=2×2×2×2，求[A，B，C]=
生：学生练习之后师生交流……
分析反思：
课堂教学实践证明，我的临时改课决策是正确的，从学生的眼神中我发现他们是满足的，在课堂上学生的思维始终处于活跃状态；他们通过学习不仅理解了短除法求最小公倍数的方法，而且知道这种求法的算理，确确实实地得到了发展。
课虽上完了，但我的思考并未停止。我首先思考的是教学起点（也称学习起点）要尊重学生的现实认识起点的问题。新课程、课改都非常提倡找准学生的认识起点，使教学起点与认识起点吻合。可是找认识起点往往会成为一个时髦的环节供观摩，学生的认识起点在这一环节中明明暴露，但教师确定的教学起点有可能仍按预设进行，教学起点与认识起点仍旧不吻合。在本案例中，学生的现实认识起点是在批回家作业的过程中被发现的，它与原教案的教学起点不吻合，如果仍按原教案进行，那学生就会已懂装不懂地学一节课，但不会真正提高多少；而我及时改变教学策略，调高教学起点，使之与认识起点吻合，并使学习具有一定的难度，比如在本案例中让学生自己想办法验证“短除法所求出的结果确实是最小公倍数”这一问题，这样才使学习具有一定的挑战性，通过学习学生才会在原有的基础上向前发展一大步。
其次便是由此引发出来的另一思考：备课既要“备教材”，还要“备学生”的问题。其中找准学生的现实认识起点就属于“备学生”的体现之一。其实教学起点与认识起点的吻合并不一定像以上案例中所说的那样简单。一般情况下学生的认识起点都是通过教师凭知识的逻辑起点与教学经验预测的。教师的教学起点正是据此拟订的，它有可能与学习起点吻合，也有可能不太吻合。也有上课伊始到课堂上临时来找认识起点的，这样找到的认识起点似乎比较客观，但由于时间或手段的限制，学生暴露的认识起点不一定是能够代表一般水平，有可能是大部分学生的，有可能是少部分学生的，甚至可能是个别现象。而在本案例中学生的认识起点是在一特殊的事件中暴露的。找到了学生的认识起点并不一定代表找准了学生的现实起点，所以我们还要对找到的认识起点的性质作具体分析，针对认识起点的不同性质，采取不同的策略。若找出的是大部分学生的现实认识起点，我们的教学就要根据此提出一般的教学起点，使教学起点尊重学生的认识起点，比如本案例的做法；若找到的是少部分甚至个别学生的认识起点，是否尊重就要斟酌，这就需要我们根据学生的个性化差异，对教学起点进行差异化处理。有时即使找到的确实是大部分学生的现实认识起点，可是备课时却没有预测到；针对这种情况我想我们备课时的“备学生”显得尤为必要，我们要多考虑些学生的情况，多准备几套教学预案为妥。
再次我们要对学生认识起点中所含的信息进行客观分析。由于影响学生学习起点的因素是多方面的，有知识本身的逻辑起点、有原有知识、有学生的生活经验、有家长的影响、有意外事件等等，比如本案例中学生的认识起点就是受特殊回家作业与原有知识的影响。我们还应该清醒地认识到学生的认识起点即使达到了某一程度，并不代表学生的认识真正达到了这个程度。他们的理解或者是肤浅的或者处于似懂非懂的状态，比如在本案例中，相当一部分学生会用短除法求最小公倍数，这其实是知识的迁移现象在起作用，而学生对用短除法求最小公倍数的算理及最小公倍数的组成并未理解。如果因为学生已经学会短除法，就放弃对短除法算理的探究与学习，那就被起点中的假象给蒙蔽了。所以在“验证”环节结束之后，教师还安排了探究短除法求最小公倍数的算理的环节，目的是使学生进一步理解最小公倍数的组成，并使学生不仅知其然而且知其所以然。
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