【步步高】2014届高考数学大一轮复习-4.5-两角和与差的正弦、余弦、正切试题(含解析)新人教A版-.doc

4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切
一、选择题
1.的值等于（ ）
A. B. C. D.
解析 原式=，故选A.
答案 A
2.已知锐角α满足cos 2α＝cos ，则sin 2α等于(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B．－
C. D．－
解析：由cos 2α＝cos
得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝(cos α＋sin α)
由α为锐角知cos α＋sin α≠0.
∴cos α－sin α＝，平方得1－sin 2α＝.
∴sin 2α＝.
答案：A
3．已知x∈，cos x＝，则tan 2x等于(　　)．
A. B．－ C. D．－
解析　∵x∈，cos x＝.∴sin x＝－，
∴tan x＝－.∴tan 2x＝＝＝－.
答案　D
4．已知α，β都是锐角，若sin α＝，sin β＝，则α＋β＝ (　　)．
A. B.
C.和 D．－和－
解析　由α，β都为锐角，所以cos α＝＝，cos β＝＝.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝，所以α＋β＝.
答案　A
5．若0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，则cos＝(　　)．
A. B．－
C. D．－
解析　对于cos ＝cos＝
coscos＋sinsin，
而＋α∈，－∈，
因此sin＝，sin＝，
则cos＝×＋×＝.
答案　C
6．已知α是第二象限角，且sin(π＋α)＝－，则tan2α的值为(　　)
A. B．－ C．－ D．－
解析 由sin(π＋α)＝－，得sinα＝，又α是第二象限角，故cosα＝－＝－，∴tanα＝－，tan2α＝＝＝－.
答案 C
7．已知cos＋sin α＝，则sin的值是(　　)．
A．－ B. C．－ D.
解析　cos＋sin α＝⇒sin α＋cos α
＝⇒sin＝，
所以sin＝－sin＝－.
答案　C
二、填空题
8．已知cos ＝，α∈，则cos α＝________.
解析：∵α∈，∴α＋∈，
∴sin ＝.
故cos α＝cos [－]
＝cos cos＋sin sin
＝×＋×＝.
答案：
9．化简[2sin50°＋sin10°(1＋tan10°)]·的结果是________．
解析 原式＝2sin50°＋sin10°··sin80°
＝·cos10°
＝·cos10°
＝2(sin50°cos10°＋sin10°cos50°)＝2sin60°＝.
答案
10．已知tan＝3，则sin 2θ－2cos2θ的值为________．
解析　法一　∵tan＝3，
∴＝3，
解得tan θ＝.
∵sin 2θ－2cos2 θ＝sin 2θ－cos 2θ－1
＝－－1
＝－－1
＝－－1＝－.
法二　sin 2θ－2cos2 θ＝sin 2θ－cos 2θ－1
＝－cos－sin－1
＝－－－1
＝－－－1＝－.
答案　－
11．函数f(x)＝2cos2x＋sin 2x的最小值是________．
解析　∵f(x)＝2cos2x＋sin 2x＝1＋cos 2x＋sin 2x＝1＋sin，∴f(x)min＝1－.
答案　1－
12．若cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β＝________.
解析　由已知，得cos αcos β－sin αsin β＝，cos αcos β＋sin αsin β＝，则有cos αcos β＝，sin αsin β＝，＝，即tan αtan β＝.
答案　
三、解答题

13．已知sin＝，且x∈，求.
解析　∵x∈，∴＋x∈，
∴cos＝－，
∴tan＝－，
∴＝＝－.
14．设函数f(x)＝sinωx＋sin，x∈R.

(1)若ω＝，求f(x)的最大值及相应的x的集合；
(2)若x＝是f(x)的一个零点，且0<ω<10，求ω的值和f(x)的最小正周期．

解析 (1)f(x)＝sinωx＋sin＝sinωx－cosωx，
当ω＝时，f(x)＝sin－cos＝sin，
而－1≤sin≤1，所以f(x)的最大值为，
此时，－＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋4kπ，k∈Z，
相应的x的集合为.
(2)因为f(x)＝sin，
所以，x＝是f(x)的一个零点⇔f＝sin＝0，
即－＝kπ，k∈Z，整理，得ω＝8k＋2，
又0<ω<10，所以0<8k＋2<10，－ ＝2cos B(1＋sin B)＋cos 2B－2cos B
＝2cos Bsin B＋cos 2B
＝sin 2B＋cos 2B＝2sin.
∵f(B)＝2，∴2sin＝2，＜2B＋＜π，
∴2B＋＝.∴B＝.
(2)f(B)－m＞2恒成立，即2sin＞2＋m恒成立．
∵0＜B＜π，∴2sin∈[－2,2]，∴2＋m＜－2.
∴m＜－4.
16． (1)①证明两角和的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式
S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
(2)已知cos α＝－，α∈，tan β＝－，β∈，
求cos(α＋β)．
解析 (1)证明　①如图，在直角坐标系xOy内作单位圆O，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox轴非负半轴，交⊙O于点P1，终边交⊙O于点P2；角β的始边为OP2，终边交⊙O于点P3，角－β的始边为OP1，终边交⊙O于点P4.
则P1(1,0)，P2(cos α，sin α)，P3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P4(cos(－β)，sin(－β))．
由P1P3＝P2P4及两点间的距离公式，得
[cos(α＋β)－1]2＋sin2(α＋β)＝[cos－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)．
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
②由①易得，cos＝sin α，
sin＝cos α.
sin(α＋β)＝cos
＝cos
＝coscos(－β)－sinsin(－β)
＝sin αcos β＋cos αsin β.
∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
(2)∵α∈，cos α＝－，∴sin α＝－.
∵β∈，tan β＝－，
∴cos β＝－，sin β＝.
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝×－×＝.

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